专题01 全等三角形的六种常见模型（高效培优专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题01 三角形中角度计算的常见模型 模型一：平移模型 模型二：对称模型 模型三：旋转模型 模型四：手拉手模型 模型五：一线三等角模型 模型六：中点模型 模型一：平移模型 1．如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即AO∥PQ），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离BO，并下令按照BO的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．AB＝PO，点B、O、Q在同一水平线上，AB⊥BQ，PO⊥BQ．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF． 4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 5．如图，在△ABC中，∠B＝80°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，连接AA′，设A′B′与AC的交点为O． （1）若B′为BC的中点，求证：△AOA′≌△COB′； （2）若AC平分∠BAA′，求∠C的度数． 6．如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1． （1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1； （2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于 　 　 时，点A与点D1之间的距离最小． 7．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF，连接AF，ED． （1）求证：AF∥DE且AF＝DE； （2）若将△BFD沿AD方向平移得到图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？说明理由． 模型二：对称模型 1．如图，在△AFC与△AEB中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，CF分别交AB，EB于点N，D，AC交EB于点M，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求证：AF＝DE． 3．如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠D＝51°，AC＝DF，BC与EF交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）求∠BOF的度数． 4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．求证： （1）AD平分∠BAC． （2）若△ABC的面积为84cm2，AB＝15cm，求DE的长． 5．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图1所示的△ABC，其中AB＞AC，然后把纸片折叠，使得AB与AC重合，且点B落在AC延长线上的B1处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系． （1）请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到△ABD≌△AB1D， ∴①　 　 ＝∠B1（②　 ）． 又∵∠ACB是△DCB1的一个外角， ∴∠ACB＝∠B1+∠B1DC（③　 　 ）． ∴∠ACB＞④　 　 ． 即∠ACB＞∠B（等量代换）． ∴在△ABC中，若AB＞AC，则∠ACB＞∠B． （2）请用（1）的结论解决问题：在△DEF中，若DE＞DF，DG是EF边上的中线，请探索∠EDG和∠FDG的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长DG到点H，使GH＝DG，连接FH） 6．【问题探究】 （1）在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E． ①如图1，试说明AB＝AE； ②如图2，点F是线段AB上一点，连接DF，且∠BDF＝∠EDC，判断DF与CD之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，△ABC是某市的一块空地，∠ABC＝90°，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，AD、DE和DF是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足AD平分∠BAC，DE⊥AC，∠BDF＝∠EDC．现要在△ADE区域内种植鲜花，已知△ADF区域的面积为80m2，，AC＝100m，求种植鲜花的面积（即△ADE的面积）． 模型三：旋转模型 1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），以下四个结论：①△PFA≌△PEB；②∠PFE＝45°；③EF＝AP；④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；始终正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G，求证：EF＝BC． 3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 4．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ； （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝25，DE＝14，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长． 5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 6．