第08讲 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题（专项训练）（黑吉辽蒙专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第08讲 动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题 目录 01 课标达标练 题型01 动态平衡问题 考向1 解析法 考向2 图解法（矢量三角形法） 考向3 相似三角形法 考向4 辅助圆法（正弦定理法） 题型02 平衡中的临界和极值问题 考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 考向2 连接体的临界问题 考向3 平衡中的极值问题 02 核心突破练 03 真题溯源练 01 动态平衡问题 ►考向1 解析法 1．（2025·河南·三模）蜘蛛通过两根蛛丝（OA和OB）悬挂在树枝上保持平衡。初始时，蛛丝OA与竖直方向的夹角为θ，蛛丝OB水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右侧移动，蛛丝OB仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说法正确的是（　　） A．蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝OB的拉力逐渐增大 B．蛛丝OA的拉力逐渐增大，蛛丝OB的拉力逐渐减小 C．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大 D．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐减小 【答案】D 【解析】设蜘蛛的重力为G，蛛丝OA的拉力为F1，蛛丝OB的拉力为F2，由平衡条件有 ， 解得， 当θ减小时，cosθ增大，tanθ减小，故F1减小，F2也减小。 故选D。 2．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 【答案】C 【解析】AB．对小蚂蚁受力分析如图所示 可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的摩擦力为 蚂蚁受到的支持力为 小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向点的过程中逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，摩擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故AB错误； CD．选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力始终大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，水平杆AO与光滑竖直杆OB，金属球P、Q分别套在杆OB和OA上，并用轻绳连接，水平杆粗糙，现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许，则球受到的摩擦力和OB杆和OA杆的支持力NB与NA以PQ间绳子的拉力T变化情况为（　　） A．f减小，NB增大 B．f增大，NA增大 C．f增大，T减小 D．NA不变，T增大 【答案】D 【解析】设每个小球的质量为m。以整体为研究对象，在竖直方向有N=2mg,故将P环稍微向左移动少许后不变；以Q为研究对象，Q静止时合力为零，没有变化。Q受力情况如图所示 故有，可得 由于P向右移动一小段，故θ增大，所以T增大。而 由于θ增大，所以竖杆对Q的弹力增大。对整体来说，故P所受的摩擦力f增大。 故选D。 4．（2025·河南·模拟预测）如图所示，某同学设计了一款吊装装置，轻绳的一端固定在A点，端点B用手牵住，将悬挂着重物的动滑轮挂在轻绳上，用手牵着端点B分别沿虚线a、b、c、d四个方向缓慢移动，不计一切摩擦，轻绳不可伸长，则下列操作能使轻绳上的拉力减小的是（　　） A．沿虚线b向上缓慢移动 B．沿虚线a向左缓慢移动 C．沿虚线c向右上缓慢移动 D．沿虚线d向右缓慢移动 【答案】B 【解析】将动滑轮和重物看成一个整体，设整体的质量为，轻绳与水平方向的夹角为，轻绳的总长为L，A、B两点的水平距离为，整体的受力如图所示 由平衡条件可知 由几何关系可知 B．当端点沿虚线向左缓慢移动时，减小，减小，增大，轻绳的拉力减小，选项B正确； A．当端点沿虚线向上缓慢移动时，不变，不变，轻绳的拉力不变，选项A错误； CD．当端点沿虚线向右上移动或沿虚线向右移动时，增大，减小，轻绳的拉力增大，选项CD错误。 故选B。 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）如图，冰坑是“哈尔滨”在松花江上为南方 “小土豆”准备的一个新型的冰上娱乐项目，进入冰坑的游客在不借助外力的情况下很难从冰坑里行走出来，为了让冰坑底部的游客能从冰坑内出来，用外力拉动游客使游客缓慢的向边缘移动，如右图的方向始终沿冰坑的切线方向，在此过程中所有的摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　） A．拉力先增大后减小 B．拉力一直增大 C．冰坑对游客的支持力先减小后增大 D．冰坑对游客的支持力一直减小 【答案】BD 【解析】令游客所在位置的支持力N的方向与竖直方向夹角为，用外力拉动游客使游客缓慢的向边缘移动过程，逐渐增大，根据平衡条件有， 由于逐渐增大，可知，拉力一直增大冰坑对游客的支持力一直减小。 故选BD。 ►考向2 图解法（矢量三角形法） 6．（2023·辽宁沈阳·三模）如图，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角应是（　　） A．0 B．90° C．60° D．45° 【答案】C 【解析】根据题意可知，点受三个拉力处于平衡，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，如图所示 当与天花板相连的绳子垂直时，拉力最小，根据几何关系知 故选C。 7．（2025·甘肃白银·三模）挂灯笼在中国传统文化中寓意深远，挂灯笼不仅是为了增添节日气氛，更是蕴含真挚的祝福和期朌。如图所示，质量相等的两个灯笼A、B在、、三条细绳的作用下处于静止状态，、为结点，之间的绳子与竖直方向成角，保持与竖直方向的夹角为不变，用手使之间的绳子从水平状态缓慢沿逆时针方向旋转，则（　　） A．细绳上的拉力先减小后增大 B．细绳上的拉力一直增大 C．细绳上的拉力先增大后减小 D．细绳与竖直方向的夹角逐渐减小 【答案】D 【解析】AB．以结点为研究对象，如图甲所示 根据矢量三角形可知，细绳上的拉力逐渐减小，细绳上的拉力F也逐渐减小，故AB错误； CD．以结点为研究对象，如图乙所示 根据矢量三角形可知，细绳上的拉力逐渐减小，细绳与竖直方向的夹角逐渐减小，故C错误，D正确。 故选D。 8．图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．货物A对玻璃棚的压力不变 B．货物A对玻璃棚的压力越来越大 C．绳子的拉力越来越大 D．绳子的拉力越来越小 【答案】C 【解析】对A受力分析，其动态图如下 货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向上的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大。