5.9 解三角形课件——河北省2026届高三对口单招数学复习

第九节　解 三 角 形 第五章　三 角 函 数 第1页，共36页 第2页，共36页 1．三角形的面积公式 在任意一个△ABC中，用∠A，∠B，∠C表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示它们的对边，作b边上的高h，如图5－9－1所示． 图5－9－1 2 第3页，共36页 (1)三角形的面积公式：三角形的面积等于底与对应高的乘 积的一半，即S△ABC＝________. (2)三角形的面积公式之正弦公式：三角形的面积等于它的 任意两边及其夹角的正弦乘积的一半，即 S△ABC＝__________________________________. 3 第4页，共36页 　2. 正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比 相等，即____________________. (2)a∶b∶c＝________________. 4 第5页，共36页 (3)利用正弦定理可以解决下列两类问题： ①已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和另一个角； ②已知三角形的两边和其中一边所对的角，求其他两角和另一条边． 第6页，共36页 3．余弦定理 (1)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍： a2＝_______________； b2＝_______________； c2＝_______________. 第7页，共36页 上述公式也可以变形为： cos A＝____________； cos B＝____________； cos C＝____________. 特别地，当∠C＝90°时，有a2＋b2＝c2.因此，勾股定理是余弦定理的特例． 第8页，共36页 (2)利用余弦定理可以解决下列两类问题： ①已知三角形的两边及其夹角，求第三边和其他两个角； ②已知三角形的三边，求三个角． (3)利用余弦定理判断三角形的形状： 当∠C是△ABC中最大的内角时，有： cos C>0⇒△ABC是锐角三角形； cos C＝0⇒△ABC是直角三角形； cos C<0⇒△ABC是钝角三角形． 考点1　求三角形的面积 【例1】　在△ABC中，已知a＝4，b＝5，cos C＝ ，求△ABC的面积． 第9页，共36页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 【解析】　∵cos C＝ ，∴sin C＝ ， ∴S△ABC＝ ab·sin C＝ ×4×5× ＝5 . 第10页，共36页 【变式训练1】　在△ABC中，已知a＝3，b＝2，cos C＝ ，求△ABC的面积． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 解：∵cos C＝ ，∴sin C＝ ， ∴S△ABC＝ ab sin C＝ . 第11页，共36页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【思路点拨】　利用三角形的面积公式求解． 变4 例4 第12页，共36页 考点2　利用余弦定理判断三角形的形状 【例2】　[2021年河北省高职单招] (判断题，正确的填“√”，错误的填“×”)已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则△ABC是锐角三角形．(　　) 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 × 第13页，共36页 【解析】　本题考查利用余弦定理判断三角形的形状．设三边长a＝3，b＝5，c＝7，∵cos C＝ ＝<0， ∴∠C >90°，∴△ABC是钝角三角形． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 第14页，共36页 【变式训练2】　(判断题，正确的填“√”，错误的填“×”)已知△ABC的三边长分别为4，5，6，则△ABC是锐角三角形．(　　) 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 √ 【思路点拨】　三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【解析】　设最长的边c＝6，则依据余弦定理，最大的角C有cos C>0. 第15页，共36页 例1 变1 例2 变2 考点3　利用正弦定理求边长或角 【例3】　[2023年河北省高职单招] 在直角三角形ABC中，∠B＝30°，AC＝1，则斜边AB＝(　　) A．2 B． C．－2 D．10 例3 变3 变4 例4 A 第16页，共36页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 【解析】　本题考查正弦定理的应用．∵ ，∴ ，∴AB＝2.也可由直角三角形中30°角所对的直角边长是斜边长的一半，得AB＝2AC＝2. 第17页，共36页 【变式训练3】在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝15°，a＝3，则b＝(　　) A．2 B． C． D．10 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 B 第18页，共36页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 【思路点拨】　利用正弦定理可得． 【解析】　∠B＝180°－45°－15°＝120°，根据正弦定理，得 ，即 ，解得b＝ . 第19页，共36页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 考点4　正、余弦定理的综合应用 【例4】　[2022年河北省对口升学] 在△ABC中，sin A∶sin B∶ sin C＝4∶3∶2，则cos C＝________. 变4 第20页，共36页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解析】　本题考查正、余弦定理的综合应用．由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，令a＝4t，b＝3t， c＝2t， 由余弦定理可得cos C＝ . 第21页，共36页 【变式训练4】　在△ABC中，若sin A＝2cos B sin C，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 B 第22页，共36页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解析】　解法一：由正弦定理，得 ， 即 .由余弦定理，得cos B＝ . ∵sin A＝2cos B sin C， ∴ ，∴ ，即b2＝c2，∴b＝c. 第23页，共36页 【思路点拨】　可以利用正弦定理和余弦定理进行变形，也可以直接利用两角和与差的正弦公式化简表达式求解． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解析】　解法二：∵sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，∴sin B cos C＋cos B sin C＝2cos B sin C， 即sin (B－C)＝0，∴B＝C，即△ABC为等腰三角形． 第24页，共36页 一、单项选择题 1．[2024年河北省高职单招] 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2 ，C＝30°，则c＝(　　) A． B． C．2 D．3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵c2＝a2＋b2－2ab cos C＝22＋(2 )2－2×2×2 × ＝4，∴c＝2. 第25页，共36页 2．在△ABC中，a＝6，b＝3 ，∠B＝30°，则∠A＝(　　) A．30° B．45° C．45°或135° D．120° C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由正弦定理可得 ， ∴sin A＝ ， ∴∠A＝45°或135°. 第26页，共36页 3．下列三角形边角关系中，正确的是(　　) A．a∶b＝sin B∶sin A B．a∶b＝sin A∶sin B C．b∶c＝sin A∶sin B D．a∶c＝sin A∶sin B B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 第27页，共36页 4．在△ABC中，若a＝2，c＝ ，B＝105°，则S△ABC等于 (　　) A． B．2 C． ＋1 D． D 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　S△ABC＝ac sin B＝ . 第28页，共36页 5．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由sin2A＋sin2B＝sin2C，得a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形． 第29页，共36页 6．在△ABC中，若sinA＝ ，C＝ ，a＝3，则c＝(　　) A．24 B．6 C．2 D．6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由正弦定理，得 ，即 ，解得c＝6. 第30页，共36页 7．在△ABC中，若a＝2，b＝ ，B＝45°，则角A＝(　　) A．150° B．90° C．30° D．60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由正弦定理，得 ，即 ，得sin A＝1，故A＝90°. 第31页，共36页 8．在△ABC中，已知A，B，C三个内角的对边分别是a，b，c.若a＝3，c＝6，A＝30°，则C＝(　　) A．30°或150° B．45°或135° C．60°或120° D．90° D 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由正弦定理，得 ，即 ，得sin C＝1，故C＝90°. 第32页，共36页 二、判断题(正确的填“√”，错误的填“×”) 1．在△ABC中，已知a，b，B，能用正弦定理求角A.(　　) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由 可得． 2．在△ABC中，已知a，b，B，能用余弦定理求边c.(　　) 第33页，共36页 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由b2＝a2＋c2－2ac cos B可得． 第34页，共36页 3．在△ABC中，当a2＋b2－c2>0时，角C为锐角．(　　) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　当a2＋b2－c2>0时，cos C＝ >0，所以角C为锐角． 谢谢观看！ $$