4.7　一元二次方程的应用 教案 2025-2026学年 青岛版九年级数学上册

4.7　一元二次方程的应用 课题 4.7　一元二次方程的应用 课时 第1课时 授课人 教学目标 1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、利润方面的应用问题. 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力,培养应用数学的意识. 教学 重难点 教学重点:用列一元二次方程的方法解有关面积、利润的应用问题. 教学难点:用列一元二次方程的方法解有关面积、利润的应用问题. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.一元二次方程的解法有　直接开平方法　、　因式分解法　、　公式法　、　配方法　.  2.一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,没有实数根. 3.如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=　-　,x1x2=　　.  复习所学过的一元二次方程的有关知识,为学习应用题打好基础. 情境导入 与我们学过的一元一次方程、二元一次方程组和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实生活与生产中数量关系的有效模型.本节课学习一元二次方程的应用. 直接导入课题,激发学生学习的兴趣. 合作探究 探究一:面积问题 列一元一次方程解应用题的步骤有哪些? 1审;2设;3列;4解;5答. 列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的步骤类似. 典例分析: 【例1】 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25 m),另外三边用木栏围成,木栏长40 m. (1)鸡场的面积能达到180 m2吗?能达到200 m2吗? (2)鸡场的面积能达到250 m2吗? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由. 要想知道鸡场的面积能否达到180 m2,只需要让鸡场的面积先等于180,然后看得出的方程有没有解,如果有,就证明可以达到180 m2,如果方程无解,说明不能达到.其他问题的方法同理. 1.例1是一元二次方程应用中面积问题的典型代表,注意方程的根要符合题意. 续表 合作探究 解:(1)①设鸡场的宽为x m,则长为(40-2x)m,根据题意,得 x(40-2x)=180.即x2-20x+90=0. 解这个方程,得x1=10+,x2=10-. 当x=10-时,长=40-2(10-)=20+2>25,不符合题意,故舍去. ②当面积为200 m2时,根据题意,得 x(40-2x)=200.即x2-20x+100=0. 解这个方程,得x1=x2=10. 当x=10时,40-2x=20,符合题意. 答:鸡场的面积能达到180 m2,这时鸡场的两边长分别为(10+)m和(20-2)m;当一边为10 m,另一边为20 m时,鸡场的面积能达到200 m2. (2)同(1),当面积为250 m2时,得 x(40-2x)=250. 整理,得x2-20x+125=0. ∵Δ=(-20)2-4×125=-100<0, ∴原方程无解. ∴鸡场的面积不能达到250 m2. 探究二:利润问题 每件的利润=每件的售价-进价; 总利润=每件的利润×销售量. 典例分析: 【例2】 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,每天可售出100件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经过市场调查,发现这种商品售价每降低1元,商场销售量平均每天可增加10件,若商场经营该商品一天要获得利润2 160元,且让顾客得到实惠,则每件商品应降价多少元? 解:设每件商品降价x元.根据题意,得 (100-x-80)×(100+10x)=2 160, 解得x1=2,x2=8, 由于为了减少库存,应降价多点,故把x=2舍去,所以x=8. 答:每件商品应降价8元. 归纳小结： 销售利润问题,是用一元二次方程解应用题的重点问题,也是难点.要正确理解销售量与利润的关系,能准确用未知数表示销售量和单件的利润是关键. 2.例2是重点加难点问题,大部分学生会在销售利润中犯错误,能用未知数准确表示销售量和单件的利润是关键. 续表 随堂检测 1.如图,在宽为20 m、长为36 m的矩形草地上修建两条同样宽且互相垂直的道路,剩余草地的面积是540 m2.则道路的宽为　(28-2)m　.  2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件,每件可盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售出5件.若要平均每天盈利1 600元且使顾客得到最大的实惠,则每件应降价　36　元.  3.如图,一个农户要建一个矩形鸡舍ABCD,鸡舍的一边AD利用长为12米的住房墙,另外三边用25米长的建筑材料围成.为了方便进出,在CD边留一个1米宽的小门. (1)若矩形鸡舍的面积为80平方米,求与墙平行的一边BC的长; (2)若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度,问BC边至少应为多少米? 