精品解析：山东省泰安市宁阳县第十二中学（五四制）2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

九年级下学期数学试题 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出所给的每个数的绝对值，然后根据实数大小比较的方法判断即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴所给的数的绝对值最小的数为， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了负整数指数幂、零次幂、绝对值的含义和求法，以及实数大小的比较，解答此题的关键是会求一个数的绝对值． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法的计算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，灵活应用相关运算法则成为解答本题的关键． 3. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解： 故选：C． 4. 剪纸艺术是我国独有的艺术形式之一，下列剪纸既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．既是轴对称也是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【详解】从正面看可得到一个正方形，正方形里面有一条自左上到右下的实线． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 6. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ） A. 20、15 B. 20、17.5 C. 20、20 D. 15、15 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据. 【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元; 30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元. 故选B. 【点睛】本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 8. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的函数图象可知，，，即可确定一次函数图象，根据时，，即可判断反比例函数图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则， ∴一次函数图象经过一、二、三象限， 二次函数的图象，当时，， 反比例函数图象经过一、三象限 结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项 故选B 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 9. 如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角． 连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得 ． 详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，，以点A为圆心，以为半径作弧交于点D，连接，以点D为圆心，以为半径作弧交于点E，分别以点C、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点F，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，根据题中的作图步骤，得出平分，再结合，，可得出图中相等的边，相等的角，由此可证明，据此可解决问题．熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题中的作图步骤可知，，平分． ∵，， ∴，， ∴，，． 故A选项中的结论正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故B选项中的结论正确． ∵，， ∴， ∴，则， 即：，令， 则，解得：（负值舍去）， ∴． 不妨令，， 则． 又∵， ∴， 则． 故C选项中的结论正确． ∵， ∴． 又∵， ∴， 故D选项中的结论错误． 故选：D． 11. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）. A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【详解】如图所示： ∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴FM=DM×cos30°=， ∴MC=， ∴A′C=MC-MA′=-1． 故选B． 12. 如图1，在正方形中，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接.设点M运动的路程为x，的面积为S，其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（　　） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．设正方形的边长为a，根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可求出边长． 【详解】解：设正方形的边长为a， 时，在上，在上，依题意可知： 设， ， ； 该二次函数图象开口向上， 当时，二次函数的最小值为6； ， 解得：（负值舍去） 正方形的边长是4， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 14. 北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念，如图所示，它的主体形状呈正六边形，若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得到内角度数，结合等腰三角形性质得到的度数，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，如图所示， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查特殊角三角函数值及正多边形的性质，解题的关键是根据性质得到的度数． 15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 济郑高铁的开通大大缩短了郑州到济南的出行时间，未开通前，从郑州（地）到济南（地），需要绕道徐州（地）．如图所示，已知徐州到济南的距离（）约为，济南在郑州北偏东方向，徐州在郑州南偏东方向，，请你计算济郑高铁开通后，从郑州到济南不绕道徐州少走约______．（结果保留整数.参考数据：，） 【答案】275 【解析】 【分析】作，求出的度数，在，中，根据特殊角三角函数值，求出各边的边长，计算 ，即可求解， 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：确定的度数． 【详解】解：分别以射线、、、方向为东南西北，过点，作于点， 由题意可知：，，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：275． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键． 18. 如图所示，直线与轴相交于点，点在直线上，点在轴上，且是正三角形，记作第一个正三角形；然后过做与直线相交于点，点在轴上，再以为边作正三角形，记作第二个正三角形；同样过作与直线相交于点，点在轴上，再以边作正三角形，记作第三个正三角形；依此类推，则第个正三角形的顶点的横坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数应用、正三角形的性质和解直角三角形有关计算，可设直线与轴相交于点．通过求交点、的坐标可求根据题意得、、都是等腰三角形，且腰长变化有规律，在正三角形中求高即可求出第个正三角形的顶点的纵坐标，再求横坐标即可． 【详解】解：如图，设直线与轴相交于点，分别作，，垂直于轴，垂足分别为，，， 令，则；令，则， ，， ， ， 是正三角形， ， ， ， 第一个正三角形的高； 同理可得：第二个正三角形边长，高， 第三个正三角形的边长，高， 第四个正三角形的边长，高， ， 第个正三角形的边长，高， 第个正三角形顶点的纵坐标是， 当时， ， ， 第个正三角形的顶点的横坐标为， 第个正三角形的顶点的横坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解． 【答案】（1）6；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的混合运算和解不等式组． （1）先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，算术平方根的性质化简，再计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再解不等式组求出x的范围，结合原式中各个分式有意义的条件找出x的整数解．再代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 由分式有意义的条件得：且， ∴且， ∴， 当时，原式． 20. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 　 　，圆心角β＝　 　度； （2）补全条形统计图； （3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率． 【答案】（1）50，144； （2）见解析 （3）480 （4） 【解析】 【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题； （2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题； （3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 （1）本次调查的样本容量是： 10÷20%=50， 则圆心角β=360°×= 144°， 故答案为：50，144； 【小问2详解】 成绩优秀的人数为： 50-2-10-20=18(人)， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 1200×（人） 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人； 【小问4详解】 画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为 【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出在第一象限时，的取值范围． （3）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，解决问题的关键是画出图形． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据图象直接得出答案； （3）求出，由，即可求解． 