同时，玻璃棚对货物的支持力变小，则货物A对玻璃棚的压力越来越小。 故选C。 9．如图所示，一个重为100N的大砝码，用细线悬挂在O点，现在用力 F拉砝码，使细线偏离竖直方向30°时处于静止状态，保持细线与竖直方向30°角不变，则在F由水平方向缓慢转至竖直方向的过程中（　　） A．细线拉力先增大后减小 B．F先增大后减小 C．细线拉力的最大值为 D．F的最小值为50N 【答案】D 【解析】AC．对物块受力分析，如图 根据图示法，可知在F由水平方向缓慢转至竖直方向的过程中，细线拉力F1一直减小，根据共点力平衡可知的最大值为 故AC错误； BD．F先减小后增大，F的最小值为 故B错误，D正确； 故选D。 10．（2025·河南郑州·二模）图甲为2025年春晚宇树机器人抛接手绢的表演，某同学对视频逐帧分析后发现，抛出后的手绢在细线拉力的作用下被回收。某段时间内，手的位置O点不变，手绢可视为做匀速直线运动，其运动轨迹如图乙中虚线段PQ所示，则手绢从P到Q运动过程中受到的（　　） A．空气阻力先增大后减小 B．空气阻力大小不变 C．细线的拉力一直增大 D．细线的拉力一直减小 【答案】D 【解析】依题意，手绢做匀速直线运动，受力分析如图所示 其中重力竖直向下，细线拉力沿细线指向O点，空气阻力沿PQ连线由Q指向P，三力平衡，做出重力与拉力的合力示意图，由图可知，随着手绢的运动，细线的方向顺时针转动，且未转到水平方向，由图可知，细线的拉力一直减小，空气的阻力一直减小，故ABC错误；D正确。 故选D。 ►考向3 相似三角形法 11．（2025·四川广安·二模）某智能机械臂应用模型如图所示，机械臂通过不可伸长的吊索和可以伸缩的液压杆吊起重物，其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆，使吊索逐渐趋近水平，在此过程中（　　） A．的支持力逐渐增大，的拉力大小不变 B．的支持力先减小后增大，的拉力大小不变 C．的支持力逐渐增大，的拉力逐渐减小 D．的支持力大小不变，的拉力逐渐减小 【答案】A 【解析】对O点受力分析如图 根据相似三角形关系可知 缓慢调整液压杆OA，使吊索OB逐渐趋近水平，在此过程中OA变大，OB不变，可知FAO变大，FOB不变。 故选A。 12．（2025·山东聊城·二模）警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处，如图所示。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【解析】对a球受力分析，如图所示 由几何关系可知，力的矢量三角形与相似，则有 在小球b缓慢上移过程中，逐渐减小，保持不变，则半圆环对小球a的弹力一直增大。 13．如图所示，圆心为O、半径为的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变 C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大 【答案】B 【解析】AC．小球受力如图所示 由平衡条件可知，由图可知力的矢量三角形与几何三角形相似，则有 解得，故AC错误； BD．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，根据， 其中均不变，逐渐减小，则由上式可知，不变，变小。 故B正确，D错误。 故选B。 14．（2025·四川南充·二模）如图所示，半径为R的光滑半球面固定在水平面上，半球面内的刚性轻质细杆AC长为L，杆上B点套有小球。系统静止时，半球面对细杆A端的弹力是对C端的弹力的2倍，则BC部分的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由平衡条件可知，半球面对细杆A端的弹力和对C端的弹力过球心O，且与小球B的重力平衡，所以小球B应在O点正下方，受力情况如图所示 根据正弦定理可得，， 结合已知条件 解得 又因为 解得 故选A。 ►考向4 辅助圆法（正弦定理法） 15．（2025·湖南怀化·三模）（多选）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　） A．一直增加 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在减小 【答案】AD 【解析】在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形，在从增加为过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上，如图所示 重力为圆的直径，由图可知，一直增加，一直在减小。 故选AD。 16．（2025·福建·模拟预测）中国基建在许多方面领先世界，被称为“基建狂魔”。铲车在基建中发挥了一定作用，其铲斗结构简易图如图乙所示，铲斗DC和BA边延长线夹角为，由于运输需要铲斗逆时针缓慢转动，当AB边与水平夹角从转到的过程中，AB和CD边分别对石头的作用力和，下列说法正确的是（    ） A．一直增大 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．一直增大 【答案】D 【解析】AB．图解法动态圆，可得先增大后减小，故AB错误； CD．一直增大，故C错误，D正确。 故选D。 17．（2024·湖南娄底·二模）如图所示，用轻质网兜将一质量均匀的球体悬挂在竖直木板的A点，轻绳与木板之间的夹角为，将木板以底端为轴顺时针缓慢转动直至木板水平，转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变，忽略一切摩擦，球的重力为9N，设木板对球的支持力为、绳上的拉力为，木板在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为3N B．的最大值为9N C．当木板转动时，是大小的三倍 D．当木板转动时，与大小相等 【答案】D 【解析】A．转动过程中，足球的受力如图所示 根据正弦定理可得 其中保持不变，θ由90°逐渐减小到0，β从锐角逐渐增大到钝角；则sin（90°-α）保持不变，sinθ逐渐减小，sinβ先增大后减小，可知悬绳对足球的拉力逐渐减小，木板对足球的支持力先增大后减小，即足球对木板的压力先增大后减小。初始状态时为最小值，则 A错误； BC．当木板转动时，此时最大，最大值 此时 则是大小的2倍，BC错误； D． 当木板转动时，，，三力构成的矢量三角形为等边三角形，与大小相等，D正确。 故选D。 18．（2025·山东青岛·模拟预测）如图所示，质量为M的物块置于粗糙水平地面上，质量为m的小球用细线拴接在物块的顶端，对小球施加水平外力F，平衡时细线与竖直方向间的夹角。现保持外力F与细线间的夹角不变，缓慢改变外力F的大小，使细线沿逆时针方向缓慢转动，直到细线到达水平位置，整个过程中物块始终静止不动。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．外力F先增大后减小 B．细线上的拉力FT一直增大 C．物块受到的摩擦力最大值为 D．外力F的最大值与细线拉力FT的最大值之比为 【答案】C 【解析】AB．平衡时细线与竖直方向间的夹角，则此时外力F与细线间的夹角为；保持外力F与细线间的夹角不变，缓慢改变外力F的大小，使细线沿逆时针方向缓慢转动，直到细线到达水平位置；以小球为对象，根据三角形定则，其受力如图所示 由图可知，外力F一直增大，细线上的拉力FT一直减小，故AB错误； C．