第十三章 三角形（综合与实践-确定匀质薄板的重心位置）（教学课件）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

人教版(2024)八年级数学上册 第十三章 三角形 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 学习目标 1.学生能够清晰阐述物体重心在物理学中的准确概念。 2.熟练掌握确定常见简单平面图形(如三角形、正方形、长方形、平行四边形等)重心位置的方法。 3.学会运用悬挂法精准确定不规则平面图形以及匀质薄板的重心位置。能够准确描述悬挂法操作步骤。 4.对于由常见简单平面图形组合而成的平面组合图形,学生可以通过合理分割图形、运用几何图形性质及数学计算,确定其重心位置。 知识回顾 知识结构 三角形 与三角形有关的线段 三角形的内角与外角 三角形的三边关系 中线、角平分线、高 三角形的内角和 三角形的外角 三角形的有关概念及分类 在探索重心之前,我们需要唤醒储存在大脑中的 "知识工具箱": 1.三角形的基本元素:由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形,具有三个顶点、三条边和三个内角。 请回忆:三角形按角可以分为哪几类?按边呢? 直角 三角形 锐角 三角形 钝角 三角形 三边都不相等的三角形 等腰 三角形 等边 三角形 三角形按角分类 三角形按边分类 2.三角形的重要线段:从一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做高; 连接一个顶点和它对边中点的线段叫做中线; 而将一个角分成相等两部分的线段是角平分线。 其中,三条中线的交点被称为三角形的重心 ——这个名称是不是和我们今天要找的平衡点隐隐呼应? 3.重力的特性:地球对物体的吸引力叫做重力,其方向总是竖直向下。当物体静止时,重力的作用点就落在支撑点的正上方 —— 这正是我们寻找薄板重心的核心原理。 带着这些知识,我们即将亲手验证:三角形匀质薄板的重心,是否真的与三条中线的交点重合? 新课讲解 例如,比赛中运动员在转向时,通过调整身体重心的位置来改变滑行方向; 杂技演员在表演转盘子时,用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动; 等等. 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要. 在工程中,物体重心的位置也有重要的应用. 例如,水坝、挡土墙等建筑的重心必须在一定的范围内,否则可能会导致坍塌; 当飞机的重心位于合适的位置时,不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定,而且能使飞机具有良好的操纵性能; 为了达到预期的搅拌效果,混凝土搅拌机转动部分的重心会设计得偏离转轴一定的距离;等等. 工程中使用的许多物体具有均匀的质地,如工程中常用的工字钢、角钢、槽钢等型钢. 你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心吗? 接下来,我们一起来探究解决这个问题. 工字钢 角钢 槽钢 活动一:确定简单平面图形的重心位置 活动一:确定简单平面图形的重心位置 三角形的重心位于_. 三条中线的交点处 任务1 认识平面图形的重心 其他平面图形的重心在什么位置呢? 问题1:在物理学中,物体的重心指的是什么?匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关? 在物理学中,物体的重心是指物体各部分所受重力的等效作用点. 重心位置只与形状有关,与质量的具体数值无关. 问题2:试一试,用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心,它能保持平衡吗?三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系? 三角形匀质薄板的重心位置就是所画三角形的重心位置。 问题3:你能仿照三角形的重心,给一般平面图形的重心下一个定义吗? 对于质地均匀(密度分布均匀)的平面图形,存在唯一的点,使得该点对图形各部分的重力总效果等效于整个图形的重力集中作用于该点;此时,若用一个支点支撑该点,整个平面图形能够保持平衡。 问题1:你能利用物理知识,设计一个发现三角形的重心位置的实验吗? 悬挂法:将物体悬挂于不同点,画出悬挂线的延长线,这些线的交点即为重心. 任务2 了解平面图形重心位置的分布特点 问题2:怎样确定其他常见的几何图形(如正方形、长方形、平行四边形、圆等)的重心位置?这些图形的重心位置有什么共同特点?你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗? 这些图形的重心都位于它们的几何中心. 三角形三条中线的交点就是三角形的几何中心,所以三角形的重心也满足上述特点. 悬挂法: 问题3:如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么?位于它的什么位置?”,你会怎样回答? 一个平面图形的重心是它所受重力的等效作用点,位于该平面图形的几何中心. 