4.2 指数函数及其应用课件——河北省2026届高三对口单招数学复习

第二节　指数函数及其应用 第四章 指数函数与对数函数 第1页，共45页 第2页，共45页 1．指数函数的概念 一般地，形如________(a>0且a≠1)的函数称为指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为________. 【注意】注　指数函数与幂函数的区别：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的底数a为常数，且有范围限制，指数是自变量x；幂函数y＝xα，指数α是使得xα有意义的一切实数，底数是自变量． y＝ax R 2 底数 0<a<1 a>1 图像 定义域 R R 值域 __________ __________ 第3页，共45页 2．指数函数的图像和性质(见表4－2－1所列) 表4－2－1 (0，＋∞) (0，＋∞) 3 底数 0<a<1 a>1 恒过定点 ________ ________ 单调性 在R上单调递________ 在R上单调递________ 不同区间的 取值情况 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1   第4页，共45页 续表 (0，1) (0，1) 减 增 4 第5页，共45页 【注意】注　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与指数函数y＝a－x (a>0且a≠1)的图像关于y轴对称． 第6页，共45页 3. 指数函数模型及其应用 (1)表达形式：y＝bax＋c. (2)条件：a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1. (3)当b>0，a>1时，称为指数增长模型； 当b>0，0<a<1时，称为指数衰减模型． (4)能用指数型函数y＝bax＋c(a，b，c为常数，b>0，a>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”． 6 例1 变1 例2 考点1　指数幂运算 【例1】　求函数y＝ 的定义域和值域． 变2 第7页，共45页 例3 变3 【解析】　∵y＝ 有意义，则1－2x≥0，即2x≤1， ∴x≤0，此时0<2x≤1，∴0≤1－2x<1，∴0≤ <1， ∴函数y＝ 的定义域为(－∞，0]，值域为[0，1). 第8页，共45页 【变式训练1】　求函数 的定义域和值域． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 解：由题意，得3x－1≥0⇒3x≥30⇒x≥0，所以函数的定义域为[0，＋∞). 对于函数 ，由于根号下式子为非负数，所以函数的最小值为0，无最大值，所以函数的值域为[0，＋∞). 第9页，共45页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【思路点拨】　由函数解析式中的限制条件列出关于自变量的不等式，是求函数定义域的基本方法；求函数值域时要注意利用指数函数的单调性． 第10页，共45页 考点2　指数型函数的图像 【例2】　若0<a<1，则y＝ax与y＝－ax在同一个直角坐标系中的图像可能为(　　) 例1 变1 例2 变2 例3 变3 A 第11页，共45页 【解析】　先找两个函数中共同的字母a，a的范围相同，再根据指数函数的性质决定指数函数的单调性．∵0<a<1，∴指数函数为减函数；根据正比例函数的图像特点可知，x的系数－a<0，∴直线过原点且在R上单调递减． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第12页，共45页 【变式训练2】　函数y＝a|x|(a>1)的图像大致是(　　) 例1 变1 例2 变2 例3 变3 B 第13页，共45页 【思路点拨】　根据复合函数奇偶性和指数函数的底数a>1；再根据指数函数“爆炸式”增长规律作判断． 【解析】　根据指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像和性质可知，y＝ax恒过(0，1)点，函数y＝a|x|(a>1)的图像关于y轴对称，是偶函数，再根据指数函数“爆炸式”增长规律，排除选项D，所以B正确． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第14页，共45页 例1 变1 例2 变2 考点3　指数函数单调性的应用 【例3】　设y1＝a3x＋5，y2＝a－2x，其中a＞1，当x为何值时，有y1＞y2? 例3 【解析】　a>1，则y1＝a3x＋5是R上的增函数，y2＝a－2x是R上的减函数， 当3x＋5＝－2x，即x＝－1时，y1＝y2， ∴当x的取值范围是(－1，＋∞)时，y1>y2. 变3 第15页，共45页 【变式训练3】　已知函数f(x)＝0.5 ，g(x)＝0.52x，求满足f(x)>g(x)条件的x的取值范围． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 解：f(x)＝0.5 和g(x)＝0.52x底数相同， ∵y＝0.5x为减函数， ∴f(x)>g(x)即等价于x2－3<2x，解得－1<x<3， 故x的取值范围是(－1，3). 第16页，共45页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【思路点拨】　本题考查复合函数不等式的求解，利用单调性求解即可．指数式化为同底，利用单调性进行求解，当不同底时一般要对底数进行讨论，然后根据增减性求解． 第17页，共45页 一、单项选择题 1．函数f(x)＝ 的定义域是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　3x－1≥0⇒3x≥1⇒3x≥30，即x≥0. 