以物块和小球为整体，根据平衡条件可知，物块受到的摩擦力大小等于外力F的水平分力；由小球的受力矢量图可知，在2位置，外力F的水平分力最大，根据图中几何关系可知，物块受到的摩擦力最大值为 故C正确； D．由小球的受力矢量图可知，在3位置，外力F的最大值为 在1位置，细线拉力FT的最大值 则外力F的最大值与细线拉力FT的最大值之比为，故D错误。 故选C。 02 平衡中的临界和极值问题 ►考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 19．（2024·浙江金华·三模）如图所示，甲，乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析可知，只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的摩擦因数最小。整体分析有 设与水平面的夹角，对甲，由平衡条件得 联立解得 可知角越小，f越大，由几何关系得，最小为。则 解得 故选A。 20．（2024·山西大同·模拟预测）如图所示，质量相等的物块A、B放在水平地面上，用绕过动滑轮C的轻绳连接，大小为F的力作用在滑轮上，方向指向右上方，作用在两物块上的轻绳在同一竖直面内，绳AC与水平方向的夹角为37℃，BC绳与水平方向的夹角为53°，不计滑轮的大小及滑轮的质量，A、B保持开始静止，两物块与水平面的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，保持F方向不变，缓慢增大F，则（    ） A．物块A先滑动 B．物块B先滑动 C．物块A、B同时滑动 D．不能确定哪个物块先滑动 【答案】A 【解析】设轻绳上拉力为T，则 解得 假设A先滑动，当A刚要滑动时 解得 此时 因此假设成立。 故选A。 21．（2024·吉林长春·二模）某博物馆举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m=25kg的梭台形金砖，挑战者须戴博物馆提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持25s，才是挑战成功。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为θ=78.5°，挑战者施加给金砖的单侧握力为F，手套与金砖之间的动摩擦因数为μ=0.25，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²。计算时取sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，若要抓起金砖，力F至少约为（　　） A．2500N B．2778N C．1389N D．无论多大的力都无法抓起金砖 【答案】B 【解析】对金块受力分析如图所示 由平衡条件可得 解得 故选B。 22．居民楼改造需要把建材吊运到楼顶。如图，建材的质量，人的质量，缓慢吊运过程中，某时刻轻绳OA、OB分别与竖直方向的夹角为、、。求该时刻： （1）轻绳OA和OB上的拉力大小； （2）人对地面的压力？ （3）为使人保持静止，人与地面间的动摩擦因数的最小值（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）。 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】（1）设轻绳上的拉力分别为和，以O点为对象，根据平衡条件可得 联立解得 ， （2）对人进行受力分析，竖直方向有 解得地面对人的支持力大小为 根据牛顿第三定律可得，人对地面的压力大小为 （3）对人进行受力分析，水平方向有 又 联立解得 则人与地面间的动摩擦因数的最小值为。 ►考向2 连接体的临界问题 23．木块A、B分别重和，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了，弹簧的劲度系数为，系统置于水平地面上静止不动。现用的水平拉力F作用在木块B上，如图所示，则力F作用后木块A、B所受摩擦力大小（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】弹簧的弹力 B物体所受最大静摩擦力 力F作用后，对木块B进行受力分析可知 因此B物体仍静止不动，所受摩擦力大小 弹簧对A的弹力不变，因此A所受摩擦力大小 故选A。 24．（多选）如图所示，一质量为的滑块静止于倾角为的粗糙斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的点，另一端系在滑块上，弹簧与斜面垂直，重力加速度为，则下列说法中正确的是（　　） A．滑块可能只受到三个力作用 B．弹簧一定处于压缩状态 C．斜面对滑块的支持力大小不可能为零 D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于 【答案】BCD 【解析】ABC．滑块静止在斜面上，滑块一定受重力、摩擦力，故斜面一定对滑块有支持力，假设弹簧对滑块的作用力为零，则有 则滑块一定下滑，假设错误；因滑块静止，所以弹簧对滑块的力垂直斜面向下，弹簧处于压缩状态，滑块受4个力作用，故A错误，BC正确； D．弹簧对滑块的力在垂直斜面的方向，故滑块所受的摩擦力大小等于其重力沿斜面的分力，即 故D正确。 故选BCD。 25．如图所示，质量的物块Q放在水平面上，用轻质细绳通过光滑定滑轮与质量的物块P相连。已知物块Q与水平面间的动摩擦因数，重力加速度取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，连接物块Q的细绳与水平面的夹角，系统处于静止状态，求： （1）物块Q对地面的压力大小； （2）力的取值范围。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）以P为对象，根据受力平衡可得细绳拉力大小为 以Q为对象，竖直方向根据受力平衡可得 可得 根据牛顿第三定律，物块Q对地面的压力大小为。 （2）当拉力取最小值时，Q受到的静摩擦力达到最大，方向水平向右，则有 解得 当拉力取最大值时，Q受到的静摩擦力达到最大，方向水平向左，则有 解得 则力的取值范围为 ►考向3 平衡中的极值问题 26．（2025·陕西西安·三模）如图所示，要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F，已知F的最大值为a，最小值为b，则物块所受的最大静摩擦力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，当F最大时，有 当F最小时，有 联立可得 故选A。 27．（2025·江西·模拟预测）如图甲为通过传送带输送小麦的示意图，麦粒离开传送带后可视为竖直下落，形成的麦堆为圆锥状，如图乙所示。麦粒间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，单个麦粒的体积、形状均近似相同，不考虑麦粒的滚动。已知麦堆的总体积为 ，圆锥体的体积公式为 (其中r为圆锥体底面圆半径，h为圆锥体的高度)，则麦堆高度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】麦粒堆积时，以麦堆侧面一粒麦粒为研究对象，当mgsinα<μmgcosα时，麦粒能够保持静止，麦堆逐渐堆积增高； 当mgsinα=μmgcosα时，麦堆的斜面倾角不再增大，由此可知μ=tanα，因 ，得 可知   得 故选B。 28．