第08讲 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题（复习讲义）（黑吉辽蒙专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

nullnull 第08讲 动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题 目录 01 考情解码·命题预警 1 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 动态平衡问题 4 知识点1 动态平衡 4 知识点2 分析动态平衡问题的常用方法 4 考向1 解析法 7 考向2 图解法 8 考向3 相似三角形法 11 考向4 辅助圆法（正弦定理法） 13 考点二 平衡中的临界和极值问题 16 知识点1 平衡中的临界问题 16 知识点2 平衡中的极值问题 16 考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 17 考向2 平衡中的极值问题 20 04 真题溯源·考向感知 23 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 动态平衡问题 选择题 非选择题 \ \ \ 平衡中的临界、极值问题 选择题 非选择题 \ \ \ 考情分析： 高考动态平衡问题是高考考查的重点，平衡中的临界和极值问题考查频度相对较低，但也时有出现。两者均主要出现在选择题部分，偶尔也可能在计算题中作为其中的一个小问出现，整体难度不是太大。动态平衡问题，主要考查解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法等。平衡中的临界和极值问题，主要考查图解法和数学解析法，常涉及根据物体的平衡条件作出力的矢量图，通过分析物理过程确定最大值与最小值，或依据平衡条件写出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。 预计动态平衡问题仍是未来高考中考查的热点，且在对共点力的平衡条件进行考查的过程中可能会涉及临界和极值问题，会更加注重考查学生对物理概念和规律的理解，以及运用物理方法解决实际问题的能力。 复习目标： 目标一：学会用图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法等解决动态平衡问题，正确画出受力分析图和矢量三角形，通过分析力的变化来求解问题。 目标二：理解临界问题的含义，能够准确判断临界状态，如物体刚好离开接触面、绳子恰好绷紧等，会利用数学的方法和物理概念相结合处理临界问题，找出临界条件。 目标三：掌握求解极值问题的方法，包括物理分析方法、数学分析法和极限分析法等，会根据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系，并用合适的数学方法求出极值，如二次函数极值、三角函数极值等。 考点一 动态平衡问题 知识点1 动态平衡 1、动态平衡 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2、做题流程 核心思想是：“化动为静，静中求动”。 知识点2 分析动态平衡问题的常用方法 1、解析法 （1）解题方法：对研究对象的任一状态进行受力分析，列平衡方程，写出函数关系式，再根据自变量的变化进行分析，得出结论。 （2）举例：例如，将一个与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ角不断变化的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动，求解力F大小的变化。对物体进行受力分析，建立直角坐标系。可得出 。所以当θ减小时，F减小；θ增大时，F增大。 2、图解法（矢量三角形法） （1）适用情况：①物体只受三个力作用；②其中一个力大小、方向均不变；③另一个力方向不变；④第三个力大小、方向均变化。 （2）解题方法 ①先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量箭头首尾相连构成闭合三角形。 ②将方向不变的力沿矢量箭头所指方向延长，根据物体所受三个力中两个力变化而又维持平衡关系，可知这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。 ③当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小。 3、相似三角形法 （1）适用情况：①物体受三个力作用；②其中一个力大小、方向均不变；③另外两个力的方向都发生变化，且三力构成的矢量三角形与某个实际几何三角形相似。 （2）解题方法 ①对物体受力分析，若处于平衡状态且受到三个力，构成首尾相接的力学三角形。 ②寻找与矢量三角形相似的几何三角形，如图中三个力构成的矢量三角形和△AOC相似，则对应边的比值相等，。 ③根据几何关系可知，在向上拉动物体的过程中，R、H均不变，L变短，则FN不变，FT变小。 4、正弦定理法（拉密定理） （1）适用情况：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变。