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BAC＝90°，BC＝10cm，AH是△ABC的高，AH＝5cm，动点P从点B开始沿线段BC方向以2cmls的速度向点C运动，将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到AQ，连结CQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）请直接写出线段PC的长度（用含有t的代数式表示）：PC＝ 　 　 cm； （2）求证：CQ＝BP； （3）当AP将△ABC的面积分成1：2两部分时，求t的值； （4）在点P运动过程中，△AHQ的面积是否发生变化？若不变，直接写出△AHQ的面积．若变化，直接写出△AHQ面积的取值范围． 模型四：手拉手模型 1．如图，AB＝ED，BC＝DC，CA＝CE，∠ACB＝80°，∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．20° B．30° C．50° D．80° 2．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD． （1）求证：△EBD≌△ABC； （2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数． 4．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 5．数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的． （1）【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BE，CD．这一图形称为“手拉手模型”．求证：△ABE≌△ACD，请你完善下列过程． 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（ 　 　 ）①． 即∠2＝∠3． … ∴△ABE≌△ACD（ 　 　 ）②． （2）【类比推理】如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射线上取点D，使∠ADB＝∠ACB，求∠BDC的度数．（提示：可构建手拉手模型，在BD上找一点E，使AE＝AD） 6．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 模型五：一线三等角模型 1．已知：如图，△ABC和△DBE均为等边三角形，点A、B、E在一条直线上，AD交CE于点O，交BC于点M，CE交BD于点N．下列结论： ①△ABD≌△CBE；②△ABM≌△CBN；③△BNE≌△BMD；④∠AOC＝60°；⑤∠CBD＝60°．正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 5．如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3；点P在线段AB上以每秒一个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，其他条件不变．设点Q的运动速度变为每秒x个单位长度，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 6．【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 模型六：中点模型 1．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．其数学原理是利用△AOB≌△DOC，判断△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 2．如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为50cm，当小明到水平线CD的距离AM为40cm时，小颖（点B）到地面的距离为（　　） A．40cm B．70m C．80cm D．90cm 3．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF． 4．如图，在三角形ABC中，点D是BC的中点，作BE⊥AD于点E、CF⊥AD于点F． （1）三角形ABD和三角形ACD的面积有怎样的关系？为什么？ （2）BE和CF有怎样的位置和数量关系？为什么？ 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 6．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图1，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，求AB的取值范围．方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE；方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明△ECD≌△ABD，并直接写出AB的取值范围； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM． 7．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ 　 　 ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　 　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形中角度计算的常见模型 模型一：平移模型 模型二：对称模型 模型三：旋转模型 模型四：手拉手模型 模型五：一线三等角模型 模型六：中点模型 模型一：平移模型 1．如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF， ∵CF＝EF﹣EC＝7﹣4＝3， ∴BE＝3． 故选：C． 2．在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即AO∥PQ），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离BO，并下令按照BO的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．AB＝PO，点B、O、Q在同一水平线上，AB⊥BQ，PO⊥BQ．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 【答案】红方军队能命中目标，理由见解析． 【解答】解：红方能命中目标．理由如下： 由题意可知AO∥PQ， 所以∠AOB＝∠PQO， 又因为AB⊥BQ，PO⊥BQ， 所以∠ABO＝∠POQ＝90°， 在△ABO和△POQ中， ∠AOB＝∠PQO，∠ABO＝∠POQ＝90°，AB＝PO， 所以△ABO≌△POQ（AAS）， 所以BO＝OQ， 故红方军队能命中目标． 