质量为M的木楔在水平面上保持静止，斜面倾角为θ，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，木块正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为g）。求： （1）当α变化时，拉力F的最小值； （2）F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力大小。 【答案】（1）mgsin 2θ （2）mgsin 4θ 【解析】（1）木块在木楔斜面上匀速向下运动时，根据平衡条件有 mgsin θ＝μmgcos θ 解得 μ＝tan θ 因木块在力F作用下沿斜面向上做匀速运动，根据正交分解法有 Fcos α＝mgsin θ＋Ff Fsin α＋FN＝mgcos θ 且 Ff＝μFN 联立解得 则当α＝θ时，F有最小值，即 Fmin＝mgsin 2θ （2）由（1）可知，当F取最小值时，α＝θ，因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到的地面的摩擦力等于F的水平分力，即 FfM＝Fcos（α＋θ） 当F取最小值mgsin 2θ时，则有 FfM＝Fmincos 2θ＝mgsin 2θcos 2θ＝mgsin 4θ 1．随着家居自动化不断发展，自动炒菜机也逐渐走进了大众的生活。图甲为某品牌的自动炒菜机，使用时，光滑的半球形铁锅静置在灶台上，菜品被倒入自动炒菜机后由于重力作用而集中在锅底，为保证菜品受热均匀，电动锅铲既可推动炒菜也可翻动炒菜。如图乙所示，推动炒菜时，锅铲推动菜品缓慢向右移动，在推动过程中锅铲始终保持竖直，使菜品到达点，菜品可视为质点，则推动炒菜时，下列说法中正确的是（　　） A．菜品对锅铲的压力不断增大 B．铁锅内壁对菜品的弹力不断减小 C．菜品对锅铲的压力先增大后减小 D．铁锅内壁对菜品的弹力先增大后减小 【答案】A 【解析】推动炒菜时，菜品沿铁锅内壁缓慢向上移动，设菜品所在位置与圆心的连线和竖直方向的夹角为，菜品受到竖直向下的重力，铁锅内壁给菜品的弹力以及锅铲的支持力，根据受力平衡可得 菜品沿铁锅内壁缓慢向上移动过程中逐渐增大，故增大，增大；由牛顿第三定律可知，菜品对锅铲的压力不断增大。 故选A。 2．如图所示，轻绳的一端连接小盒P，另一端通过光滑的轻滑轮与斜面上的物块Q连接，轻绳与斜面的上表面平行，P、Q均处于静止状态。现向P盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中P、Q一直保持静止。则下列说法正确的是（　　） A．斜面对Q的摩擦力一定增大 B．地面对斜面的摩擦力可能不变 C．斜面对Q的作用力一定增大 D．斜面对Q的作用力可能先减小后增大 【答案】D 【解析】A．绳上拉力增大，但是由于无法判定初始状态时Q所受摩擦力方向，所以Q受摩擦力大小如何变化不能确定，摩擦力大小可能增大，可能减小，也可能先减小后增大，故A错误； B．将Q和斜面看成一个整体，分析受力情况，如图所示 根据平衡条件可得， 因为F在增大，所以地面摩擦力一定增大，地面给的支持力一定减小，故B错误； CD．斜面对Q的作用力即摩擦力和支持力的合力，将这两个力合成为一个力，Q相当于受到重力，绳拉力和斜面对它的作用力这三个力，如图所示 根据三力平衡图解法分析可知斜面对Q的作用力可能先减小后增大，故C错误，D正确。 故选D。 3．将一个质量为4kg的光滑铅球放在倾角为的固定斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，然后让挡板绕O点沿逆时针方向缓慢转动至水平位置。设铅球对挡板的压力大小为，铅球对斜面的压力大小为。则以下说法正确的是（　　） A．挡板竖直时为40N B．挡板竖直时为40N C．挡板转动过程中一直减小 D．挡板转动过程中一直增大 【答案】A 【解析】AB．挡板竖直时，根据共点力平衡条件有， 解得N，N，故A正确，B错误； CD．如图 结合牛顿第三定律可知，挡板转动过程中先减小后增大，一直减小，故CD错误； 故选A。 4．如图所示，小明用轻绳PQ拴住轻杆OQ的顶端，轻杆下端O用铰链固定在水平地面上某高度处，Q端下方悬挂重物，轻绳PQ长度为定值。PQ与水平方向夹角，OQ与水平方向夹角，下列说法正确的是（　　） A．轻杆OQ对Q端的支持力等于重物重力的倍 B．轻绳PQ对Q端的拉力大于重物重力 C．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻杆OQ对Q端的支持力不变 D．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻绳PQ对Q端的拉力逐渐减小 【答案】A 【解析】B．设物体的重力为mg，轻杆的弹力为T1，轻绳的弹力为T2。选择Q点为研究对象，由于OQ为可旋转轻杆，则Q点所受杆的弹力方向沿杆指向Q，Q点所受轻绳的拉力沿绳指向P。 根据几何关系得，所以OQ是角平分线 所以，B错误； A．轻杆OQ对Q端的支持力为 A正确； CD．过O点作PO的垂线交PQ于S。选择Q为研究对象，作矢量三角形，如图所示。 根据三角形相似 轻绳P端缓慢向右移动，SO减小，k增大。 SQ增大，T2增大；OQ不变，T1增大。CD错误。 故选A。 5．如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球A、B都套在一个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上，长为L的细绳的两端分别拴在小球A、B上，然后将细绳绕过小滑轮，位于大圆环环心O的正上方。所有摩擦都不计，当它们都静止时，大圆环对A、B的作用力之比。关于绳长与的值，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB．同一根轻绳上弹力大小处处相等，对A进行分析，根据相似三角形有 ， 解得 故A正确，B错误； CD．根据题意有 结合上述可以解得 故CD错误。 故选A。 6．如图，两个半径均为r的光滑球a、b放在半径为R（R＞2r）的半球形容器内，均静止时a、b与半球的接触点P、Q与半球球心O的连线与水平方向的夹角为α和β（α＜β）。若两球的质量用ma、mb，两球对容器的压力大小用FNa、FNb表示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对小球受力分析如图 三个球心连线围成一等腰三角形，设两底角分别为，分别对a、b受力分析，根据牛顿第三定律可知与大小相等。a、b的重力与a、b连心线的夹角分别为、，则。根据共点力的平衡条件和正弦定理 故选D。 7．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，用三根轻质细绳OA、OB、OC悬挂一灯笼，A端连接一个套在水平杆上的小圆环，OB绳水平。现使OB绳沿顺时针方向缓慢转动少许，A、O两点位置不变，灯笼保持A静止，在此过程中，小圆环受到水平杆的摩擦力（　　） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．不变 【答案】B 【解析】先对结点O受力分析，如图 三力平衡，由平行四边形定则可知，OB绳沿顺时针缓慢转动少许，细绳OA、OB的拉力均增大，再对小环受力分析可知，小环受重力、杆的弹力、细绳的拉力、杆的摩擦力，小环受到水平杆的摩擦力与细绳的拉力在水平方向的分力大小相等，由于细绳OA的拉力增大、方向不变，所以水平杆对小环的摩擦力增大。 故选B。 8．