另两个力大小、方向都在改变，但这两个力的夹角不变。 （2）解题方法：物体在三个力的作用下平衡时，三个共点力的合力为零，其中任一个力与其它两个力夹角正弦的比值相等，即。 5、辅助圆法 （1）适用情况：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变。另两个力大小、方向都在改变，但这两个力的夹角不变。 （2）解题方法： ①已知条件：F1恒定，F2、F3的夹角一定 ②在圆中画出力的矢量三角形，以恒定力为弦，另外两个力的交点在圆周上移动，由三角形各边长度及方向的变化判定力的变化。 ③两个力的夹角分大于90°（如图甲）和小于90°（如图乙）两种情况。 得分速记：共点力动态平衡的求解方法 考向1 解析法 例1 如图所示是工人师傅搬运货物所使用的“老虎车”，该车底板和背板相互垂直，工人师傅缓慢下压车把手，使背板由竖直转向水平。不计货物与老虎车间的摩擦力，则该过程中货物对底板的压力FN1、对背板的压力FN2的大小变化情况是（　　） A．FN1逐渐增大、FN2逐渐减小 B．FN1逐渐减小、FN2逐渐增大 C．FN1先增大后减小、FN2先减小后增大 D．FN1先减小后增大、FN2先增大后减小 【答案】B 【解析】设背板与竖直方向的夹角为θ，货物的重力为G，则θ从0°增加到90°，以货物为研究对象，根据平衡条件和牛顿第三定律可得， 可知FN1逐渐减小到零，FN2逐渐增大到G。 故选B。 【变式训练1】如图，一圆柱体三分之一露出路面，一只质量为m的蜗牛沿圆柱体表面从A点缓慢地爬到C点，关于该过程蜗牛受到的支持力和摩擦力大小变化情况，下列说法正确的是（　　） A．支持力一直增大，摩擦力一直减小 B．支持力先增大后减小，摩擦力先减小后增大 C．支持力先减小后增大，摩擦力先增大后减小 D．支持力、摩擦力均先增大后减小 【答案】B 【解析】设蜗牛所在位置的圆弧切线与水平方向的夹角为，以蜗牛为对象，根据平衡条件可得， 由于先减小后增大，所以蜗牛受到的支持力先增大后减小，摩擦力先减小后增大。 故选B。 【变式训练2】如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。分别做以下三种改变：①增大A物体的质量；②减小B物体的质量；③绳的左端由Q点缓慢地向左移到P点。整个系统重新平衡后，下列说法正确的是（　　） A．对于改变①，物体A的高度将降低，θ角将增大 B．对于改变②，物体A的高度将降低，绳间张力变小 C．对于改变③，物体A的高度将降低，θ角将减小 D．对于改变③，P点与定滑轮间的绳长变大，θ角不变 【答案】D 【解析】A．若增大A物体的质量，假设B物体位置不 变，则向上的合力增大，可知物体B将升高而A将降低，θ角将减小，故A错误； B．若减小B物体的质量，假设B物体位置不变，则向上的合力较大，可知物体B将升高而A将降低，θ角将减小，而绳间张力等于A物体的重力不变，故B错误； CD．若绳的左端由Q点缓慢地向左移到P点，假设B位置不变，则向上的合力减小，物体B将降低而A将升高，P点与定滑轮间的绳长变大；绳间张力仍等于A物体的重力，由平衡条件，有2Fsinθ= mBg 即2mAgsinθ=mBg 可知θ角不变，故C错误，D正确。 故选D。 考向2 图解法 例2 （多选）水平地面上固定着倾角为45°的足够长的斜面，一足够长的直挡板通过O处铰链与斜面相连接，将一个质量为4kg的铅球放在挡板与斜面之间，铅球处于静止状态，如图所示。挡板与斜面间的夹角为θ，挡板对铅球的弹力和斜面对铅球的弹力分别用F1和F2表示，不考虑铅球受到的摩擦力，重力加速度g=10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．当θ=45°时， B．当θ=90°时，F1=20N C．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F1先减小后增大 D．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F2先增大后减小 【答案】AC 【解析】A．当θ=45°时，对铅球受力分析，如图 可知，故A正确； B．当时，，故B错误； CD．如图 θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F1先减小后增大，F2一直减小，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练1】如图所示，OA、OB、OC都为轻绳，OA绳水平，OC绳下悬挂一个可视为质点的小球。现对小球施加一水平力F，使小球被缓慢拉高，此过程中OA、OB两绳位置不变，下列说法正确的是（　　） A．水平力F保持不变 B．绳OA的拉力保持不变 C．绳OB的拉力保持不变 D．绳OC的拉力保持不变 【答案】C 【解析】对小球进行分析，小球受重力mg、绳CO的拉力TCO和水平力F而处于动态平衡，如图1所示可知，TCO和F均增大。 对结点O进行分析，结点O受绳AO的拉力TAO、绳BO的拉力TBO和绳OC的拉力TCO而处于动态平衡，TCO竖直方向的分力大小等于重力，且与TBO竖直方向的力大小相等，而绳BO方向不变，故TBO大小不变，如图2所示可知，TAO增大，TBO不变。 