5.7 和角公式与倍角公式课件——河北省2026届高三对口单招数学复习

第七节　和角公式与倍角公式 第五章　三 角 函 数 第1页，共37页 第2页，共37页 1．和角公式 (1)sin (α±β)＝____________________. (2)cos (α±β)＝____________________. (3)tan (α±β)＝____________________. 2 第3页，共37页 【注意】注　①在公式(3)中要求角α，β，α±β都属于正切函数定义域． ② ＝tan (45°±α). ③公式的灵活应用：如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β. ④公式的逆用：如tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). 3 第4页，共37页 　2. 二倍角公式 (1)sin 2α＝___________. (2)cos 2α＝____________＝____________＝____________. (3)tan 2α＝_____________(α≠ ，且α≠ ＋kπ，k∈Z). 4 第5页，共37页 【注意】注　①二倍角公式不仅限于2α是α的二倍角的形式.4α是2α的二倍角， 是 的二倍角，3α是 的二倍角等，所有这些均可以应用二倍角公式． 如：sin α＝2sin cos ，sin2 ＝ ， cos2 ＝ 等． 第6页，共37页 ②证明三角恒等式时常用的方法有：化切为弦、高次降低次、大角化小角等．形式上常采用“递推法”由繁到简，或者证明“左－右＝0”． ③这部分内容集中了三角变换的所有内容和方法，是历年考试的主要内容之一，形式呈现出多样化的特点．另外，还需要学生具有基本的运算能力． 考点1　两角和与差公式的掌握 【例1】　[2021年河北省高职单招]下列选项正确的是(　　) A．sin (α＋β)＝sin α＋sin β B．cos (－α)＝cos α C．sin (π＋α)＝sin α D．tan 2α＝2tan α 第7页，共37页 B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 第8页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 【解析】　本题考查对公式的掌握． sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A错误；B正确； sin (π＋α)＝－sin α，故C错误； tan 2α＝ ，故D错误． 第9页，共37页 【变式训练1】　下列选项正确的是(　　) A．cos (α＋β)＝cos α＋cos β B．sin 2α＝2sin αcos α C．tan (α－β)＝tan α－tan β D．tan 2α＝2tan α 例1 变1 例2 变2 例3 变3 B 变4 例4 【解析】　cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故A错误；B正确； tan (α－β)＝ ，故C错误； tan 2α＝ ，故D错误． 第10页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【思路点拨】　熟记两角和与差的余弦公式、正弦公式、正切公式，二倍角公式． 变4 例4 第11页，共37页 考点2　拆角求值 【例2】　求值：(1)sin 75°； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 【解析】　(1)sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋ cos 30°sin 45°＝ . 第12页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 考点2　拆角求值 【例2】　求值：(2)cos 53°cos 37°－sin 53°sin 37°； 【解析】　(2)cos 53°cos 37°－sin 53°sin 37° ＝cos (53°＋37°)＝cos 90°＝0. 第13页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 考点2　拆角求值 【例2】　求值：(3) . 【解析】　(3) ＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝ . 第14页，共37页 【变式训练2】　在△ABC中，已知∠C＝ ， 求sin A cos B＋cos A sin B. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 解：sinA cos B＋cos A sin B＝sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C ＝sin ＝ . 第15页，共37页 【思路点拨】　本题考查两角和的正弦公式．求展开式，可逆用公式直接求解．△ABC中，由A＋B＋C＝π，可得sin (A＋B)与sin C的关系． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 第16页，共37页 例1 变1 例2 变2 考点3　利用两角和与差的正、余弦公式和正切公式求值 【例3】　已知sin α＝ ，α∈(0， )，cos β＝－ ，β∈(π， )，求cos (α－β)的值． 例3 变3 变4 例4 【解析】　由sin2α＋cos2α＝1，得 ＋cos2α＝1，则cos2α＝ ，cosα＝± ， 第17页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 ∵α∈(0， )，∴cos α＝ ， 由sin2β＋cos2β＝1，得sin2β＋ ＝1，则sin2β＝ ，sinβ＝± ， ∵β∈(π， )，∴sin β＝－ ， 因此cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝ . 第18页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 【注意】注　已知两角的某一个三角函数值，根据同角三角函数的关系分别求出另一个三角函数值，再利用和角公式求解． 第19页，共37页 【变式训练3】已知sin α＝ ，α∈( ，π)，cos β＝－ ，β∈(π， )，求sin (α＋β). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 解：由sin2α＋cos2α＝1， 得 ＋cos2α＝1，则cos2α＝ ， ∵α∈( ，π)，∴cosα＝－ ， 第20页，共37页 由sin2β＋cos2β＝1， 得sin2β＋ ＝1，则sin2β＝ ， ∵β∈(π， )，∴sinβ＝－ ， 因此sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 变4 例4 第21页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【思路点拨】　本题考查和角公式的应用．先根据同角三角函数关系分别求出cos α和sin β的值．再利用两角和的正弦公式求解． 变4 例4 第22页，共37页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 考点4　利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α求值 【例4】　已知sin α－cos α＝ ，求sin 2α的值． 变4 【解析】　∵1－sin 2α＝(sin2α＋cos2α)－2sinαcos α＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝(sinα－cos α)2. ∴由sin α－cos α＝ 等号两边同时平方，可得 (sin α－cos α)2＝( )2，即1－sin 2α＝ ，∴sin 2α＝ . 第23页，共37页 【变式训练4】　已知sin 2α＝ ，求sin α－cos α. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　本题考查sin α－cos α和sin 2α的关系．利用公式1－sin 2α＝(sin α－cos α)2直接求解． 解：∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝ ， ∴sin α－cos α＝± . 第24页，共37页 一、单项选择题 1．[2024年河北省高职单招] 2sin cos ＝(　　) A． B． C． D．1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　2sin cos ＝sin ＝ . 第25页，共37页 2. sin 15°－ cos 15°的值为(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　 sin 15°－ cos 15°＝sin (15°－60°) ＝sin (－45°)＝－ . 第26页，共37页 3．若sin －cos ＝ ，则sin x＝(　　) A． B． C． D． A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵(sin －cos )2＝1－sin x＝ ，∴sin x＝ . 第27页，共37页 4．1＋2cos2x－cos2x＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　1＋2cos2x－cos2x＝1＋2cos2x－(2cos2x－1)＝2. 第28页，共37页 5. ＝(　　) A． B． C． D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第29页，共37页 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　 . 第30页，共37页 6．2cos215°－1的值是(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　2cos215°－1＝cos30°＝ . 第31页，共37页 7．cos cos ＋sin sin 的值是(　　) A． B． C． D．1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　cos cos ＋sin sin ＝cos ( ) ＝cos ＝ . 第32页，共37页 8．sin 14°cos 16°＋cos 14sin 16°的值是(　　) A． B． C． D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　sin 14°cos 16°＋cos 14sin 16°＝sin 30°＝ . 第33页，共37页 二、判断题(正确的填“√”，错误的填“×”) 1．[2022年河北省高职单招] 2sin 15°cos 15°＝ .(　　) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ . 2． sin 75°－cos 75°＝－ .(　　) 第34页，共37页 × 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　 sin 75°－cos 75°＝2sin (75°－30°)＝ . 第35页，共37页 3． ＝－1.(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】 　 ＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝ . 谢谢观看！ $$