如图所示，某自卸式货车车厢上放有一箱货物，货箱内有一光滑的倾斜隔板，其与货箱底部的夹角为，隔板与货箱右壁之间放有一圆柱状工件，货车在卸货过程中，车厢倾角缓慢增大到，货箱一直相对车厢底板静止，下列说法正确的是（　　） A．车厢对货箱的支持力逐渐增大 B．车厢对货箱的摩擦力逐渐减小 C．工件对隔板的压力不断减小 D．工件对货箱右壁的压力一直减小 【答案】C 【解析】AB．货箱缓慢移动，货箱所受合外力为零，车厢对货箱的支持力与摩擦力夹角不变，故三力组成的顺接闭合三角形三个顶点在同一个圆周上，可知车厢倾角增大过程中，车厢对货箱的支持力一直减小，摩擦力一直增大，故AB错误； CD．对工件受力分析，如图所示 隔板对工件的弹力为，货箱右壁对工件的弹力为，二力夹角保持不变，所以三力组成的顺接闭合三角形三个顶点在同一个圆周上，由图可知车厢倾角缓慢增大到过程中，一直增大，逐渐减小，由牛顿第三定律知，工件对隔板的压力不断减小，工件对货箱右壁的压力一直增大，故C正确，D错误。 故选C。 9．（多选）如图所示，底座固定在水平地面上，初始时平板水平，一质量均匀的足球置于轻质网兜内，轻绳和网兜处于拉直状态，轻绳与平板的夹角。已知足球所受重力，设平板对足球的弹力为、平板对轻绳的拉力为，忽略一切摩擦。在平板绕轴O缓慢逆时针转动到竖直的过程，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．当与水平面成30°角时，与大小相等 C．同一时刻的大小不可能是大小的2倍 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】A．平板转动过程中，足球所受重力的大小、方向始终不变，平板对轻绳（足球）的拉力、平板对足球的支持力的夹角始终不变，作出平板转动过程中足球的受力分析图如图所示 可知平板对轻绳的拉力一直增大，木板对足球的支持力先增大后减小。当平板竖直时最小，为 故A正确； B．当与大小相等时，与水平方向的夹角为30°，则平板与水平方向的夹角为60°，故B错误； C．当与竖直方向的夹角为30°时，的大小是大小的2倍，故C错误； D．当平板竖直时，最大，为 故D正确。 故选AD。 10．（多选）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%的棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机（如图甲所示）将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图乙所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当BP板转过时，棉包对BP板的压力大小为 B．当BP板转过时，棉包受到三个力的作用 C．挡板转动过程中，棉包对BP板的压力一直减小 D．挡板转动过程中，棉包对AP板的压力先增大后减小 【答案】AC 【解析】A．当BP板转过时，两板间夹角为固定不变，可知此时两板对棉包的支持力大小相等，由平衡条件有 解得 根据牛顿第三定律可得，棉包对BP板的压力大小为 ，故A正确； B．当BP板转过时，AP板处于水平状态，此时棉包对BP板的作用力大小为零，棉包只受重力和AP板的支持力，故B错误； CD．对棉包受力分析，如图所示 设BP板转动的角度为 ，根据正弦定理可得 当 从增大到的过程中，AP板对棉包的支持力 一直增大，根据牛顿第三定律可得棉包对AP板的压力一直增大，BP板对棉包的支持力 一直减小，则棉包对BP板的压力一直减小，故D错误，C正确。 故选AC。 11．（多选）如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放置在水平地面上的质量为的乙相连，乙上放置质量为的丙。乙与丙之间、乙与水平地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.75。轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙和丙均处于静止状态。已知，，，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．丙对乙的摩擦力为150N B．轻绳OA受到的拉力大小为250N C．乙对地的摩擦力为150N D．欲使乙在水平地面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过20kg 【答案】BC 【解析】AB．以结点O为研究对象，如图所示 建立直角坐标系，将分解，由平衡条件得 ， 解得 对丙受力分析，可知丙受重力和支持力，乙对丙没有摩擦力，故A错误，B正确； C．对乙受力分析 由平衡条件得 根据牛顿第三定律，乙对地的摩擦力为150N，方向水平向右，故C正确； D．当甲的质量增大到乙刚要滑动时，质量达到最大，此时乙受到的静摩擦力达到最大值为fm，则 又由 解得 则欲使乙在水平地面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过40kg，故D错误。 故选BC。 12．（多选）日常生活中，放在水平地面上的箱子可能被拖着运动，也可能被推着运动。一箱子和水平面之间的动摩擦因数为，且，对箱子施加一外力F，方向与水平面的夹角为θ，下列说法正确的是（    ） A．用斜向上的力拉箱子匀速运动，当时最省力 B．用斜向上的力拉箱子匀速运动，当时最省力 C．用斜向下的力推箱子，当时不可能推动箱子 D．用斜向下的力推箱子，当时不可能推动箱子 【答案】AD 【解析】AB．用斜向上的力拉箱子匀速运动，根据受力平衡可得 解得 其中 ， 当 力有最小值，则有 故A正确，B错误； CD．用斜向下的力推箱子，若满足 可得 即 则不可能推动箱子，故C错误，D正确。 故选AD。 13．（多选）如图所示，将一个半球体置于水平地面上，经过球心有一内径很小的光滑竖井，柔软光滑的轻绳绕过井口，一端连着竖直悬于竖井中，另一端沿着球面与相连，两物体均可看成质点，整个装置处于静止状态。已知此时与半球体的球心O的连线与水平方向成θ=37°角 与半球面的动摩擦因数为0.5，并假设所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最大值为 【答案】AC 【解析】对两物体受力分析，考虑的摩擦向上和向下的两个临界，根据公式有 解得 ， 故选AC。 14．如图所示，有一倾角θ=30°的斜面体B，质量为M，质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止。求： （1）地面对B的支持力N； （2）A对B压力的最大值Nmax； （3）A所受摩擦力的最小值fmin和最大值fmax。 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】（1）对A、B整体进行分析，根据平衡条件有 （2）对A进行分析，根据平衡条件有 根据牛顿第三定律有 解得A对B压力大小为 当时，A对B压力达到最大值，解得 （3）令，对A进行分析，由于 根据平衡条件可知，当有 解得 此时，A所受摩擦力达到最小值，且有 当F为0时，A所受摩擦力达到最大值，且有 15．如图所示，物块A被轻质细绳系住静止在倾角为的斜面上，细绳绕过光滑定滑轮后与轻弹簧点相连，物块B静止悬挂在点下方，轻弹簧水平，细绳左右两边与竖直方向的夹角分别为、。已知轻弹簧劲度系数为k，B的质量为，重力加速度为g，A与斜面间的动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）弹簧的伸长量； （2）水平地面对斜面的摩擦力的大小和方向； （3）要使A、B始终在原有位置保持静止，A质量的最大值。