故选C。 【变式训练2】如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，现将挡板从竖直状态绕O点缓慢转动至与斜面垂直。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板转动过程中铅球对挡板的压力和对斜面的压力大小分别为、。则（　　） A．逐渐变大 B．先变小后变大 C．逐渐变小 D．先变小后变大 【答案】C 【解析】将挡板从竖直状态绕O点缓慢转动至与斜面垂直，以小球为对象，由平衡条件，根据三角形定则其受力如图所示。 可知挡板对铅球的支持力逐渐减小，斜面对铅球的支持力逐渐减小；由牛顿第三定律可知，则铅球对挡板的压力逐渐减小，铅球对斜面的压力逐渐减小。 故选C。 考向3 相似三角形法 例3 如图所示为某建筑工地的简易起吊装置的示意图，AC是质量不计的轻杆，A端与竖直墙用光滑铰链连接，一光滑小滑轮固定在A 点正上方，C端吊一重物P，BC绳绕过滑轮与C 端连接。现施加一拉力 F缓慢将重物P 向上拉，在AC杆从图中位置达到接近竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　） A．BC绳中的拉力越来越大 B．BC绳中的拉力先增大后减小 C．AC杆中的支撑力 FN越来越大 D．AC杆中的支撑力 FN大小不变 【答案】D 【解析】作出C点的受力示意图，如图所示 由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似，根据相似三角形的性质可得 解得BC绳子中的拉力为 AC杆的支持力为 由于重物P向上运动时，AB、AC不变，BC变小，故减小，大小不变。 故选D。 【变式训练1】如图所示，木板放置在粗糙的水平地面上，为光滑铰链。轻杆一端与铰链固定连接，另一端固定连接一质量为的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力牵引，定滑轮位于的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力的大小，使小球和轻杆从图示位置缓慢运动到的正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．轻杆对小球的作用力大小不变 B．力逐渐增大 C．地面对木板的支持力逐渐减小 D．地面对木板的摩擦力逐渐增大 【答案】A 【解析】AB．令杆长为L，杆中弹力为N，长为x，长为h，对小球进行受力分析，根据相似三角形则有 解得， 当小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方时，x减小，可知外力F大小减小，轻杆对小球的作用力大小不变，故A正确，B错误； CD．令轻杆与水平方向夹角为，对木板B分析则有， 根据上述，轻杆弹力大小N不变，增大，增大，减小，则增大，减小，即地面对木板的支持力逐渐变大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故CD错误。 故选A。 【变式训练2】（2025·湖南·三模）如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为，自然长度为的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为，已知，，则下列选项正确的是（　　） A． B．弹簧的长度为 C．小环受到大环的支持力为 D．弹簧弹力大小是 【答案】C 【解析】对小环受力分析，如图所示 由力矢量三角形与几何三角形相似相似可得 可得小环受到大环的支持力 设弹簧长度为，由胡克定律有 由几何关系有，联立方程解得， 弹簧弹力为 故选C。 考向4 辅助圆法（正弦定理法） 例4 如图所示，质量的三角形斜劈C放在水平地面上，一根轻绳跨过固定的定滑轮，其一端连接位于C表面上的物块A，另一端连接小球B，绳子与滑轮顶端的接触处为点。开始时系统处于静止状态，轻绳左段部分与竖直方向夹角为。现对小球B施加一个拉力使其缓慢移动，的方向与轻绳右段部分之间的夹角始终保持，直至OB处于水平。在此过程中A和C始终保持静止状态，已知物块A的质量，小球B的质量，不计定滑轮与绳子之间的摩擦，则在小球B缓慢移动过程中，轻绳拉力达到最大值时，地面对C的摩擦力大小为（　　） A．5N B．10N C． D． 【答案】B 【解析】对B进行受力分析，如图所示 根据正弦定理有 解得 可知，当时，解得 对A、C整体进行分析，根据平衡条件有 解得 故选B。 【变式训练1】在工地上，经常用如图甲所示的推车搬运水泥，为保证水泥不滑落，推车的支架与底板会设计成钝角，且为，其侧视图如图乙所示。工人现将一袋质量为的水泥横放在推车底板上，水泥袋和支架接触工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为。不计这袋水泥与支架及底板间的摩擦，并把这袋水泥简化为圆柱体，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．