任务3 确定一些平面图形的重心位置 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动,利用前面获得的结论,选择一些平面图形,尝试确定它们的重心位置. 问题1:你选择的是什么图形?能否根据它的形状确定其重心位置?如果能,你的依据是什么?如何验证你找到的重心位置的准确性? 问题2:当不能根据图形的形状确定它的重心位置时,你能通过把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗?如果能,你是如何做的?如果不能,你遇到了什么困难? 活动二:确定平面组合图形的重心位置 平面组合图形由简单平面图形组成,如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系,就可以确定平面组合图形的重心位置了. 为了更加明确地表达位置之间的数量关系,可以建立平面直角坐标系,用坐标来研究重心的位置. 活动二:确定平面组合图形的重心位置 通过小组合作活动,选择一个已知重心位置的平面图形,将它分成已知重心位置的两部分,建立平面直角坐标系,探究图形的重心位置与两部分的重心位置坐标之间的关系. 把一个图形分成两部分,确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系. 任务1 探究正方形的重心位置 6 6 ①边长为 6 的正方形. ②分成两个长方形,其长均为6,宽分别为 2 和 4 . 2 4 N 重心为点 N. N1 N2 重心分别为点 N1,N2. 探究正方形的重心位置 ③建立平面直角坐标系. N N1 N2 6 2 6 x y O 点 N (3,3) 点 N1 (1,3) 点 N2 (4,3) 试着描述一下这三个坐标的数量关系. 小组汇报 (1)你选择的是什么图形?你是按照什么标准把图形分成两部分的?图形的重心位置和两部分的重心位置分别位于哪里? (2)你是如何建立平面直角坐标系的?图形的重心位置的横坐标 x、纵坐标 y 与两部分的重心位置的横坐标 x1,x2、纵坐标 y1,y2 之间有什么数量关系?两者之间的关系与你选择的分割图形的标准有关吗? (3)换一个标准把图形分成两部分,你能得到图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的什么数量关系?这种关系是否与前面得到的关系具有一致性? (4)你能根据前面的探究结论,猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与分成的两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗? 猜想 设两个长方形的面积分别为 S1,S2,则正方形的面积为 S1 + S2.正方形的重心坐标 N(x,y)与两个长方形的重心坐标 N1 (x1,y1),N2 (x2,y2) 之间的关系为 以将正方形分割成两个长方形为例: 确定一个工程用薄板类工件的重心位置 问题:小组合作,选择一个组合图形的薄板、薄壳工件(或工件的横截面)等,通过推理、计算确定它的重心位置. 任务2 确定“L”型角钢横截面的重心位置 N1 80 12 120 x y O 12 N2 如图,将“L”形角钢的横截面分割为长方形 ABCD和长方形CEFP, S长方形ABCD=1 440,S长方形CEFP=816,重心分别为G1(6,60),G2(46, 6). 设“L”形角钢横截面的重心坐标为G(x, y), 则x = ≈ 20.5, y = ≈ 40.5. 所以“L”形角钢的横截面的重心坐标为 (20.5 , 40.5).(分割方法不唯一) 活动三:跳高运动员为什么采用“背越式” 如图,当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时,成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好.试通过查资料、讨论等小组合作活动,探究其中的原因. 活动三:跳高运动员为什么采用“背越式” (1)“跨越式”与“滚式”跳高的重心问题 跨越式:运动员面朝下跨越横杆时,身体呈直立姿态,过杆瞬间重心位于腹部附近.由于人体直立时重心高度约为身高的55%~60%,此时重心轨迹的顶点必须高于横杆才能保证身体完全过杆. 滚式:身体平行于横杆过杆,虽然重心较“跨越式”略有降低,但躯干和腿部仍需依次抬升,重心轨迹仍略高于横杆,且动作协调性要求较高,容易触碰横杆. (2)“背越式”跳高的重心优化原理 身体姿态的弓形设计:“背越式”要求运动员背部朝向横杆,过杆时身体呈反弓形这种姿态通过分段过杆和重心补偿,使身体各部位分时通过横杆,整体重心轨迹的顶点显著低于横杆高度. 活动评价 评价内容 任务完成度 表现力 自我反思度 组内评 组外互评 老师评 课堂练习 类型1 确定简单平面图形的重心位置 1.三角形三条( )的交点叫作三角形的重心. D A.高 B.角平分线 C.外角平分线 D.中线 2如图所示的网格由边长相同的小正方形组成, 点,,,,, ,在小正方形的顶点上, 则 的重心是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 31 类型2 图形的重心与坐标 3.已知长方形的长为2,宽为1.以 所在的直 线为轴, 的中点为原点,建立平面直角坐标系, 如图.