（斜面始终处于静止状态） 【答案】（1） （2）mg，方向水平向左 （3） 【解析】（1）对结点O下侧的轻绳与B整体进行分析，根据平衡条件有 ， 解得， （2）对A与斜面整体进行分析，根据平衡条件有 结合上述解得 方向水平向左。 （3）对A进行分析，斜面对A的支持力大小 斜面对A的最大静摩擦力 当A的质量达到最大值时，对A进行分析有 解得 1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有 可得 故选B。 2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【解析】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 解得 故选B。 3．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【解析】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【解析】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题 目录 01 课标达标练 题型01 动态平衡问题 考向1 解析法 考向2 图解法（矢量三角形法） 考向3 相似三角形法 考向4 辅助圆法（正弦定理法） 题型02 平衡中的临界和极值问题 考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 考向2 连接体的临界问题 考向3 平衡中的极值问题 02 核心突破练 03 真题溯源练 01 动态平衡问题 ►考向1 解析法 1．（2025·河南·三模）蜘蛛通过两根蛛丝（OA和OB）悬挂在树枝上保持平衡。初始时，蛛丝OA与竖直方向的夹角为θ，蛛丝OB水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右侧移动，蛛丝OB仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说法正确的是（　　） A．蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝OB的拉力逐渐增大 B．蛛丝OA的拉力逐渐增大，蛛丝OB的拉力逐渐减小 C．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大 D．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐减小 2．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，水平杆AO与光滑竖直杆OB，金属球P、Q分别套在杆OB和OA上，并用轻绳连接，水平杆粗糙，现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许，则球受到的摩擦力和OB杆和OA杆的支持力NB与NA以PQ间绳子的拉力T变化情况为（　　） A．f减小，NB增大 B．f增大，NA增大 C．f增大，T减小 D．NA不变，T增大 4．（2025·河南·模拟预测）如图所示，某同学设计了一款吊装装置，轻绳的一端固定在A点，端点B用手牵住，将悬挂着重物的动滑轮挂在轻绳上，用手牵着端点B分别沿虚线a、b、c、d四个方向缓慢移动，不计一切摩擦，轻绳不可伸长，则下列操作能使轻绳上的拉力减小的是（　　） A．沿虚线b向上缓慢移动 B．沿虚线a向左缓慢移动 C．沿虚线c向右上缓慢移动 D．沿虚线d向右缓慢移动 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）如图，冰坑是“哈尔滨”在松花江上为南方 “小土豆”准备的一个新型的冰上娱乐项目，进入冰坑的游客在不借助外力的情况下很难从冰坑里行走出来，为了让冰坑底部的游客能从冰坑内出来，用外力拉动游客使游客缓慢的向边缘移动，如右图的方向始终沿冰坑的切线方向，在此过程中所有的摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　） A．拉力先增大后减小 B．拉力一直增大 C．冰坑对游客的支持力先减小后增大 D．冰坑对游客的支持力一直减小 ►考向2 图解法（矢量三角形法） 6．（2023·辽宁沈阳·三模）如图，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角应是（　　） A．0 B．90° C．60° D．45° 7．（2025·甘肃白银·三模）挂灯笼在中国传统文化中寓意深远，挂灯笼不仅是为了增添节日气氛，更是蕴含真挚的祝福和期朌。如图所示，质量相等的两个灯笼A、B在、、三条细绳的作用下处于静止状态，、为结点，之间的绳子与竖直方向成角，保持与竖直方向的夹角为不变，用手使之间的绳子从水平状态缓慢沿逆时针方向旋转，则（　　） A．细绳上的拉力先减小后增大 B．细绳上的拉力一直增大 C．细绳上的拉力先增大后减小 D．细绳与竖直方向的夹角逐渐减小 8．图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　） A．货物A对玻璃棚的压力不变 B．货物A对玻璃棚的压力越来越大 C．绳子的拉力越来越大 D．绳子的拉力越来越小 9．如图所示，一个重为100N的大砝码，用细线悬挂在O点，现在用力 F拉砝码，使细线偏离竖直方向30°时处于静止状态，保持细线与竖直方向30°角不变，则在F由水平方向缓慢转至竖直方向的过程中（　　） A．细线拉力先增大后减小 B．F先增大后减小 C．细线拉力的最大值为 D．F的最小值为50N 10．（2025·河南郑州·二模）图甲为2025年春晚宇树机器人抛接手绢的表演，某同学对视频逐帧分析后发现，抛出后的手绢在细线拉力的作用下被回收。某段时间内，手的位置O点不变，手绢可视为做匀速直线运动，其运动轨迹如图乙中虚线段PQ所示，则手绢从P到Q运动过程中受到的（　　） A．空气阻力先增大后减小 B．空气阻力大小不变 C．细线的拉力一直增大 D．细线的拉力一直减小 ►考向3 相似三角形法 11．（2025·四川广安·二模）某智能机械臂应用模型如图所示，机械臂通过不可伸长的吊索和可以伸缩的液压杆吊起重物，其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆，使吊索逐渐趋近水平，在此过程中（　　） A．的支持力逐渐增大，的拉力大小不变 B．的支持力先减小后增大，的拉力大小不变 C．的支持力逐渐增大，的拉力逐渐减小 D．的支持力大小不变，的拉力逐渐减小 12．（2025·山东聊城·二模）警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处，如图所示。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 13．如图所示，圆心为O、半径为的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变 C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大 14．（2025·四川南充·二模）如图所示，半径为R的光滑半球面固定在水平面上，半球面内的刚性轻质细杆AC长为L，杆上B点套有小球。系统静止时，半球面对细杆A端的弹力是对C端的弹力的2倍，则BC部分的长度为（　　） A． B． C． D． ►考向4 辅助圆法（正弦定理法） 15．