解:(1)设BC的长为x m, 依题意得(25+1-x)x=80. 解得x1=10,x2=16(舍去). 答:矩形鸡舍的面积为80平方米,与墙平行的一边BC的长为10 m. (2)依题意得 解得≤x≤12. 所以xmin=. 答:若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度,BC边至少应为米. 续表 随堂检测 4.某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现采用提高售价、减小进货量的方法增加利润.已知这种商品每涨价0.5元,其每天销售量就减少10件,问将售价定为多少元时,才能使每天所获利润为640元? 解:设将售价定为x元,根据题意, 得(x-8)200-×10=640. 即x2-28x+192=0. 解这个方程得x1=12,x2=16. ∵要提高售价,减小进货量, ∴x只取16. 答:将售价定为16元时,才能使每天所获利润为640元. 课堂小结 1.列一元二次方程解应用题的步骤是怎样的? 2.解面积问题时,要注意哪些问题? 3.解利润问题时,要注意哪些问题? 便于学生梳理知识之间的内在联系,掌握更牢固. 作业布置 请完成教材练习题P152T1-T2 板书设计 面积问题与利润问题 1.列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答. 2.面积问题 3.利润问题 【例1】 【例2】 教学反思 用一元二次方程可解决的实际问题很多,常见的有:(1)面积类问题,解决这类问题通常要借助图形和几何直观加以分析,并注意面积公式以及乘法公式的应用;(2)销售利润问题,是难点,也是重点,很多学生掌握不好,主要原因是销售量的表示出现错误,要掌握规律,理解题意. 课题 4.7　一元二次方程的应用 课时 第2课时 授课人 教学目标 1.经历把实际问题中的数量关系抽象为一元二次方程的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效数学模型. 2.会列出一元二次方程解决利润类问题中的增长率(包括负增长)和其他应用的实际问题,培养应用意识和分析问题、解决问题的能力. 3.能根据问题的实际意义,检验方程的解是否合理. 教学重难点 教学重点:会列一元二次方程解关于增长率问题和其他问题的应用题. 教学难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中间量,会根据所设的不同意义的未知数,列出相应的方程. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 某品牌服装去年每套300元.(只列式子不计算结果) (1)如果今年提价10%,今年的售价是多少元? 今年的售价:(300+300×10%)=300(1+10%). 据说明年还要提价10%,那么明年的售价是多少元? 明年的售价:300×(1+10%)+300×(1+10%)×10%=300×(1+10%)2. (2)如果今年降价10%,则今年的售价是多少元? 今年的售价:(300-300×10%)=300(1-10%). 据说明年还要降价10%,那么明年的售价是多少元? 明年的售价:300×(1-10%)-300×(1-10%)×10%=300×(1-10%)2. 复习比原来增大或减少几分之几后是多少,为学习增长率做好铺垫. 情境导入 问题1：(只列式子不计算结果)某品牌服装去年每套300元. (1)今年增长率是x,则今年的售价是多少元? 今年的售价:300+300x=300(1+x). (2)据说明年的增长率还是x,那么明年的售价是多少元? 明年售价:300(1+x)+300(1+x)x=300(1+x)2. 问题2：(只列式子不计算结果)某品牌服装去年每套300元. (1)今年的降价率是x,则今年的售价是多少元? 今年的售价:300-300x=300(1-x). (2)据说明年的降价率还是x,那么明年的售价是多少元? 明年的售价:300(1-x)-300(1-x)x=300(1-x)2. 注意: 每次增长或降低的“1”的含义不一样,让学生理解. 续表 合作探究 探究一:增长率问题 某养殖场2010年的产值为500万元,2012年的产值为605万元.求2010~2012年该养殖场产值的年平均增长率. 分析:如果设该养殖场2010~2012年产值的平均增长率为x,那么 2011年的年产值为　　　　　　,2012年的年产值为　　　　　　.而2012年的年产值正好是605万元.可列方程　　　　　　.你会解决这个问题吗?  解:设该养殖场2010~2012年产值的年平均增长率为x.根据题意,得 500(1+x)2=605. 解这个方程,得 x1=0.1,x2=-2.1. 根据题意,605万元>500万元,故年增长率x>0,而x2=-2.1<0,因此 x2=-2.1不符合题意,应当舍去,x1=0.1符合题意. 所以,该养殖场2010~2012年产值的年平均增长率为0.1,即10%. 典例分析: 【例1】 某种药品经过两次降价后,每盒售价为原售价的64%,求该药品平均每次的降价率. 分析:如果把降价之前的价格看作单位“1”.设该药品平均每次的降价率为x,那么第一次降价后该药品每盒的售价为　　　　　　,第二次降价后该药品每盒的售价为　　　　　　,而两次降价后的价格是1×64%,可列方程　　　　　　.  请你把步骤写完整. 解:设该药品平均每次的降价率为x,根据题意,得 (1-x)2=64%. 解这个方程,得 x1=0.2,x2=1.8. 