当底板与水平面间的夹角为时，底板对这袋水泥的支持力为 B．当底板与水平面间的夹角为时，支架对这袋水泥的支持力为 C．缓慢压下把手的过程中，支架对这袋水泥的支持力一直增大 D．缓慢压下把手的过程中，底板对这袋水泥的支持力一直增大 【答案】C 【解析】AB．当底板与水平面夹角为时，底板、支架对水泥作用力大小相等，根据平衡条件有 可知底板、支架对水泥作用力大小均为，故AB错误； CD．当缓慢压下把手时，作出动态变化图，如图所示 由图可知支架对水泥的支持力增大，底板对水泥的支持力减小，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练2】如图甲，铲车是生产生活中不可缺少的工具。某次铲车装载一个球形石块可以简化为图乙。铲斗A板与B板内壁视为光滑，顶角为锐角。在装载的过程中，铲斗缓慢逆时针旋转，使的角平分线竖直。下列说法正确的是（　　） A．A板受到的压力一直增加，B板受到的压力先增加后减小 B．A板受到的压力一直增加，B板受到的压力一直增加 C．A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直增加 D．A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直减小 【答案】A 【解析】对球形物体受力分析如图所示： 将力F1、F2、mg矢量平移到三角形中，在铲斗顺时针转动的过程中mg和mg的对角θ恒定，所以力F1和F2的交点在圆上移动，矢量图如图所示 由图可知在铲斗逆时针缓慢转到竖直的过程中力F1逐渐增加，力F2先增大后减小。 故选A。 考点二 平衡中的临界和极值问题 知识点1 平衡中的临界问题 1、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。 2、临界问题常见的几种情况 （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 （3）刚好离开接触面，支持力FN＝0。 知识点2 平衡中的极值问题 1、极值问题 平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值的问题。 2、解决平衡中极值问题的常用方法 （1）物理分析法：根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则或三角形定则进行动态分析，确定最大值或最小值。 （2）数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值（如二次函数求极值、三角函数求极值等）。 （3）极限分析法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 例1 如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，两个物块A、B用轻质弹簧连接，两物块都恰好静止在斜面上。物块A与斜面间的动摩擦因数为0.4，物块B与斜面间的动摩擦因数为0.8，两物块受到的摩擦力方向相同，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取重力加速度大小（，），下列说法正确的是（　　） A．弹簧可能处于压缩状态 B．A、B两物体所受摩擦力均沿斜面向下 C．当时物块B受到的摩擦力大小为48N D．物块A和物块B的质量之比为1∶7 【答案】D 【解析】两物块都恰好静止在斜面上，对整体分析可知 解得 当时，解得=7kg 物块B受到的摩擦力大小为N 由题中两物块受到的摩擦力方向相同，可知两摩擦力沿斜面向上； 对A有 可知弹力向上，弹簧处于拉伸状态； 故选D。 思维建模 接触物的相对滑动 1、题型识别：①物体处于平衡状态；②力的矢量三角形发生变化；③物体恰好不滑动。 2、临界条件：物体所受摩擦力为最大静摩擦力。 （1）Ff ≤μFN是所有受静摩擦力物体平衡的必要条件。 （2）斜面问题中，μ＝tanθ表示重力沿斜面向下分力等于最大静摩擦力的临界情况。 （3）研究传送带问题时，物体和传送带的速度相同的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质的突变点。 （4）题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题。 【注意】静摩擦力一般随外力的变化而变化，注意静摩擦力方向的判断。 【变式训练1】如图所示，某同学将半径为R的半球形饭碗扣在水平桌面上，之后将一个橡皮擦轻放在碗底附近，慢慢轻推橡皮擦，当橡皮擦被推到距离桌面的高度为h时，撤去推力，橡皮擦恰好能静止在碗上。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则橡皮擦与碗面间的动摩擦因数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】橡皮擦恰好能静止在碗上，摩擦力恰好达到最大值，对橡皮擦分析，如图所示 则有 ， 根据几何关系有 ， 解得 故选B。 【变式训练2·变考法】如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OC绳的另一端与放在粗糙水平面上质量为的物体M相连，OB绳的另一端绕过固定的光滑定滑轮悬挂一质量为的物体N。