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 5．如图，在△ABC中，∠B＝80°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，连接AA′，设A′B′与AC的交点为O． （1）若B′为BC的中点，求证：△AOA′≌△COB′； （2）若AC平分∠BAA′，求∠C的度数． 【答案】（1）见解析； （2）50°． 【解答】（1）证明：∵A′B′由AB沿射线BC的方向平移所得， ∴AA′∥BB′，AA′＝BB′， ∴∠OAA′＝∠C， ∵B′为BC的中点， ∴BB′＝B′C， ∴AA′＝B′C． 在△AOA′和△COB′中， ， ∴△AOA′≌△COB′（AAS）； （2）解：∵AC平分∠BAA′， ∴∠BAC＝∠OAA′， 又∵∠OAA′＝∠C， ∴∠BAC＝∠C． ∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠B＝80°， ∴∠C＝（180°﹣80°）÷2＝50°． 6．如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1． （1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1； （2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于 　6　 时，点A与点D1之间的距离最小． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解答】（1）证明：由图1可知，△ABC≌△DBC， ∴AC＝BD， 由平移的性质可知，BD＝B1D1，∠DBC＝∠D1B1C1，BB1＝CC1， ∴AC＝B1D1， ∵∠DBC＝∠ACB＝90°， ∴∠D1B1C1＝90°， ∴∠ACC1＝∠BB1D1＝90°， 在△BB1D1和△C1CA中， ， ∴△BB1D1≌C1CA（SAS）， ∴∠AC1C＝∠B1BD1，BD1＝AC1， ∴BD1∥AC1， ∴BD1＝AC1且BD1∥AC1； （2）解：当点C于点B重合，点A与点D1之间的距离最小， ∴△DBC沿射线BC方向平移的距离等于BC＝6， 故答案为：6． 7．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF，连接AF，ED． （1）求证：AF∥DE且AF＝DE； （2）若将△BFD沿AD方向平移得到图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）成立，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD， ∵EC⊥AD，FB⊥AD， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠DBF＝∠ABF＝90°， ∵AE＝DF， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝BF， ∴△DCE≌△ABF（SAS）， ∴AF＝DE，∠CDE＝∠BAF， ∴AF∥DE， （2）解：成立，理由如下： ∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC， 即AC＝BD， ∵EC⊥AD，FB⊥AD， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠DBF＝∠ABF＝90°， ∵AE＝DF， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝BF， ∴△DCE≌△ABF（SAS）， ∴AF＝DE，∠CDE＝∠BAF， ∴AF∥DE． 模型二：对称模型 1．如图，在△AFC与△AEB中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，CF分别交AB，EB于点N，D，AC交EB于点M，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C， ∴∠EAB＝∠FAC， ∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN， ∴∠1＝∠2， 故①符合题意； ∵AE＝AF，∠E＝∠F，∠B＝∠C， ∴△EAB≌△FAC（AAS）， ∴BE＝CF， 故②符合题意； 由条件得不到CD＝DN， 故③不符合题意； ∵△EAB≌△FAC（AAS）， ∴AC＝AB， ∵∠C＝∠B，∠CAN＝∠BAM， ∴△ACN≌△ABM（ASA）． ∴其中正确的有3个． 故选：B． 2．已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求证：AF＝DE． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵GE＝GF， ∴∠AFB＝∠DEC， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AF＝DE． 3．如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠D＝51°，AC＝DF，BC与EF交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）求∠BOF的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠BOF的度数为78°． 【解答】（1）证明：∵∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠D＝51°，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣51°＝39°， 由（1）知：△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF＝39°， ∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°． 4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．求证： （1）AD平分∠BAC． （2）若△ABC的面积为84cm2，AB＝15cm，求DE的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）DE的长为cm． 