（2025·湖南怀化·三模）（多选）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　） A．一直增加 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在减小 16．（2025·福建·模拟预测）中国基建在许多方面领先世界，被称为“基建狂魔”。铲车在基建中发挥了一定作用，其铲斗结构简易图如图乙所示，铲斗DC和BA边延长线夹角为，由于运输需要铲斗逆时针缓慢转动，当AB边与水平夹角从转到的过程中，AB和CD边分别对石头的作用力和，下列说法正确的是（    ） A．一直增大 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．一直增大 17．（2024·湖南娄底·二模）如图所示，用轻质网兜将一质量均匀的球体悬挂在竖直木板的A点，轻绳与木板之间的夹角为，将木板以底端为轴顺时针缓慢转动直至木板水平，转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变，忽略一切摩擦，球的重力为9N，设木板对球的支持力为、绳上的拉力为，木板在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为3N B．的最大值为9N C．当木板转动时，是大小的三倍 D．当木板转动时，与大小相等 18．（2025·山东青岛·模拟预测）如图所示，质量为M的物块置于粗糙水平地面上，质量为m的小球用细线拴接在物块的顶端，对小球施加水平外力F，平衡时细线与竖直方向间的夹角。现保持外力F与细线间的夹角不变，缓慢改变外力F的大小，使细线沿逆时针方向缓慢转动，直到细线到达水平位置，整个过程中物块始终静止不动。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．外力F先增大后减小 B．细线上的拉力FT一直增大 C．物块受到的摩擦力最大值为 D．外力F的最大值与细线拉力FT的最大值之比为 02 平衡中的临界和极值问题 ►考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 19．（2024·浙江金华·三模）如图所示，甲，乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·山西大同·模拟预测）如图所示，质量相等的物块A、B放在水平地面上，用绕过动滑轮C的轻绳连接，大小为F的力作用在滑轮上，方向指向右上方，作用在两物块上的轻绳在同一竖直面内，绳AC与水平方向的夹角为37℃，BC绳与水平方向的夹角为53°，不计滑轮的大小及滑轮的质量，A、B保持开始静止，两物块与水平面的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，保持F方向不变，缓慢增大F，则（    ） A．物块A先滑动 B．物块B先滑动 C．物块A、B同时滑动 D．不能确定哪个物块先滑动 21．（2024·吉林长春·二模）某博物馆举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m=25kg的梭台形金砖，挑战者须戴博物馆提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持25s，才是挑战成功。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为θ=78.5°，挑战者施加给金砖的单侧握力为F，手套与金砖之间的动摩擦因数为μ=0.25，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²。计算时取sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，若要抓起金砖，力F至少约为（　　） A．2500N B．2778N C．1389N D．无论多大的力都无法抓起金砖 22．居民楼改造需要把建材吊运到楼顶。如图，建材的质量，人的质量，缓慢吊运过程中，某时刻轻绳OA、OB分别与竖直方向的夹角为、、。求该时刻： （1）轻绳OA和OB上的拉力大小； （2）人对地面的压力？ （3）为使人保持静止，人与地面间的动摩擦因数的最小值（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）。 ►考向2 连接体的临界问题 23．木块A、B分别重和，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了，弹簧的劲度系数为，系统置于水平地面上静止不动。现用的水平拉力F作用在木块B上，如图所示，则力F作用后木块A、B所受摩擦力大小（　　） A． B． C． D． 24．（多选）如图所示，一质量为的滑块静止于倾角为的粗糙斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的点，另一端系在滑块上，弹簧与斜面垂直，重力加速度为，则下列说法中正确的是（　　） A．滑块可能只受到三个力作用 B．弹簧一定处于压缩状态 C．斜面对滑块的支持力大小不可能为零 D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于 25．如图所示，质量的物块Q放在水平面上，用轻质细绳通过光滑定滑轮与质量的物块P相连。已知物块Q与水平面间的动摩擦因数，重力加速度取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，连接物块Q的细绳与水平面的夹角，系统处于静止状态，求： （1）物块Q对地面的压力大小； （2）力的取值范围。 ►考向3 平衡中的极值问题 26．（2025·陕西西安·三模）如图所示，要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F，已知F的最大值为a，最小值为b，则物块所受的最大静摩擦力为（　　） A． B． C． D． 27．（2025·江西·模拟预测）如图甲为通过传送带输送小麦的示意图，麦粒离开传送带后可视为竖直下落，形成的麦堆为圆锥状，如图乙所示。麦粒间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，单个麦粒的体积、形状均近似相同，不考虑麦粒的滚动。已知麦堆的总体积为 ，圆锥体的体积公式为 (其中r为圆锥体底面圆半径，h为圆锥体的高度)，则麦堆高度的最大值为（　　） A． B． C． D． 28．质量为M的木楔在水平面上保持静止，斜面倾角为θ，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，木块正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为g）。求： （1）当α变化时，拉力F的最小值； （2）F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力大小。 1．随着家居自动化不断发展，自动炒菜机也逐渐走进了大众的生活。图甲为某品牌的自动炒菜机，使用时，光滑的半球形铁锅静置在灶台上，菜品被倒入自动炒菜机后由于重力作用而集中在锅底，为保证菜品受热均匀，电动锅铲既可推动炒菜也可翻动炒菜。如图乙所示，推动炒菜时，锅铲推动菜品缓慢向右移动，在推动过程中锅铲始终保持竖直，使菜品到达点，菜品可视为质点，则推动炒菜时，下列说法中正确的是（　　） A．菜品对锅铲的压力不断增大 B．铁锅内壁对菜品的弹力不断减小 C．菜品对锅铲的压力先增大后减小 D．铁锅内壁对菜品的弹力先增大后减小 2．