平衡时OA竖直、OB与水平方向的夹角、OC水平，已知重力加速度取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求轻绳OA和OC上的拉力、的大小； （2）求定滑轮对轻绳的作用力； （3）如果物体M恰好没有滑动，求物体M与水平面间的动摩擦因数。 【答案】（1）， （2），方向与水平方向成角向左斜向上 （3） 【解析】（1）以物体N为对象，根据受力平衡可知轻绳OB的拉力大小为 以O点为对象，根据受力平衡可得 （2）以滑轮为对象，可知轻绳对滑轮的作用力大小为 方向沿滑轮两侧轻绳的角平分线向下，即与水平方向成角向右斜向下；则定滑轮对轻绳的作用力大小，方向与水平方向成角向左斜向上。 （3）如果物体M恰好没有滑动，则有 又 联立解得物体M与水平面间的动摩擦因数为 考向2 平衡中的极值问题 例2（2025·陕西·三模）在一个倾角为的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力，使物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动。已知重力加速度，则外力的最小值为（　　） A． B． C．12N D．16N 【答案】B 【解析】设外力与与斜面的夹角为，物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动 由垂直于斜面方向平衡得 由平行于斜面方向平衡得 又 设， 整理得 当时，外力有最小值 故选B。 【变式训练1】我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对矿石受力分析如图 将与合成，设其合力方向与成夹角，易知，得 分别作出与合力的反向延长线，可知重力与的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即，由几何关系得，过重力的下端点作与合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，，得。 故选A。 【变式训练2】三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹角为，现逐渐减小，三个足球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则正切值的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当取最小时，即将发生相对滑动，下面两积木间恰好无弹力，对最右边积木进行受力分析，如下图所示 建立如图所示直角坐标系，沿x轴方向，根据平衡条件有 当取最小时，对最上面积木受力分析，如下图所示 根据平衡条件有 联立解得 即木板与水平面夹角的正切值的最小值为，故选A。 1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有 可得 故选B。 2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【解析】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 解得 故选B。 3．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【解析】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【解析】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$nullnull 第08讲 动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题 目录 01 考情解码·命题预警 1 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 动态平衡问题 4 知识点1 动态平衡 4 知识点2 分析动态平衡问题的常用方法 4 考向1 解析法 7 考向2 图解法 8 考向3 相似三角形法 9 考向4 辅助圆法（正弦定理法） 10 考点二 平衡中的临界和极值问题 11 知识点1 平衡中的临界问题 11 知识点2 平衡中的极值问题 12 考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 12 考向2 平衡中的极值问题 14 04 真题溯源·考向感知 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 动态平衡问题 选择题 非选择题 \ \ \ 平衡中的临界、极值问题 选择题 非选择题 \ \ \ 考情分析： 高考动态平衡问题是高考考查的重点，平衡中的临界和极值问题考查频度相对较低，但也时有出现。两者均主要出现在选择题部分，偶尔也可能在计算题中作为其中的一个小问出现，整体难度不是太大。动态平衡问题，主要考查解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法等。