【解答】（1）证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC． （2）解：∵AD既是△ABC的中线，也是角平分线， ∴△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝84cm2，且AB＝AC＝15cm， ∴15×DE15×DF＝84， 由（1）得DE＝DF， ∴15×DE15×DE＝84， 解得DE， ∴DE的长为cm． 5．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图1所示的△ABC，其中AB＞AC，然后把纸片折叠，使得AB与AC重合，且点B落在AC延长线上的B1处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系． （1）请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到△ABD≌△AB1D， ∴①　∠B　 ＝∠B1（②　全等三角形的对应角相等　 ）． 又∵∠ACB是△DCB1的一个外角， ∴∠ACB＝∠B1+∠B1DC（③　三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和　 ）． ∴∠ACB＞④　∠B1　 ． 即∠ACB＞∠B（等量代换）． ∴在△ABC中，若AB＞AC，则∠ACB＞∠B． （2）请用（1）的结论解决问题：在△DEF中，若DE＞DF，DG是EF边上的中线，请探索∠EDG和∠FDG的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长DG到点H，使GH＝DG，连接FH） 【答案】（1）①∠B；②全等三角形的对应角相等；③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；④∠B1； （2）∠FDG＞∠EDG． 【解答】解：（1）证明：由轴对称的性质可以得到△ABD≌△AB1D， ∴∠B＝∠B1（全等三角形的对应角相等）． 又∵∠ACB是△DCB1的一个外角， ∴∠ACB＝∠B1+∠B1DC（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∴∠ACB＞∠B1． 即∠ACB＞∠B（等量代换）． ∴在△ABC中，若AB＞AC，则∠ACB＞∠B． 故答案为：①∠B；②全等三角形的对应角相等；③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；④∠B1； （2）∠FDG＞∠EDG． 延长DG到点H，使GH＝DG，连接FH， ∵DG是EF边上的中线， ∴FG＝EG， 在△HGF和△DGE中， ， ∴△HGF≌△DGE（SAS）， ∴DE＝FH，∠EDG＝∠H， ∵DE＞DF， ∴FH＞DF， ∴∠FDG＞∠H， ∴∠FDG＞∠EDG． 6．【问题探究】 （1）在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E． ①如图1，试说明AB＝AE； ②如图2，点F是线段AB上一点，连接DF，且∠BDF＝∠EDC，判断DF与CD之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，△ABC是某市的一块空地，∠ABC＝90°，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，AD、DE和DF是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足AD平分∠BAC，DE⊥AC，∠BDF＝∠EDC．现要在△ADE区域内种植鲜花，已知△ADF区域的面积为80m2，，AC＝100m，求种植鲜花的面积（即△ADE的面积）． 【答案】（1）①见解析；②DF＝DC，见解析； （2）． 【解答】解：（1）①因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD． 因为∠ABC＝90°，DE⊥AC， 所以∠ABD＝∠AED＝90°． 在△ABD和△AED中， ∠BAD＝∠EAD，∠ABD＝∠AED，AD＝AD， 所以△ABD≌△AED（AAS）， 所以AB＝AE． ②DF＝DC． 理由：由（1）得△ABD≌△AED， 所以BD＝ED． 在△DBF和△DEC中， ∠BDF＝∠EDC，BD＝ED，∠D B F＝∠D E C＝90°， 所以△DBF≌△DEC（ASA）， 所以DF＝DC； （2）因为∠ABC＝90°， 所以DB⊥AF， 所以． 因为△ADF的面积为80m2，， 所以， 解得A F＝60m． 由①②可知△ABD≌△AED，△DBF≌△DEC， 所以，BF＝EC． 因为AB＝AE，BF＝EC， 所以A F+B F＝A C﹣E C，即60+E C＝100﹣E C， 解得E C＝20m， 所以A E＝A C﹣E C＝80（m）， 所以， 故种植鲜花的面积是． 模型三：旋转模型 1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），以下四个结论：①△PFA≌△PEB；②∠PFE＝45°；③EF＝AP；④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；始终正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点； ∴∠APB＝90°，AP＝CP＝BP，∠B＝∠C＝∠CAP＝45°； ∵∠FPE＝90°； ∴∠FPA＝∠BPE； 在△PFA与△PEB中， ， ∴△PFA≌△PEB（ASA）．故①正确； ∴PE＝PF； ∴∠PFE＝45°．故②正确； ∴EFPE． 又只有当PE⊥AB时，AP＝BPPE，此时EF＝AP．故③错误； 阴影部分的面积＝△APC的面积＝△ABC的面积的一半．故④正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 2．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G，求证：EF＝BC． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAF， ∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置， ∴AC＝AF， 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BC． 