第18页，共45页 2．下列函数中，属于指数函数的是(　　) A．y＝x3 B． C．y＝(－3)x D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　y＝x3和 是幂函数，y＝(－3)x底数不符合指数函数的定义， ＝( )x是指数函数． 第19页，共45页 3．若函数y＝3＋2x－1的图像经过点P，则点P的坐标是(　　) A．(1，5) B．(1，3) C．(1，4) D．(4，1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　根据指数函数的图像和性质可知，函数y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0，1)，所以函数y＝3＋2x－1恒过点(1，4). 第20页，共45页 4．设2x＝ ，则(　　) A．－3<x<－2 B．－2<x<－1 C．－1<x<0 D．0<x<1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】 　 ，故选A. 第21页，共45页 5．0.92，log20.9，20.9三个数之间的大小关系是(　　) A．0.92＜20.9＜log20.9 B．0.92＜log20.9＜20.9 C．log20.9＜0.92＜20.9 D．log20.9＜20.9＜0.92 C 【解析】　0<0.92<1，log20.9<0，20.9>20>1， 所以log20.9＜0.92＜20.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 第22页，共45页 6．函数y＝3x与y＝3－x的图像(　　) A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　函数y＝3x与y＝3－x的图像关于y轴对称． 第23页，共45页 7．下列命题中，错误命题的个数是(　　) ①指数函数在其定义域上是减函数； ②指数函数不具备奇偶性； ③指数函数的定义域为(0，＋∞); ④函数f(x)＝ (a>0且a≠1)不是指数函数． A．1 B．3 C．2 D．0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 第24页，共45页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　需要根据指数函数的底数，才能确定函数的增减性，故①错误；指数函数不具备奇偶性，故②正确；指数函数的定义域为R，故③错误；函数f(x)＝ ＝( )x(a>0且a≠1)是指数函数，故④错误．故选B. 第25页，共45页 8．函数f(x)＝2x和g(x)＝5·2x的值域(　　) A．相同 B．不相同 C．部分相同 D．无法确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　本题是易错知识点，指数函数f(x)＝2x的值域是(0，＋∞)，g(x)＝5·2x的值域也是(0，＋∞)，虽然是五倍关系，但值域相同，故选A. 第26页，共45页 9．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则a的取值范围是(　　) A．(－1，－1) B．(－2，－1)∪(1，2) C．( ，－1)∪(1， ) D．(1， ) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　由题意，得函数的底数应该满足0<a2－1<1，即1<|a|< ，解得－ <a<－1或1<a< ，故选C. 第27页，共45页 10．函数f(x)＝3 的单调增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　本题考查复合函数f(x)＝3 的单调性． 第28页，共45页 二、判断题(正确的填“√”，错误的填“×”) 1．函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图像一定经过点(－1，2). (　　) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　根据指数函数的图像和性质可知，y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0，1)，所以f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图像恒过点(－1，2). 第29页，共45页 2．不等式( ) ≥5x－4的解集是(－1，4).(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　( ) ≥5x－4⇒5 ≥5x－4⇒－x2＋4x≥x－4，解集为[－1，4]. 第30页，共45页 3．函数 的单调减区间是(1，＋∞).(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　根据复合函数的判定方法“同增异减”，可得函数y＝3|x－1|的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(－∞，1). 第31页，共45页 4．f(x)＝ax－a－x是偶函数．(　　) × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 单选 判断 【解析】　∵函数f(x)＝ax－a－x的定义域为R， 且f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 谢谢观看！ $$