根据题意,降价率应满足0<x<1,因而x2=1.8不符合题意,应当舍去, 而x=0.2符合题意. 所以,该药品平均每次的降价率为0.2,即20%. 归纳小结： 如果a表示原来的基数,m表示平均增长率,n表示增长的次数,A为增长后的目标数,那么a(1±m)n=A.本节课只研究n=2的情况.当m前面是“-”时表示负增长,即降低. 探究二:其他应用 典例分析: 【例2】 有一个两位数等于其各数位数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数. 分析:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-2),这个两位数为10(x-2)+x;然后根据“这个两位数等于其各数位数字之积的3倍”可列出关于x的方程. 1.在情境导入的铺垫下,增长率的问题不难掌握,要注意在解增长率的方程时,一般用直接开平方法. 2.例1中没有原来的售价,所以可把原来的售价看作单位“1”或设原来的价格为一个常数. 3.例2是数字问题,要注意十位数字乘10,百位数字乘100,千位数字乘1 000,…,加起来就构成了这个数. 续表 合作探究 解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-2),这个两位数是10(x-2)+x. 根据题意,得10(x-2)+x=3x(x-2), 整理,得3x2-17x+20=0, 解得x1=4,x2=(不合题意,舍去). 当x=4时,x-2=2, ∴这个两位数是24. 归纳小结： 两位数=十位数字乘10+个位数字;三位数=百位数字乘100+十位数字乘10+个位数字;….要注意检验. 随堂检测 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支,可列方程为(　B　 ) A.(1+x)2=91 B.1+x+x2=91 C.(1+x)x=91 D.1+x+2x=91 2.我市某校九(1)班学生准备在元旦那天用送贺卡的方式表示祝贺,班长说:每位同学都要送给其他同学一张贺卡.结果九(1)班学生共送出贺卡2 970张.问:该班共有多少个学生?如设该班共有x个学生,则可列方程为(　B　 ) A.x(x-1)=2 970 B.x(x-1)=2 970 C.x(x+1)=2 970 D.x(x+1)=2 970 3.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为　20%　.  4.在一次同学聚会时,大家一见面就相互握手.有人统计了一下,大家一共握了45次手,参加这次聚会的同学共有多少人?若参加聚会有x名同学,可列方程　x(x-1)=45　.  5.电动自行车已成为市民日常出行的首选工具.据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计,该品牌电动自行车1月份销售150辆,3月份销售216辆. (1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率; (2)若该品牌电动自行车的进价为2 300元,售价为2 800元,则该经销商1至3月共盈利多少元? 解:(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x,根据题意,得150(1+x)2=216, 解得x1=-220%(不合题意,舍去),x2=20%. 故该品牌电动自行车销售量的月均增长率为20%. (2)2月份的销量是150×(1+20%)=180(辆), 所以该经销商1至3月共盈利(2 800-2 300)×(150+180+216)=500×546=273 000(元). 续表 随堂检测 6.有一个两位数,它的十位数字与个位数字之和为5,如果把十位数字与个位数字调换后,所得的两位数乘原来的两位数就得736,求原来的两位数. 解:设原两位数的个位数字为x,则十位数字为(5-x),原两位数为10(5-x)+x,新两位数为10x+(5-x). 根据题意,得[10x+(5-x)][10(5-x)+x]=736, 解得x1=2,x2=3. 当x=2时,5-x=3,符合题意,原来的两位数是23. 当x=3时,5-x=2,符合题意,原来的两位数是32. 答:原来的两位数是23或32. 课堂小结 1.增长率问题:如果a表示原来的基数,m表示平均增长率,n表示增长的次数,A为增长后的目标数,那么它们之间有怎样的等量关系? 2.两位数,三位数,…与各数位上的数字之间有怎样的等量关系? 对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 请完成教材习题P154T1-T4 板书设计 增长率问题与其他应用 1.增长率问题 如果a表示原来的基数,m表示平均增长率,n表示增长的次数,A为增长后的目标数,那么a(1±m)n=A. 2.数字问题 两位数=十位数字乘10+个位数字;三位数=百位数字乘100+十位数字乘10+个位数字;…… 【例1】 【例2】 教学反思 本节课主要学习增长率问题,是与银行储蓄和工农业生产中的增长率、固定资产的折旧率相关的一类问题,它的基本模型是a(1±m)n=A.还有数字问题等等,解决这类问题的关键是将问题转化为数学模型寻求解题思路.由于数学来源于生活,而生活是丰富多彩的,因此,可用一元二次方程来解决的问题是多种多样的.根据问题的实际意义检验方程的解是否合理,是不可缺少的步骤,也是学生解题时容易忽视的问题,教学时必须引起注意. 学科网（北京）股份有限公司 $$