3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）延长BD交CE于F， 在△EAC和△DAB中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝90°， ∴∠ABD+∠AEC＝90°， ∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD； （2）延长BD交CE于F， ∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵在△EAC和△DAB中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD． 4．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 　AE＝BD　 ，位置关系是 　AE⊥BD　 ； （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝25，DE＝14，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长． 【答案】（1）AE＝BD；AE⊥BD； （2）还成立，理由见解答过程； （3）31或17． 【解答】解：（1）线段AE与BD的数量关系是：AE＝BD，位置关系是：AE⊥BD，理由如下： 延长AE交BD于点M，如图1所示： ∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝90°， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD， 在Rt△ACE中，∠CAE+∠AEC＝90°， ∵∠AEC＝∠BEM， ∴∠CBD+∠BEM＝90°， 在△BEM中，∠BME＝180°﹣（∠CBD+∠BEM）＝90°， ∴AE⊥BD， 故答案为：AE＝BD；AE⊥BD； （2）还成立，理由如下： 延长AE交BD于点N，交BC于点P，如图2所示： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ECB＝∠DCE﹣∠ECB， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD， 在△ACP中，∠CAE+∠CPA＝90°， ∵∠CPA＝∠BPN， ∴∠CBD+∠BPN＝90°， 在△BPN中，∠BNP＝180°﹣（∠CBD+∠BPN）＝90°， ∴AE⊥BD， ∴（1）中的结论还成立； （3）当A、E、D三点在直线上时，有以下两种情况： ①当点D在AE的延长线上时，过点C作CH⊥DE于点H，如图3①所示： 在等腰Rt△CDE中，∠DCE＝90°，DE＝14，CH⊥DE， ∴CH＝EH＝DHDE＝7， 在Rt△ACH中，AC＝25， 由勾股定理得：AH24， ∴AD＝AH+DH＝24+7＝31； ②当点E在AD的延长线上，过点C作CH⊥DE于点H，如图3②所示： 同①得：CH＝EH＝DHDE＝7，AH＝24， ∴AD＝AH﹣DH＝24﹣7＝17， 综上所述：AD的长度为31或17． 5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE． 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（ASA）． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE． ∴DE＝CE+CD＝AD+BE． （2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE． 证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE． 又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴CD＝BE，AD＝CE． ∴DE＝AD﹣BE． 6．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BAC＝90°，BC＝10cm，AH是△ABC的高，AH＝5cm，动点P从点B开始沿线段BC方向以2cmls的速度向点C运动，将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到AQ，连结CQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）请直接写出线段PC的长度（用含有t的代数式表示）：PC＝ 　（10﹣2t）　 cm； （2）求证：CQ＝BP； （3）当AP将△ABC的面积分成1：2两部分时，求t的值； （4）在点P运动过程中，△AHQ的面积是否发生变化？若不变，直接写出△AHQ的面积．若变化，直接写出△AHQ面积的取值范围． 【答案】（1）（10﹣2t）； （2）证明见解答过程； （3）秒或秒； （4）△AHQ的面积不发生变化，始终是cm2，理由见解答过程． 【解答】（1）解：∵动点P从点B开始沿线段BC方向以2cmls的速度向点C运动，运动时间为t（t＞0）秒， ∴BP＝2t cm， ∵BC＝10cm， ∴PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）cm， 故答案为：（10﹣2t）； （2）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转90°得到AQ， ∴AQ＝AP，∠PAQ＝90°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠PAQ＝∠BAC＝90°， ∴∠PAQ﹣∠PAC＝∠BAC﹣∠PAC， 即∠CAQ＝∠BAP， 在△CAQ和△BAP中， ， ∴△CAQ≌△BAP（SAS）， ∴CQ＝BP； （3）∵AH是△ABC的高， ∴S△ABPBP•AH，S△ACPPC•AH， ∴， 当AP将△ABC的面积分成1：2两部分时，有以下两种情况： ①当时，则， 由（1）可知：BP＝2t cm，PC＝（10﹣2t）cm， ∴， 解得：t， ②当时，则， ∴， 解得：t， 综上所述：当AP将△ABC的面积分成1：2两部分时，t的值为秒或秒； （4）△AHQ的面积不发生变化，始终是cm2，理由如下： 过点Q作QE⊥AH于点E，如图所示： 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝10cm，AD是△ABC的高，AH＝5cm， ∴∠B＝∠ACB＝45°，BH＝CH＝5cm，AH⊥BC， ∵△CAQ≌△BAP， ∴∠ACQ＝∠B＝45°， ∴∠BCQ＝∠ACB+∠ACQ＝45°+45°＝90°， ∴CQ⊥BC， 根据平行线间的距离处处相等得：QE＝CH＝5cm， ∴S△AHQAH•QE（cm2）， ∴在点P运动过程中，△AHQ的面积不发生变化，始终是cm2． 