平衡中的临界和极值问题，主要考查图解法和数学解析法，常涉及根据物体的平衡条件作出力的矢量图，通过分析物理过程确定最大值与最小值，或依据平衡条件写出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。 预计动态平衡问题仍是未来高考中考查的热点，且在对共点力的平衡条件进行考查的过程中可能会涉及临界和极值问题，会更加注重考查学生对物理概念和规律的理解，以及运用物理方法解决实际问题的能力。 复习目标： 目标一：学会用图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法等解决动态平衡问题，正确画出受力分析图和矢量三角形，通过分析力的变化来求解问题。 目标二：理解临界问题的含义，能够准确判断临界状态，如物体刚好离开接触面、绳子恰好绷紧等，会利用数学的方法和物理概念相结合处理临界问题，找出临界条件。 目标三：掌握求解极值问题的方法，包括物理分析方法、数学分析法和极限分析法等，会根据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系，并用合适的数学方法求出极值，如二次函数极值、三角函数极值等。 考点一 动态平衡问题 知识点1 动态平衡 1、动态平衡 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为 状态。 2、做题流程 核心思想是：“化动为 ，静中求动”。 知识点2 分析动态平衡问题的常用方法 1、解析法 （1）解题方法：对研究对象的任一状态进行受力分析，列平衡方程，写出函数关系式，再根据自变量的变化进行分析，得出结论。 （2）举例：例如，将一个与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ角不断变化的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动，求解力F大小的变化。对物体进行受力分析，建立直角坐标系。可得出 。所以当θ减小时，F ；θ增大时，F 。 2、图解法（矢量三角形法） （1）适用情况：①物体只受三个力作用；②其中一个力 ；③另一个力 ；④第三个力大小、方向均变化。 （2）解题方法 ①先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量箭头首尾相连构成闭合三角形。 ②将方向不变的力沿矢量箭头所指方向延长，根据物体所受三个力中两个力变化而又维持平衡关系，可知这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。 ③当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小。 3、相似三角形法 （1）适用情况：①物体受 个力作用；②其中一个力 ；③另外两个力的 都发生变化，且三力构成的矢量三角形与某个实际几何三角形相似。 （2）解题方法 ①对物体受力分析，若处于平衡状态且受到三个力，构成首尾相接的力学三角形。 ②寻找与矢量三角形相似的几何三角形，如图中三个力构成的矢量三角形和△AOC相似，则对应边的比值相等，。 ③根据几何关系可知，在向上拉动物体的过程中，R、H均不变，L变短，则FN ，FT 。 4、正弦定理法（拉密定理） （1）适用情况：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变。另两个力大小、方向都在改变，但这两个力的 不变。 （2）解题方法：物体在三个力的作用下平衡时，三个共点力的合力为零，其中任一个力与其它两个力夹角正弦的比值相等，即。 5、辅助圆法 （1）适用情况：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变。另两个力大小、方向都在改变，但这两个力的 不变。 （2）解题方法： ①已知条件：F1恒定，F2、F3的夹角一定 ②在圆中画出力的矢量三角形，以恒定力为弦，另外两个力的交点在圆周上移动，由三角形各边长度及方向的变化判定力的变化。 ③两个力的夹角分大于90°（如图甲）和小于90°（如图乙）两种情况。 得分速记：共点力动态平衡的求解方法 考向1 解析法 例1 如图所示是工人师傅搬运货物所使用的“老虎车”，该车底板和背板相互垂直，工人师傅缓慢下压车把手，使背板由竖直转向水平。不计货物与老虎车间的摩擦力，则该过程中货物对底板的压力FN1、对背板的压力FN2的大小变化情况是（　　） A．FN1逐渐增大、FN2逐渐减小 B．FN1逐渐减小、FN2逐渐增大 C．FN1先增大后减小、FN2先减小后增大 D．FN1先减小后增大、FN2先增大后减小 【变式训练1】如图，一圆柱体三分之一露出路面，一只质量为m的蜗牛沿圆柱体表面从A点缓慢地爬到C点，关于该过程蜗牛受到的支持力和摩擦力大小变化情况，下列说法正确的是（　　） A．支持力一直增大，摩擦力一直减小 B．支持力先增大后减小，摩擦力先减小后增大 C．支持力先减小后增大，摩擦力先增大后减小 D．支持力、摩擦力均先增大后减小 【变式训练2】如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。