【小问1详解】 将点的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：； 【小问2详解】 把代入，得， 由图可知时，， 由图可知时，， 时，； 【小问3详解】 点，点的纵坐标是，， 点的纵坐标是， 把代入， 得， ， 如图， 作轴于，交于， 当时，， ， ， ， 由． 22. 已知：如图，在四边形中，于点，交于点，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，连接，判断四边形是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据证出即可； （2）求出，证，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， 【小问2详解】 解：四边形是菱形．理由如下： 证明：，， ， ∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查运用定理进行推理的能力． 23. “菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C.某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了6300元，“脐橙”用了4200元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵4元. （1）问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共600千克，再次购买的费用不超过6000元，且每种橙子进价保持不变.若每千克“果冻橙”的售价为18元，每千克“脐橙”的售价为12元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元 （2）该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系． （1）设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出a的取值范围；设总利润为w元，并求出w与a的关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元. 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，， 答：每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元． 【小问2详解】 设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”， 根据题意，得， 解得， 每千克“果冻橙”的利润为（元）， 每千克“脐橙”的利润为（元）， 设总利润为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最大值，，此时，． 答：该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元． 24. 【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：； 【应用】 （1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是_____； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为______． 【答案】探究：见详解；应用：（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质等；探究：由正方形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； 应用：（1）过作交的延长线于，可判定，由三角形相似的性质得，由“探究”同理可得：，即可求解； （2）由可判定，由全等三角形的性质得，由正切的三角函数得，由 可判定，由三角形相似的性质即可求解； 【详解】探究： 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ； 应用： （1）解：如图，过作交的延长线于， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由“探究”同理可得：， 点D是边的中点， ， ， ， ， ， 故答案：； （2），，， ，，，， ，， 在和中， （）， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 25. 如图，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点为抛物线上一点，且点与点关于对称轴对称，求四边形的面积． （3）点为直线上方抛物线上一动点． 连接、，设直线交线段于点，求的最大值； 过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明四边形为梯形，则四边形的面积，即可求解； （3）①证明，则，即可求解； 证明，则，即，进而求解． 【小问1详解】 解：在中，令得，令得， ，， 经过、两点， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，令，得， 解得，， ， 点与点关于对称轴对称，点，抛物线的对称轴为， 点， 则，， ，则四边形为梯形， 则四边形的面积； 【小问3详解】 解：①过作轴交于点，过作轴交于于，如图： 在中，令得， ，， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为； 存在点，使得中的，理由如下： 过作轴，交轴于，交直线于，如图： 轴， ， ， ， ， ， ， ，即， 设， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级下学期数学试题 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 党二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 剪纸艺术是我国独有的艺术形式之一，下列剪纸既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ） A. 20、15 B. 20、17.5 C. 20、20 D. 15、15 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点A为圆心，以为半径作弧交于点D，连接，以点D为圆心，以为半径作弧交于点E，分别以点C、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点F，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）. A. B. C. D. 2 12. 如图1，在正方形中，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接.设点M运动的路程为x，的面积为S，其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（　　） A. 4 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13. 因式分解：______． 14. 北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念，如图所示，它的主体形状呈正六边形，若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则的值是____． 15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 16. 济郑高铁的开通大大缩短了郑州到济南的出行时间，未开通前，从郑州（地）到济南（地），需要绕道徐州（地）．如图所示，已知徐州到济南的距离（）约为，济南在郑州北偏东方向，徐州在郑州南偏东方向，，请你计算济郑高铁开通后，从郑州到济南不绕道徐州少走约______．（结果保留整数.参考数据：，） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________． 18. 如图所示，直线与轴相交于点，点在直线上，点在轴上，且是正三角形，记作第一个正三角形；然后过做与直线相交于点，点在轴上，再以为边作正三角形，记作第二个正三角形；同样过作与直线相交于点，点在轴上，再以边作正三角形，记作第三个正三角形；依此类推，则第个正三角形的顶点的横坐标为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解． 20. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 　 　，圆心角β＝　 　度； （2）补全条形统计图； （3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率． 21. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出在第一象限时，的取值范围． （3）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接求的面积． 22. 已知：如图，在四边形中，于点，交于点，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，连接，判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 23. “菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C.某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了6300元，“脐橙”用了4200元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵4元. （1）问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共600千克，再次购买费用不超过6000元，且每种橙子进价保持不变.若每千克“果冻橙”的售价为18元，每千克“脐橙”的售价为12元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 24. 【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：； 【应用】 （1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是_____； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为______． 25. 如图，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点为抛物线上一点，且点与点关于对称轴对称，求四边形的面积． （3）点为直线上方抛物线上一动点． 连接、，设直线交线段于点，求的最大值； 过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中，若存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$