5.1 角的概念的推广及弧度制课件——河北省2026届高三对口单招数学复习

第一节　角的概念的推广及弧度制 第五章　三 角 函 数 第1页，共55页 第2页，共55页 2 第3页，共55页 1．任意角的概念 (1)角的概念： 角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的________，旋转起始位置的射线称为角的________，旋转终止位置的射线称为角的________. 顶点 始边 终边 3 第4页，共55页 (2)角的分类： ①正角：按________方向旋转形成的角； ②负角：按________方向旋转形成的角； ③零角：一条射线绕着端点___________时，也把它看成一个角，称为零角． 【注意】注　引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β＝α＋(－β). 逆时针 顺时针 没有旋转 4 第5页，共55页 2．象限角 在直角坐标系中研究角，将角的顶点与坐标原点重合，始边与________________重合，这时角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，或者说这个角在第几象限． 【注意】注　终边落在坐标轴上的角称为界限角，不属于任何象限． x轴的非负半轴 5 第6页，共55页 　3. 终边相同的角 与角α终边相同的所有角组成集合：___________________________________________________. 终边相同的角之间相差360°的________倍． 终边相同的角________相等，相等的角终边_______相同(选填“一定”或“不一定”). {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 整数 不一定 一定 6 第7页，共55页 4. 象限角和界限角的集合(见表5－1－1所列) 表5－1－1 自然语言 符号表示 第一象限角的集合 ___________________________________ 第二象限角的集合 ___________________________________________ 第三象限角的集合 ___________________________________________ 第四象限角的集合 ___________________________________________ {α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z} {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} {α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} {α|270°＋k·360°<α<(k＋1)·360°，k∈Z} 7 第8页，共55页 续表 终边落在x轴上的角的集合 ___________________________ 终边落在y轴上的角的集合 ______________________________ 终边落在坐标轴上的角的集合 _____________________________ {α|α＝k·180°，k∈Z} {α|α＝k·90°，k∈Z} {α|α＝90°＋k·180°，k∈Z} 8 第9页，共55页 5. 弧度制 (1)1弧度的角：把等于________的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角． (2)弧度制：以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制．弧度记作rad(通常省略不写). (3)弧度与角度的换算关系： 2π＝360°；π＝180°；1°＝________rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝________≈57°18′＝57.3°. 半径长 9 第10页，共55页 (4)正角的弧度数为________，负角的弧度数为________，零角的弧度数为________. (5)在弧度制中，长为l的圆弧所对圆心角α的公式：________；弧长公式：___________；扇形的面积公式：___________________. 正数 负数 零 l＝|α|r 10 第11页，共55页 (6)特殊角的角度与弧度的互化对应表见表5－1－2所列． 表5－1－2 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° — 弧度 2π — 11 例1 变1 例2 考点1　角度与弧度的互化 【例1】　[2023年河北省高职单招] 180°的弧度数为(　　) A． B．π C．2π D．－π 变2 第12页，共55页 例3 例5 变5 变4 例4 变3 【解析】　本题考查弧度与角度的换算关系.2π＝360°，所以π＝180°. B 例6 变6 变7 例7 第13页，共55页 【变式训练1】　360°的弧度数为(　　) A． B．π C．2π D．－π 例1 变1 例2 变2 例3 例5 变5 变4 例4 变3 C 例6 变6 变7 例7 【解析】　∵π＝180°，∴2π＝360°. 第14页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 例5 变5 变4 例4 变3 【思路点拨】　根据圆心角的定义， ，当弧长等于圆周长时，|α|＝ ＝2π，即360°＝2π. 例6 变6 变7 例7 第15页，共55页 考点2　终边相同角的概念 【例2】　在0°～360°内，下列选项中与－60°终边相同的角是(　　) A．490° B．300° C．－150° D．450° 例1 变1 例2 变2 例3 例5 变5 变4 例4 变3 B 例6 变6 变7 例7 第16页，共55页 【解析】　本题重点考查终边相同的角的集合． 解法一：∵－60°＝－360°＋300°，∴300°与－60°终边相同，而300°又在0°～360°内，故选B. 解法二：设与－60°终边相同的角为α＝－60°＋k·360°，k∈Z.∵在0°～360°内，∴令k＝1，则α＝300°. 例1 变1 例2 变2 例3 例5 变5 变4 例4 变3 例6 变6 变7 例7 第17页，共55页 【变式训练2】　与角 终边相同的角的集合是(　　) A． B． C． D． 