5.3 同角三角函数的基本关系课件——河北省2026届高三对口单招数学复习

第三节　同角三角函数的基本关系 第五章　三 角 函 数 第1页，共32页 第2页，共32页 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________. (2)商数关系：tanα＝________(α≠ ＋kπ，k∈Z). 2 第3页，共32页 【注意】注　①同角三角函数的基本关系式反映了同一个角α的不同三角函数值之间的关系，是同角三角函数变换的基础． ②对于同角三角函数的两个基本关系式，所谓的“同角”是指三角关系式中的角必须相等，对角的形式没有限制， 比如 ， . 3 第4页，共32页 ③利用平方关系进行开方运算时，要根据已知角所在的象限，正确选择正负号． ④在三角变换中，关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α经常用到． ⑤在化简及证明时，通常使用“等量代换”及“化切为弦”或“化弦为切”的方法，用关系式sin2α＋cos2α＝1可在三角变换中消元． 4 例1 变1 例2 考点1　已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值 【例1】　已知α为第二象限角，cos α＝ ，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 变2 第5页，共32页 例3 变3 D 第6页，共32页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【解析】　本题考查同角三角函数的两个基本关系及三角函数在各象限的符号． ∵cos α＝ 且sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝1－cos2α＝1－( )2＝ . 又∵α为第二象限角，∴sinα＝ ，进而可得tan α＝ . 第7页，共32页 【变式训练1】　已知α是第三象限角，且tan α＝ ，求cos α的值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 解：由题意得tan α＝ ，∴sin α＝ cos α， ∴sin2α＋cos2α＝ cos2α＋cos2α＝ cos2α＝1， ∴cos2α＝ . ∵α是第三象限角，∴cosα＝－ . 第8页，共32页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【思路点拨】　同时应用同角三角函数的两个基本关系式，联立方程，解方程组时要注意三角函数在各象限的符号． 第9页，共32页 考点2　三角函数式的化简 【例2】　若θ∈[0，2π)， ＝sinθ＋cos θ，则θ∈(　　) A． B． C． D． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 B 第10页，共32页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【解析】　本题考查同角三角函数的基本关系式及各象限内三角函数的正负号． 由 ＝|sinθ|－|cosθ|＝sinθ＋cosθ，可得 sinθ≥0，cosθ≤0，因此θ是第二象限角或终边在x轴非正半轴或y 轴非负半轴上，故θ∈[ ，π]. 第11页，共32页 【变式训练2】　若 <α<2π，则tan α ＝________. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 －1 【解析】　tan α ＝tanα· ＝tanα ＝tanα· .∵ <α<2π，∴tan α<0，即tan α· ＝－1. 第12页，共32页 【思路点拨】　根据同角三角函数的关系式及各象限内三角函数的正负号化简． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第13页，共32页 例1 变1 例2 变2 考点3　sinα＋cosα，sinα－cosα及sinαcosα知一求二 【例3】　已知sinαcosα＝ ，且 ，求sinα－cosα的值． 例3 变3 【解析】　(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2× ＝ . ∵ ，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝ . 第14页，共32页 【变式训练3】　已知sin α－cos α＝ ，且α∈(π，2π)， 求sin α＋cos α的值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 解：sin α－cos α＝ ， 两边平方，得1－2sin αcos α＝ ， 即sin αcos α＝ ， ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝ . 第15页，共32页 又∵α∈(π，2π)，而sin αcos α＝ >0， ∴sin α与cos α同号，即α∈(π， )， ∴sin α＋cos α<0，即sin α＋cos α＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第16页，共32页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【思路点拨】　本题考查sin α＋cos α，sin α－cos α和sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α和sin αcos α这三个代数式，已知其中一个式子的值，再知道角α的范围，就可求其余两个式子的值． 第17页，共32页 一、单项选择题 1．[2023年河北省高职单招] 已知sin α＝ ，且α是第二象限角，则cos α＝(　　) A． B． C． D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第18页，共32页 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵sin α＝ ，∴cos α＝ . 又∵α是第二象限角，∴cosα<0，∴cos α＝ . 第19页，共32页 2．已知sin α＝－ ，且α为第四象限角，则cos α＝(　　) A． B． C． D． A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　已知sin α＝ ，由同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1可知，cos2α＝1－sin2α＝1－( )2＝ . 又∵α为第四象限角，∴cosα＝ . 第20页，共32页 3．已知α是第二象限角，则化简 的结果为(　　) A．sinαcos α B．－sin αcos α C．2sin αcos α D．sin2α B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. 则 ＝|sinα·cos α|＝－sin α·cos α. 第21页，共32页 4．已知tan2θ＝ ，sin 2θ<0，则cos 2θ＝(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵tan 2θ＝ ，sin 2θ<0，∴点P(－4，－3)在 角2θ的终边上．则cos 2θ＝ . 第22页，共32页 5．已知tan α＝ ，则 的值为(　　) A． B． C． D．1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第23页，共32页 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　原式＝ . 第24页，共32页 6．化简： ＝(　　) A．cos 1－sin 1 B．sin 1－cos 1 C．±(cos 1－sin 1) D．cos 1＋sin 1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　 ＝|sin 1－cos 1|， ∵sin 1>cos 1，∴原式＝sin 1－cos 1. 第25页，共32页 7．若sin αcos α＝ ，且 ，则cos α－sin α的值为(　　) A． B． C． D． A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2× . ∵ ，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝ . 第26页，共32页 8．已知tan 80°＝－k，则sin 80°的值等于(　　) A． B． C． D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第27页，共32页 【解析】　∵tan 80°＝－k>0，∴k<0.由 ＝－k，sin280°＋cos280°＝1，解得sin280°＝ . ∵sin80°>0，∴sin 80°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第28页，共32页 二、判断题(正确的填“√”，错误的填“×”) 1．设sin α＝ ，且α是第二象限角，则cos α＝－ .(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　同一个角的正、余弦的平方和等于1. 2．化简：sin2 ＋cos2 ＝1.(　　) 第29页，共32页 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　同一个角的正、余弦的平方和等于1. 第30页，共32页 3．[2021年河北省高职单招]sin213°＋cos217°＝1.(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　由同角三角函数的基本关系可得 sin213°＋cos213°＝1. 谢谢观看！ $$