如图所示，轻绳的一端连接小盒P，另一端通过光滑的轻滑轮与斜面上的物块Q连接，轻绳与斜面的上表面平行，P、Q均处于静止状态。现向P盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中P、Q一直保持静止。则下列说法正确的是（　　） A．斜面对Q的摩擦力一定增大 B．地面对斜面的摩擦力可能不变 C．斜面对Q的作用力一定增大 D．斜面对Q的作用力可能先减小后增大 3．将一个质量为4kg的光滑铅球放在倾角为的固定斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，然后让挡板绕O点沿逆时针方向缓慢转动至水平位置。设铅球对挡板的压力大小为，铅球对斜面的压力大小为。则以下说法正确的是（　　） A．挡板竖直时为40N B．挡板竖直时为40N C．挡板转动过程中一直减小 D．挡板转动过程中一直增大 4．如图所示，小明用轻绳PQ拴住轻杆OQ的顶端，轻杆下端O用铰链固定在水平地面上某高度处，Q端下方悬挂重物，轻绳PQ长度为定值。PQ与水平方向夹角，OQ与水平方向夹角，下列说法正确的是（　　） A．轻杆OQ对Q端的支持力等于重物重力的倍 B．轻绳PQ对Q端的拉力大于重物重力 C．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻杆OQ对Q端的支持力不变 D．若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动，轻绳PQ对Q端的拉力逐渐减小 5．如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球A、B都套在一个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上，长为L的细绳的两端分别拴在小球A、B上，然后将细绳绕过小滑轮，位于大圆环环心O的正上方。所有摩擦都不计，当它们都静止时，大圆环对A、B的作用力之比。关于绳长与的值，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，两个半径均为r的光滑球a、b放在半径为R（R＞2r）的半球形容器内，均静止时a、b与半球的接触点P、Q与半球球心O的连线与水平方向的夹角为α和β（α＜β）。若两球的质量用ma、mb，两球对容器的压力大小用FNa、FNb表示，则（　　） A． B． C． D． 7．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，用三根轻质细绳OA、OB、OC悬挂一灯笼，A端连接一个套在水平杆上的小圆环，OB绳水平。现使OB绳沿顺时针方向缓慢转动少许，A、O两点位置不变，灯笼保持A静止，在此过程中，小圆环受到水平杆的摩擦力（　　） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．不变 8．如图所示，某自卸式货车车厢上放有一箱货物，货箱内有一光滑的倾斜隔板，其与货箱底部的夹角为，隔板与货箱右壁之间放有一圆柱状工件，货车在卸货过程中，车厢倾角缓慢增大到，货箱一直相对车厢底板静止，下列说法正确的是（　　） A．车厢对货箱的支持力逐渐增大 B．车厢对货箱的摩擦力逐渐减小 C．工件对隔板的压力不断减小 D．工件对货箱右壁的压力一直减小 9．（多选）如图所示，底座固定在水平地面上，初始时平板水平，一质量均匀的足球置于轻质网兜内，轻绳和网兜处于拉直状态，轻绳与平板的夹角。已知足球所受重力，设平板对足球的弹力为、平板对轻绳的拉力为，忽略一切摩擦。在平板绕轴O缓慢逆时针转动到竖直的过程，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．当与水平面成30°角时，与大小相等 C．同一时刻的大小不可能是大小的2倍 D．的最大值为 10．（多选）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%的棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机（如图甲所示）将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图乙所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当BP板转过时，棉包对BP板的压力大小为 B．当BP板转过时，棉包受到三个力的作用 C．挡板转动过程中，棉包对BP板的压力一直减小 D．挡板转动过程中，棉包对AP板的压力先增大后减小 11．（多选）如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放置在水平地面上的质量为的乙相连，乙上放置质量为的丙。乙与丙之间、乙与水平地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.75。轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙和丙均处于静止状态。已知，，，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．丙对乙的摩擦力为150N B．轻绳OA受到的拉力大小为250N C．乙对地的摩擦力为150N D．欲使乙在水平地面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过20kg 12．（多选）日常生活中，放在水平地面上的箱子可能被拖着运动，也可能被推着运动。一箱子和水平面之间的动摩擦因数为，且，对箱子施加一外力F，方向与水平面的夹角为θ，下列说法正确的是（    ） A．用斜向上的力拉箱子匀速运动，当时最省力 B．用斜向上的力拉箱子匀速运动，当时最省力 C．用斜向下的力推箱子，当时不可能推动箱子 D．用斜向下的力推箱子，当时不可能推动箱子 13．（多选）如图所示，将一个半球体置于水平地面上，经过球心有一内径很小的光滑竖井，柔软光滑的轻绳绕过井口，一端连着竖直悬于竖井中，另一端沿着球面与相连，两物体均可看成质点，整个装置处于静止状态。已知此时与半球体的球心O的连线与水平方向成θ=37°角 与半球面的动摩擦因数为0.5，并假设所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最大值为 14．如图所示，有一倾角θ=30°的斜面体B，质量为M，质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止。求： （1）地面对B的支持力N； （2）A对B压力的最大值Nmax； （3）A所受摩擦力的最小值fmin和最大值fmax。 15．如图所示，物块A被轻质细绳系住静止在倾角为的斜面上，细绳绕过光滑定滑轮后与轻弹簧点相连，物块B静止悬挂在点下方，轻弹簧水平，细绳左右两边与竖直方向的夹角分别为、。已知轻弹簧劲度系数为k，B的质量为，重力加速度为g，A与斜面间的动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）弹簧的伸长量； （2）水平地面对斜面的摩擦力的大小和方向； （3）要使A、B始终在原有位置保持静止，A质量的最大值。（斜面始终处于静止状态） 1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 3．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$