分别做以下三种改变：①增大A物体的质量；②减小B物体的质量；③绳的左端由Q点缓慢地向左移到P点。整个系统重新平衡后，下列说法正确的是（　　） A．对于改变①，物体A的高度将降低，θ角将增大 B．对于改变②，物体A的高度将降低，绳间张力变小 C．对于改变③，物体A的高度将降低，θ角将减小 D．对于改变③，P点与定滑轮间的绳长变大，θ角不变 考向2 图解法 例2 （多选）水平地面上固定着倾角为45°的足够长的斜面，一足够长的直挡板通过O处铰链与斜面相连接，将一个质量为4kg的铅球放在挡板与斜面之间，铅球处于静止状态，如图所示。挡板与斜面间的夹角为θ，挡板对铅球的弹力和斜面对铅球的弹力分别用F1和F2表示，不考虑铅球受到的摩擦力，重力加速度g=10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．当θ=45°时， B．当θ=90°时，F1=20N C．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F1先减小后增大 D．θ由30°缓慢增大至135°的过程中，F2先增大后减小 【变式训练1】如图所示，OA、OB、OC都为轻绳，OA绳水平，OC绳下悬挂一个可视为质点的小球。现对小球施加一水平力F，使小球被缓慢拉高，此过程中OA、OB两绳位置不变，下列说法正确的是（　　） A．水平力F保持不变 B．绳OA的拉力保持不变 C．绳OB的拉力保持不变 D．绳OC的拉力保持不变 【变式训练2】如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，现将挡板从竖直状态绕O点缓慢转动至与斜面垂直。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板转动过程中铅球对挡板的压力和对斜面的压力大小分别为、。则（　　） A．逐渐变大 B．先变小后变大 C．逐渐变小 D．先变小后变大 考向3 相似三角形法 例3 如图所示为某建筑工地的简易起吊装置的示意图，AC是质量不计的轻杆，A端与竖直墙用光滑铰链连接，一光滑小滑轮固定在A 点正上方，C端吊一重物P，BC绳绕过滑轮与C 端连接。现施加一拉力 F缓慢将重物P 向上拉，在AC杆从图中位置达到接近竖直位置的过程中，下列说法正确的是（　　） A．BC绳中的拉力越来越大 B．BC绳中的拉力先增大后减小 C．AC杆中的支撑力 FN越来越大 D．AC杆中的支撑力 FN大小不变 【变式训练1】如图所示，木板放置在粗糙的水平地面上，为光滑铰链。轻杆一端与铰链固定连接，另一端固定连接一质量为的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力牵引，定滑轮位于的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力的大小，使小球和轻杆从图示位置缓慢运动到的正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．轻杆对小球的作用力大小不变 B．力逐渐增大 C．地面对木板的支持力逐渐减小 D．地面对木板的摩擦力逐渐增大 【变式训练2】（2025·湖南·三模）如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为，自然长度为的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为，已知，，则下列选项正确的是（　　） A． B．弹簧的长度为 C．小环受到大环的支持力为 D．弹簧弹力大小是 考向4 辅助圆法（正弦定理法） 例4 如图所示，质量的三角形斜劈C放在水平地面上，一根轻绳跨过固定的定滑轮，其一端连接位于C表面上的物块A，另一端连接小球B，绳子与滑轮顶端的接触处为点。开始时系统处于静止状态，轻绳左段部分与竖直方向夹角为。现对小球B施加一个拉力使其缓慢移动，的方向与轻绳右段部分之间的夹角始终保持，直至OB处于水平。在此过程中A和C始终保持静止状态，已知物块A的质量，小球B的质量，不计定滑轮与绳子之间的摩擦，则在小球B缓慢移动过程中，轻绳拉力达到最大值时，地面对C的摩擦力大小为（　　） A．5N B．10N C． D． 【变式训练1】在工地上，经常用如图甲所示的推车搬运水泥，为保证水泥不滑落，推车的支架与底板会设计成钝角，且为，其侧视图如图乙所示。工人现将一袋质量为的水泥横放在推车底板上，水泥袋和支架接触工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为。不计这袋水泥与支架及底板间的摩擦，并把这袋水泥简化为圆柱体，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．当底板与水平面间的夹角为时，底板对这袋水泥的支持力为 B．当底板与水平面间的夹角为时，支架对这袋水泥的支持力为 C．缓慢压下把手的过程中，支架对这袋水泥的支持力一直增大 D．缓慢压下把手的过程中，底板对这袋水泥的支持力一直增大 【变式训练2】如图甲，铲车是生产生活中不可缺少的工具。某次铲车装载一个球形石块可以简化为图乙。