1.2 怎样判定三角形相似 导学案2025-2026学年青岛版数学九年级上册

第1章 　图形的相似 学习目标 课题 1.2　怎样判定三角形相似 课时 第1课时　平行线分线段成比例定理 学习目标 1.经历基本事实9及其推论的证明过程,体会证明是说明一个问题正确的方法. 2.理解并掌握基本事实9及其推论. 学习 重难点 重点:理解并掌握基本事实9及其推论. 难点:利用所学基本事实9及其推论解决所遇到的实际问题. 学习活动 [课前小测] 1.相似多边形的主要特征是什么? 2.在相似多边形中,最简单的就是相似三角形,它的特征是什么? 3.(1)当△ABC与△A'B'C'的相似比为k时,△A'B'C'与△ABC的相似比为　 　.  (2)如果k=1,这两个三角形有怎样的关系? [合作探究] 探究一:平行线分线段成比例 (1)如图①,直线l1,l2被平行直线l3,l4所截,交点分别为A,B,C,D.过线段AB的中点E,作直线l5∥l4,该直线与直线l2交于点F,那么F是线段DC的中点吗?如果是,证明你的结论. 提示:要证明DF=FC,如果能把它们放在两个全等三角形中就好办了. 图① (2)如图②,取AE的中点P,过点P作直线l6∥l3,交l2于点Q,此时对应线段AP,PB,DQ,QC成比例吗?为什么?如果取EB的中点P1,过点P1作直线l7∥l3,交l2于点Q1,你发现l1,l2被平行线所截得的对应线段AP1,P1B,DQ1,Q1C成比例吗? 图② 探究二:平行线分线段成比例定理的推论(“A型”“X型”) (1)图①中l1,l2两条直线被三条互相平行的直线l3,l4,l5所截,交点A重合且刚好落到l3上时,如图②,线段AB,AC,AE,AF成比例吗?AB,AC,BE,CF呢? ① ② (2)图①中l1,l2两条直线被三条互相平行的直线l3,l4,l5所截,交点A刚好落到l4上,如图③,线段AE,AC,AD,AB,DE,BC成比例吗? ③ 典例分析: 【例1】 如图,直线l1∥l2∥l3,下列比例式中成立的是(　 　 ) A.= B.= C.= D.= 【例2】 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,AE=6,则AC等于(　　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 [随堂检测] 1.如图,直线l1∥l2∥l3,AB=3,AC=4,则的值是(　 　 ) A. B. C. D. 2.如图,小明在打网球时,球恰好能打过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h为　 　m.  3.如图,l1∥l2∥l3,AM=2,MB=3,CD=4.5,则ND=　 　,CN=　 　.  [课堂小结] 1.平行线分线段成比例定理及推论是怎样得出来的? 2.平行线分线段成比例定理的内容是什么? 3.平行线分线段成比例定理的推论的内容是什么? [作业布置] 请完成教材练习题P11T1-T2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 　图形的相似 学习目标 课题 1.2 怎样判定三角形相似 课时 第3课时 相似三角形的判定定理2,3 学习目标 1.理解相似三角形判定定理2,3的推导过程,掌握相似三角形的判定定理.在探究三角形相似的活动中,体会类比思想. 2.掌握相似三角形判定定理2,3,能根据题目所给的条件,选择适当的方法判定两个三角形相似. 学习 重难点 重点:会应用相似三角形的两个判定定理. 难点:怎样选择合适的方法来判定两个三角形相似. 学习活动 [课前小测] 1.复习提问,我们学习了哪些判定三角形相似的方法? 2.回顾全等三角形的判定方法有哪些? [合作探究] 探究一:相似三角形的判定定理2 类比三角形全等的方法SAS,能不能用两边及夹角来判定两个三角形相似呢? 画出△ABC和△A'B'C',使∠A'=∠A,=,它们相似吗?怎样证明呢? 典例分析: 【例1】 如图,AD=3,AE=4,BE=5,CD=9.△ADE与△ABC相似吗?说明理由. 探究二:相似三角形的判定定理3 类比三角形全等的方法SSS,能不能用三边来判定两个三角形相似呢? 如图,把△ABC的三边按一定的比例缩小(或放大)后得到△A'B'C',即三边满足==,它们相似吗?怎样证明呢? 典例分析: 【例2】 如图,已知==.不另外添加字母,写出图中相等的角,并说明理由. [随堂检测] 1.在△ABC中,BC=5 cm,CA=45 cm,AB=46 cm,另一个与它相似的三角形的最短边是15 cm,则最长边是(　 　 ) A.138 cm B.cm C.135 cm D.不确定 2.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的两点,添加下列条件: ①∠AED=∠C;②=;③=;④=. 其中能判定△ABC∽△ADE的是(　 　 ) A.①④ B.①②③ C.①② D.①②④ 3.如图,在正方形网格上有6个三角形:①△ABC,②△BCD,③BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK.在②~⑥中,与①相似的是(　 　 ) A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥ 4.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,E是AB的中点,F是AC边上的一个动点,将△AEF沿EF折叠,使A落在A'处,若A,E,F三点组成的三角形与△ABC相似,则EF的长为　 　.  [课堂小结] 1.相似三角形的判定有几种方法?如何选择这些方法? 2.相似三角形具有哪些性质? [作业布置] 请完成教材练习题P16T1-T2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 　图形的相似 学习目标 课题 1.2　怎样判定三角形相似 课时 第2课时　相似三角形的判定定理1 学习目标 1.