例1 变1 例2 变2 例3 例5 变5 变4 例4 变3 D 例6 变6 变7 例7 第18页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 例5 变5 变4 例4 变3 【思路点拨】　求终边相同的角的集合，应注意：①度量制不可混用，角度制中为α＋k·360°，弧度制中为α＋2kπ；②一定要指出k∈Z. 例6 变6 变7 例7 【解析】　终边相同的角之间相差360°的整数倍，故A错误；度量制不可混用，角度制中为α＋k·360°，弧度制中为α＋2kπ；故B错误；一定要指出k∈Z，故C错误．D正确，故选D. 第19页，共55页 例1 变1 例2 变2 考点3　象限角 【例3】　[2022年河北省高职单招] (判断题，正确的填“√”，错误的填“×”)1 091°角是第二象限角．(　　) 例3 【解析】　本题考查象限角的定义．∵1 091°＝11°＋3×360°，11°在第一象限，∴1 091°是第一象限角． 例5 变5 变4 例4 变3 × 例6 变6 变7 例7 【变式训练3】　有下列说法：① 是第一象限角；②390°是第三象限角；③ 是第二象限角；④－1 080°是第三象限角．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第20页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例5 变5 变4 例4 A 例6 变6 变7 例7 第21页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例5 变5 变4 例4 例6 变6 变7 例7 【解析】　∵ 角的终边在第三象限，∴ 是第三象限角，故①错误； ∵390°＝30°＋360°，∴390°与30°的终边相同，而30°是第一象限角，故②错误；③正确； ∵－1 080°＝－3×360°，∴－1 080°与0°的终边相同，而0°是界限角，故④错误． 第22页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例5 变5 变4 例4 【思路点拨】　对于较大或较小的角，可根据终边相同的角的集合，在0°～360°或－360°～0°范围内找出与其终边相同的角，再判断其是象限角还是界限角． 例6 变6 变7 例7 第23页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 【例4】　若α为第二象限角，则α－π是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例5 变5 变4 【解析】　本题考查象限角的定义．∵角α为第二象限角， ∴ ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴ ＋2kπ<α－π<2kπ，k∈Z， ∴α－π是第四象限角． D 例6 变6 变7 例7 【变式训练4】　角α＝ ＋kπ(k∈Z)的终边落在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 第24页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 【解析】　令k取两个连续的整数，代表偶数和奇数，一般取 k＝0，k＝1即可．k＝0时，α在第一象限，k＝1时，α在第三象限．∴α在第一或第三象限． 变4 例5 变5 A 例6 变6 变7 例7 第25页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 【思路点拨】　令k取两个连续的整数，代表偶数和奇数，一般取k＝0，k＝1即可． 变4 例5 变5 例6 变6 变7 例7 第26页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【例5】　若α为第一象限角，则2α是(　　) A．第一象限角 B．第一、二象限角或终边在y轴非负半轴上 C．第三象限角 D．第三、四象限角或终边在y轴非正半轴上 例5 变5 B 例6 变6 变7 例7 第27页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　本题考查象限角和界限角的定义．根据象限角的范围，应用不等式性质推理得出所求角的范围．∵角α是第一象限角，∴2kπ<α< ＋2kπ，k∈Z，∴4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z， ∴2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角． 例6 变6 变7 例7 第28页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练5】　若角α为第二象限角，则 是(　　) A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 B 例6 变6 变7 例7 【解析】　∵2kπ＋ <α<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋ < <kπ＋(k∈Z)，∴ 在第一或第三象限． 第29页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　解法一：根据象限角的范围，应用不等式性质推理得出所求角的范围． 解法二：特殊值法． 例6 变6 变7 例7 第30页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 考点4　弧度制的应用 【例6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (1)15°；　 【解析】　(1)15°＝15× (rad)＝ . 变6 变7 例7 第31页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【例6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (2)112°30′； 例6 变6 变7 例7 【解析】　(2)112°30'=112.5× (rad)＝ . 第32页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【例6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (3) ；　 【解析】　(3) ＝120°. 例6 变6 变7 例7 第33页，共55页 【例6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (4) . 