铲斗A板与B板内壁视为光滑，顶角为锐角。在装载的过程中，铲斗缓慢逆时针旋转，使的角平分线竖直。下列说法正确的是（　　） A．A板受到的压力一直增加，B板受到的压力先增加后减小 B．A板受到的压力一直增加，B板受到的压力一直增加 C．A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直增加 D．A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直减小 考点二 平衡中的临界和极值问题 知识点1 平衡中的临界问题 1、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。 2、临界问题常见的几种情况 （1）由静止到运动，摩擦力达到 。 （2）绳子恰好绷紧，拉力F＝ 。 （3）刚好离开接触面，支持力FN＝ 。 知识点2 平衡中的极值问题 1、极值问题 平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值的问题。 2、解决平衡中极值问题的常用方法 （1）物理分析法：根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则或三角形定则进行动态分析，确定最大值或最小值。 （2）数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值（如二次函数求极值、三角函数求极值等）。 （3）极限分析法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 例1 如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，两个物块A、B用轻质弹簧连接，两物块都恰好静止在斜面上。物块A与斜面间的动摩擦因数为0.4，物块B与斜面间的动摩擦因数为0.8，两物块受到的摩擦力方向相同，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取重力加速度大小（，），下列说法正确的是（　　） A．弹簧可能处于压缩状态 B．A、B两物体所受摩擦力均沿斜面向下 C．当时物块B受到的摩擦力大小为48N D．物块A和物块B的质量之比为1∶7 思维建模 接触物的相对滑动 1、题型识别：①物体处于平衡状态；②力的矢量三角形发生变化；③物体恰好不滑动。 2、临界条件：物体所受摩擦力为最大静摩擦力。 （1）Ff ≤μFN是所有受静摩擦力物体平衡的必要条件。 （2）斜面问题中，μ＝tanθ表示重力沿斜面向下分力等于最大静摩擦力的临界情况。 （3）研究传送带问题时，物体和传送带的速度相同的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质的突变点。 （4）题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题。 【注意】静摩擦力一般随外力的变化而变化，注意静摩擦力方向的判断。 【变式训练1】如图所示，某同学将半径为R的半球形饭碗扣在水平桌面上，之后将一个橡皮擦轻放在碗底附近，慢慢轻推橡皮擦，当橡皮擦被推到距离桌面的高度为h时，撤去推力，橡皮擦恰好能静止在碗上。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则橡皮擦与碗面间的动摩擦因数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2·变考法】如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OC绳的另一端与放在粗糙水平面上质量为的物体M相连，OB绳的另一端绕过固定的光滑定滑轮悬挂一质量为的物体N。平衡时OA竖直、OB与水平方向的夹角、OC水平，已知重力加速度取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求轻绳OA和OC上的拉力、的大小； （2）求定滑轮对轻绳的作用力； （3）如果物体M恰好没有滑动，求物体M与水平面间的动摩擦因数。 考向2 平衡中的极值问题 例2（2025·陕西·三模）在一个倾角为的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力，使物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动。已知重力加速度，则外力的最小值为（　　） A． B． C．12N D．16N 【变式训练1】我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹角为，现逐渐减小，三个足球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则正切值的最小值为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 3．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 / 学科网（北京）股份有限公司 $$