1.2矩形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、单选题 1．如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，就如何判断门框模型是否是矩形？老师提出了以下四个判定方法，方法一：测量四个角是否相等；方法二：测量四条边是否相等；方法三：测量两条对角线是否相等；方法四：验证是否是轴对称图形其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（   ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 4．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 5．将矩形绕点B顺时针旋转后得到矩形，若，，则的长为（    ） A．12 B．13 C． D．169 6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 7．两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 8．如图， 在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点， 将沿所在直线折叠得到， 连接，则的最小值是（  ） A．8 B．10 C． D． 二、填空题 9．如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 10．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点.若，，则矩形的对角线的长为 ． 11．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 13．如图，矩形中，与交于点O，，F是的中点，．则线段OF＝ ． 14．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 三、解答题 15．如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形． 16．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 17．已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； （2）从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 18．如图，矩形中，在边上，连接平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在线段上分别取点，连接，，若，求证：四边形为菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，求的值． 参考答案 1．【答案】B 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：由图可得，，， ∵点D为线段的中点， 故选B． 2．【答案】B 【分析】添加，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断； 【详解】解：根据题意可得， ∴， 添加， 则， 即可得四边形为矩形， 故选B． 3．【答案】A 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①四边形的四个角相等．四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角为90°，即为矩形．符合矩形定义，故①不符合题意； ②四条边相等．四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形（需额外有直角），故②不符合题意； ③对角线相等．仅对角线相等无法判定矩形（如等腰梯形对角线相等但不是矩形），需结合平行四边形条件，故③不符合题意； ④轴对称图形．轴对称图形不唯一（如菱形、等腰梯形均轴对称），无法确定是矩形，故④不符合题意． 故选A． 4．【答案】B 【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ； 在和中， ， ， ， ； ， ． 故选B． 5．【答案】C 【分析】由勾股定理可得，由旋转的性质可知，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， 故选C． 6．【答案】B 【分析】先由矩形的性质得，再由勾股定理算出的值即可作答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， 则的长是， 故选B. 7．【答案】A 【分析】先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根据平行四边形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在两张全等的矩形纸片，中，， ， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 则图中重叠（阴影）部分的面积为， 故选A． 8．【答案】A 【分析】理解当，，三点共线时，最小．根据两点之间线段最短得,当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，当，，三点共线时取等号， 的最小值为的值， 在矩形中，，，点E是边的中点， ∴，则， 将沿所在直线折叠到，则， ， 故的最小值是8， 故选A． 9．【答案】 【分析】由矩形的性质得，由，得，则垂直平分，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴. 10．【答案】 【分析】连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC． 【详解】连接AE，如图， 由作法得MN垂直平分AC， ∴EA=EC=3， 在Rt△ADE中，AD=， 在Rt△ADC中，AC=． 11．【答案】O是AB的中点 【分析】先证∠OCB=∠OBC，则OC=OB，同理OD=OB，再由OA=OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB=CD，即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：O是AB的中点， 理由如下： ∵CDMN， ∴∠OCB=∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC=∠CBM， ∴∠OCB=∠OBC， ∴OC=OB， 同理可证：OB=OD， ∴OB=OC=OD， ∵O是AB的中点， ∴OA=OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD=OC+OD，AB=OA+OB， ∴AB=CD， ∴平行四边形ACBD是矩形. 12．【答案】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为. 13．【答案】2.5 【分析】根据矩形的性质证明是的中位线，得，，然后证明，设，根据勾股定理得到，代入列方程求出x的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 14．【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 15．【答案】见详解 【分析】先证明、AB=CF，可得四边形ABFC是平行四边形，再由AD=BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴． ∵ ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴四边形ABFC是矩形． 16．【答案】（1）见详解 （2） 【分析】（1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 17．【答案】（1）从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 （2）从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】（1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 18．【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则，根据等角对等边判定等腰三角形得到，等了待会即可求解； （2）根据题意得到四边形是平行四边形，设，则，根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线的定义得到，根据平角，三角形外加和的性质得到，则，结合菱形的判定即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，作，交延长线于点，四边形，，是矩形，根据勾股定，全等三角形的判定和性质等知识得到，在中，，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，即，且， ∴四边形是平行四边形， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点，作，交延长线于点， ∴，，， ∴四边形，，是矩形， ∴，，， 由（1）可得，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，，即， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$