经历相似三角形与全等三角形的类比过程,进一步体验类比思想;了解相似三角形判定定理1的证明过程. 2.能运用相似三角形的判定定理1证明三角形相似. 学习 重难点 重点:能运用相似三角形的判定定理1证明三角形相似. 难点:相似三角形判定定理1的证明过程. 学习活动 [课前小测] 1.基本事实9是什么?它的推论呢? 2.如图,已知AB∥CD∥EF,你能分别得到哪些比例式呢?请填空. (1)==,==. (2)图中有相似三角形吗?请写出来. [合作探究] 探究:相似三角形的判定定理1 问题1：全等三角形是如何定义的?三角形全等的判定有几种方法? 问题2：你能说出相似三角形的定义吗? 问题3：利用定义判定两个三角形相似太不方便了,能否像证明三角形全等那样适当减少其中的某些条件,得到简便一些的判定方法呢? 由于相似三角形对应边的长可以不相等,把判定方法①②中的边去掉,仅保留两角分别相等的条件,能判定这两个三角形相似吗? 合作交流：任意画△ABC和△A'B'C',∠A=∠A',∠B=∠B',观察这两个三角形,它们的形状相同吗?怎样判定它们相似呢? 你能在上述思路的基础上完成这一命题的证明吗? 典例分析: 【例1】 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 已知:如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高. 求证:△ACD∽△ABC∽△CBD. 【例2】 如图,已知点B,D分别是∠A的两边AC,AE上的点,连接BE,CD,相交于点O,如果∠1=∠2,图中有哪几对相似三角形?说明理由. [随堂检测] 1.有一个角等于110°的两个等腰三角形(　 　 ) A.全等 B.相似 C.既不全等也不相似 D.无法确定 2.如图,已知∠A=50°,∠B=60°,∠ADC=110°,则△ABC∽　 　.  3.已知,如图,点E是矩形ABCD的边CD上的一点,△BCE沿着BE折叠为△BFE,点F落在AD上,求证:△ABF∽△DFE. [课堂小结] 1.相似三角形的判定定理1是根据什么证明的? 2.请说一说相似三角形的判定定理1. [作业布置] 请完成教材P14挑战自我及练习题T1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 　图形的相似 学习目标 课题 1.2 怎样判定三角形相似 课时 第4课时 相似三角形的应用 学习目标 1.进一步巩固三角形相似的知识; 2.能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度,测量河宽问题等)的一些实际问题; 3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力. 学习 重难点 重点:运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度. 难点:灵活运用三角形相似的知识解决实际问题. 学习活动 [课前小测] 1.如图,已知AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则相似三角形共有(　 　) A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 2.相似三角形的判定方法有哪些?相似三角形的性质是什么? [合作探究] 探究一:利用相似三角形测量物体高度 观察:泰勒斯是如何测出金字塔的高度的? 交流发现:如图,AC为金字塔的高度,DF为泰勒斯助手的高度,AB,DE为太阳光线,CB,FE分别为它们在地面上的影子.当身高DF和影子EF等长时,金字塔高度AC和它的影长CB的关系怎样? 合作交流：利用阳光下的影子测量水塔的高度,除了像测量金字塔高度那样,还有其他方法吗?需要测出哪些数据?原理是什么? 典例分析: 【例1】 如图,在阳光下,小亮走进水塔的影子里,使自己的影子刚好被水塔的影子遮住.已知小亮的身高BC=1.6 m,此时,他的影子的长AC=1 m,他距水塔的底部E处的距离CE为11.5 m,水塔的顶部为点D.根据以上数据,求出水塔的高度DE. 思考:如果恰逢阴天,物体没有影子,你还能利用相似三角形的知识,设计出另外的方案来测量水塔的高度吗? 探究二:利用相似三角形测量物体(不能直接测量)的宽度 有些空心机械零件的内径是不能直接测量的,这时往往需要使用交叉卡钳进行测量.如图为一个零件的剖面图,它的外径EF=27 cm,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量就可以求出AB的长度,你知道其中的道理吗?需要哪些数据? 【例2】 如图,小亮要测量河流两岸A,B两点间的距离.他先从B处出发,沿与AB成90°角的方向向前走50 m到C处,立一竹竿,然后继续按这个方向朝前走10 m到D处,再沿DE方向到E处,使A(目标),C(竹竿)与E在同一条直线上,量得DE=17 m,利用以上数据,求出A,B两点间距离. [随堂检测] 1.某建筑物在地面上的影长为36米,同时高为1.2米的测杆影长为2米,那么该建筑物的高为　 　米.  2.小明要测量一座塔的高度,从距他2米的一小块积水处C刚好看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.则塔高为　 　米.(自行画图)  3.如图,小米同学用自制的直角三角板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知三角板的两条边DF=50 cm,EF=30 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=20m,求树高AB. [课堂小结] 1.利用相似三角形测量物体的高度.常见题型: (1)利用太阳光在同一时刻、同一地点物长与影长成比例; (2)利用直角三角板与物体顶端成一直线,如随堂检测3; (3)利用小镜子,反射角等于入射角构造相似. 2.利用相似三角形测量两点之间的距离. 构建“A型”或“X型”. [作业布置] 请完成教材练习题P20T2 学科网（北京）股份有限公司 $$