则长方形的重心 可以用坐标表示为 _.若将与轴的交点记为点 ,则长方形 可以拆分成两个小正方形,分别为正方形 和正方形.那么正方形的重心 可以用坐标表示为_, 正方形的重心可以用坐标表示为_,连接 ,可以发现线段 的 重心恰好是点_. 32 4.如图,根据多边形 在平面直角坐标系中的位置,可以确定这个多边形 的重心坐标为_. 返回 33 实践 5.阅读材料,并解决问题. 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时,小王向同桌小刘提出这样一个问题:四边形有没有重心?如果有,它的重心如何确定呢?小刘在周末查阅了相关资料,得到如下的信息:①四边形有重心;②在平面内,图形A与图形B拼成一个图形C(无缝隙、不重叠),那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 类型3 组合图形的重心 34 问题探究 问题1 如图,有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片,其中一张记为,为其直角顶点,且 ,将这两个三角形拼成一个四边形(无缝隙、不重叠),使它们的斜边重合_。请画出所有符合要求的四边形,并作出所画四边形的重心 (用有刻度的直尺作中线,保留作图痕迹并写出结论) 【解】问题如图(1)所示, 的重心是其三条中线的交点,的重心是其三条 中线的交点 .由题意可得,这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形,而这个长方形 也可由和拼成,易知这两个三角形的重心都在 上,则线段与的交点就是长方形 的重心. 图(1) ②如图(2)所示,的重心是其三条中线的交点 ,的重心是其三条中线的交点, 连接,.易知 和的重心都在上,所以四边形的重心是线段 与的交点 . 图(2) 问题探究 问题2 如图,一个长方形缺损一个角(缺损部分也是长方形),请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分,并简要说明理由_ _ 问题2:(所作直线不唯一)如图,延长交于 , 作长方形和长方形 的对角线,过两个长方形的 对角线交点, 的直线即为所求. 理由:因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分, 所以既平分长方形 又平分长方形,故 将该图形分成面积相等的两部分. 36 6.综合与实践 对于均质等厚薄板(平面组合图形)的重心位置可通过分割法计算,即将组合图形分解为若干个简单规则图形(如矩形、三角形、圆形等),分别求出各简单图形的重心坐标和面积,再利用加权平均公式计算组合图形的重心.以下是具体公式和步骤,根据以下素材,探索完成任务. 素材1 在使用分割法前,需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为, 圆 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤: 1.建立坐标系:根据图形特点建立平面直角坐标系,使图形的各部分在同一坐标系中便于描述,比如让对称轴与坐标轴重合等. 2.分割图形:将平面组合图形分割成几个简单平面图形,确定每个简单图形的面积, 3.确定简单图形重心坐标:求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标. 4.代入公式计算:把,代入重心坐标公式,计算出组合图形重心坐标,其中,. 解:任务一:如图:矩形的重心,面积,矩形的重心,面积, , , 重心坐标为 素材3 负面积法(挖空图形):若组合图形包含挖空部分(如矩形中挖去圆形),可将挖空部分视为“负面积”,重心公式调整为,其中. 任务一 求阴影部分图形的重心坐标. 任务二 求阴影部分图形的重心坐标. 任务二:如图:①直角三角形,,,重心,面积, ②矩形重心,面积, ③直角三角形,重心,面积, 重心坐标为 课堂小结 确定匀质薄板的重心位置 悬挂法(薄板边缘悬挂,画线找交点)、 几何法(规则图形重心在几何中心)、 公式法(不规则图形先分后加权平均) 拆分简单图形,结合每部分的面积和重心坐标计算,如“L“形、“Z"形薄板及三角形与长方形组合图形 简单图形 组合图形 本节课同学们学到了什么? 布置作业 作业题 教科书第26页活动2任务2 通过计算确定重心位置. 如图,将“Z”形薄板分割为长方形ABCD,长方形EFQD和长方形FMNP,S长方形ABCD=300,S长方形EFQD=500,S长方形FMNP=200,重心分别为G1(15,45),G2(35,25),G3(50,5). 设“Z”形薄板的重心坐标为G(x,y), 则x = =32, y = =27. 所以“Z”形薄板的重心坐标为(32,27). (分割方法不唯一) 确定“Z”型角钢横截面的重心位置 如图,将薄板分割为正方形NAQM,长方形FQPE和正方形DPBC,S正方形NAQM =6 400,S长方形FQPE=4 000,S正方形DPBC=1 600,重心分别为G1(40,40),G2(100,50),G3(140,20). 设薄板的重心坐标为G(x,y), 则x = = , y = =. 所以薄板的重心坐标为(,). (分割方法不唯一) 感谢观看 $$