【解析】　(4) ＝－225°. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 变7 例7 第34页，共55页 【变式训练6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (1)－135°； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 变7 例7 【解析】　(1)－135°＝－135× (rad)＝ π. 第35页，共55页 【变式训练6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (2)210°； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 变7 例7 【解析】　(2)210°＝210× (rad)＝ π. 第36页，共55页 【变式训练6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (3) ； 【解析】　(3) ＝150°. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 变7 例7 第37页，共55页 【变式训练6】　将下列各角由角度化为弧度或由弧度化为角度． (4) . 【解析】　(4) ＝－165°. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 变7 例7 第38页，共55页 【思路点拨】　本题主要考查角度与弧度之间的转化关系．按照例6的方法逐一转化即可，注意角度的正负．角度转化为弧度时，角度 ×(rad)；弧度转化为角度时，弧度×( )°. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 变7 例7 第39页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 【例7】　在半径为R的圆中，240°的圆心角所对的弧长是多少？ 【解析】　∵240°＝240× ， ∴弧长l＝|α|·R＝ ·R＝ πR. 【注意】注　α是弧所对圆心角的弧度数． 变7 第40页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【变式训练7】　已知半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，问：扇形的圆心角是多少弧度？ 例7 变7 解：∵2R＋l＝2πR，∴l＝2πR－2R， ∴扇形的圆心角α＝ ＝2π－2. 第41页，共55页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【思路点拨】　本题考查圆心角的公式|α|＝ .注意扇形周长的求法． 变7 例7 第42页，共55页 一、单项选择题 1．90°的弧度数为(　　) A．π B． C．－ D．－π B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵180°＝π，∴90°＝ . 第43页，共55页 2．已知圆的半径为R，则半圆的面积为(　　) A．πR2 B． R2 C．2πR2 D．πR B 【解析】　圆的面积公式为S＝πR2. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第44页，共55页 3．已知α是第三象限角，则角－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　可以用特殊值代入法，负角为顺时针方向旋转． 第45页，共55页 4．给出下列四个命题： ① 是第二象限角； ② 是第三象限角； ③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第46页，共55页 【解析】　① 是第三象限角，故①错误；②③④正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第47页，共55页 5．锐角的集合可以写为(　　) A．(0， ) B．[0， ] C．( ，π) D．(－∞， ) A 【解析】　0°<锐角<90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第48页，共55页 6．角α与角π－α的终边关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称 C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　可以用特殊值代入法． 第49页，共55页 7．终边在y轴上的所有角可表示为(　　) A．{β|β＝n·360°＋90°，n∈Z} B．{β|β＝n·180°＋90°，n∈Z} C．{β|β＝n·360°，n∈Z} D．{β|β＝n·180°，n∈Z} B 【解析】　选项B中，n为偶数时，β的终边在y轴非负半轴；n为奇数时，β的终边在y轴非正半轴．也可以用特殊值代入法． 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 第50页，共55页 8． 已知角β与2 025°终边相同，且β∈[－180°，0°]，则β＝(　　) A．－45° B．－135° C．135° D．225° B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵2 025°＝360°×6－135°， ∴2 025°与－135°终边相同． 第51页，共55页 二、判断题(正确的填“√”，错误的填“×”) 1．－1 091°角是第二象限角．(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　－1 091°＝－11°－360°×3，所以－1 091°角是第四象限角． 第52页，共55页 2．已知角α＝3，则α为第二象限角．(　　) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】　∵ <3<π，∴角α在第二象限． 第53页，共55页 3．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形的面积为5π2.(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 单选 判断 【解析】 　 . 谢谢观看！ $$