学易金卷：高一数学上学期第一次月考02（人教A版2019必修第一册第一章～第二章）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 6．下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，且” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 7．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 11．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是 ． 13．已知集合，，若，则实数的值为 ． 14．若位于第一象限的点的坐标是方程的一组解，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； 17．（15分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 18．（17分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 19．（17分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷02 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C A B C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．或. 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.已知，，则，解得. 故实数的取值范围为.（5分） （2）当时，因为，所以，解得，此时成立；（7分） 当时，，解得.因为，，则或， 解得或，故此时.（11分） 综上，若，则实数的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是.（6分） （2）当时，，（9分） 当时，或； 当时，； 当时，或，（13分） 所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则，解得，又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;（6分） （2）假设存在实数满足条件.由技术人员年人均投入不减少得, 解得.（8分） 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有, 两边同除以得,整理得,故有,（11分） 因为, 当且仅当时等号成立, 所以, 又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,（14分） ，即存在这样的m满足条件，其值为7.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”.因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”.（3分） 有理数集是“好集”. 理由： 因为，，对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”.（6分） （2）证明:因为集合是“好集”，所以，若，，则，即.所以，即.（8分） （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，，若，中有0或1时，显然.若，均不为0，1， 由定义可知，，，所以，即，所以. 由（2）可得，即.同理可得. （11分） 若或，则， 若且，则.（13分） 所以，所以. 由（2）可得，所以.（15分） 综上可知，，即命题为真命题，若，且，则，所以，即命题q为真命题.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证．（4分） （2）， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是（9分） （3），（11分） 令，原式，令， 原式，（15分） 当且仅当，即，时，等号成立．所以的最大值为（17分） 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷02 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年高一数学上学期第一次月考卷 02 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 6．下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，且” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 7．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 11．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是 ． 13．已知集合，，若，则实数的值为 ． 14．若位于第一象限的点的坐标是方程的一组解，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； 17．（15分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 18．（17分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 19．（17分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题p：，，则命题p的否定为，,故选：D. 2．与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】12的所以正因数有，所以.故选：B. 3．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以.故选：C. 4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：，当时，，所以，则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则为的真子集,故其一个充分不必要条件是：.故选:A. 5．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【答案】B 【详解】由，则集合有2个元素，所以的非空子集个数为个. 6．下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，且” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】C 【详解】对于A：因为，故A错误；对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B错误；对C：命题“，”的否定为：“，”，显然，则命题“，”为真命题，故C正确；对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，故“且”是“”的充分条件，故D错误；故选：C. 7．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，因为，故A错误；对于B，因为， 是偶数，所以，故B错误；对于C，，，故错误；对于D，，，则，故D正确. 8．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且，则，可得，， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，因为，所以，故A错误；因为，所以，因为，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为，所以，所以，又，所以，故D正确.故选：CD. 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 【答案】ACD 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以整理得 则．，解得． ，即，解得，则．故选：ACD． 11．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】AC 【详解】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4.故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是 ． 【答案】 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得， 又是的充分不必要条件． 13．已知集合，，若，则实数的值为 ． 【答案】或. 【详解】因为的解集为，所以，又，所以，，所以，，所以，，解得或. 14．若位于第一象限的点的坐标是方程的一组解，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，故，故， 则，故的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得.因为，，则或， 解得或，故此时.综上，若，则实数的取值范围为. 16．（15分）已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； 【答案】(1)；(2)答案见解析； 【详解】（1）不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）当时，， 当时，或； 当时，； 当时，或， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．（15分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)75人；(2)存在，7 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则，解得，又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人; （2）假设存在实数满足条件.由技术人员年人均投入不减少得, 解得. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有, 两边同除以得,整理得,故有, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以, 又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以, ，即存在这样的m满足条件，其值为7. 18．（17分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析；(2)证明见解析； (3)命题、均为真命题，理由见解析 【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”.因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”. 有理数集是“好集”. 理由： 因为，，对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”. （2）证明:因为集合是“好集”，所以，若，，则，即.所以，即. （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，，若，中有0或1时，显然.若，均不为0，1， 由定义可知，，，所以，即，所以.由（2）可得，即.同理可得. 若或，则.若且，则. 所以，所以.由（2）可得，所以. 综上可知，，即命题为真命题，若，且，则，所以，即命题q为真命题. 19．（17分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立．所以的最大值为 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$