模型四：手拉手模型 1．如图，AB＝ED，BC＝DC，CA＝CE，∠ACB＝80°，∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．20° B．30° C．50° D．80° 【答案】B 【解答】解：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SSS）， ∴∠ACB＝∠ECD＝80°， ∵∠1＝50°， ∴∠2＝∠ECD﹣∠1＝80°﹣50°＝30°， 故选：B． 2．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 3．如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD． （1）求证：△EBD≌△ABC； （2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD， ∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD， 即∠EBD＝∠ABC． 在△EBD和△ABC中， ， ∴△EBD≌△ABC（ASA）； （2）解：∵△EBD≌△ABC， ∴BD＝BC，∠BDE＝∠C， ∵∠BDE＝65°， ∴∠BDC＝∠BDE＝65°， ∵∠CBD＝50°， ∵O点为CD中点， ∴∠OBDCBD＝25°． 4．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴AD⊥DE， ∵EA平分∠DEF， ∴∠AED＝∠AEF， 又∵AF⊥EF， ∴AF＝AD； （2）解：在Rt△ABF和△RtACD中， ， ∴Rt△ABF≌△RtACD（HL）， ∴BF＝CD＝7， ∵DE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4． 5．数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的． （1）【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BE，CD．这一图形称为“手拉手模型”．求证：△ABE≌△ACD，请你完善下列过程． 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（ 　等式的性质　 ）①． 即∠2＝∠3． … ∴△ABE≌△ACD（ 　SAS　 ）②． （2）【类比推理】如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射线上取点D，使∠ADB＝∠ACB，求∠BDC的度数．（提示：可构建手拉手模型，在BD上找一点E，使AE＝AD） 【答案】（1）①等式的性质；②SAS； （2）42°． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（等式的性质）①， 即∠2＝∠3， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）②， 故答案为：①等式的性质；②SAS； 解：在BD上取一点E，使AE＝AD，设AC于BD相交于点F，如图所示： ∴∠AED＝∠ADB， 在△ADE中，∠EAD＝180°﹣（∠AED+∠ADB）＝180°﹣2∠ADB， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD， 在△ABF中，∠ABE+∠AFB+∠BAC＝180°， 在△CDF中，∠ACD+∠CFD+∠BDC＝180°， 又∵∠AFB＝∠CFD， ∴∠BDC＝∠BAC＝42°． 6．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）10； （3）60°． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAM+∠CAE＝60°， ∴∠BAM+∠BAD＝∠DAM＝60°＝∠EAM， ∵AD＝AE，AM＝AM， ∴△ADM≌△AEM（SAS）， ∴DM＝EM， ∴△BDM的周长＝BM+DM+BD＝BM+EM+CE＝BC＝10； （3）解：如图，延长DH到点I，使IH＝DH，连接FD，FI，FE，CI， 由（2）知△ABD≌△ACE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ABD＝∠ACE，CE＝BD， ∵点H为底边BC的中点，FH⊥DH， ∴BH＝CH，FD＝FI， ∵∠BHD＝∠CHI， ∴△BHD≌△CHI（SAS）， ∴BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI， ∵∠ACF＝∠CBD，∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACF＝∠HCI，∠ACF﹣∠ACE＝∠CBD﹣∠ABD， 即∠ECF＝∠CBA＝30°， ∴∠ACF﹣∠HCF＝∠HCl﹣∠HCF， ∴∠ACB＝∠FCI＝30°， ∴∠ECF＝∠ICF＝30°， ∵BD＝CI，BD＝CE， ∴CE＝CI， ∵CF＝CF， ∴△CEF≌△CIF（SAS）， ∴FI＝FE＝FD， ∵AF＝AF，AD＝AE， ∴△AFD≌△AFE（SAS）， ∴． 模型五：一线三等角模型 1．已知：如图，△ABC和△DBE均为等边三角形，点A、B、E在一条直线上，AD交CE于点O，交BC于点M，CE交BD于点N．下列结论： ①△ABD≌△CBE；②△ABM≌△CBN；③△BNE≌△BMD；④∠AOC＝60°；⑤∠CBD＝60°．正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解答】解：∵△ABC和△DBE均为等边三角形， ∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC＝AC，BD＝DE＝BE， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，所以结论⑤正确， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS），所以结论①正确； ∴∠BAD＝∠BCE，即∠BAM＝∠BCN， ∵∠AMB＝∠CMO，∠AMB+∠BAD+∠ABC＝∠BCE+∠CMO+∠AOC， ∴∠CBD＝∠ABC＝60°，所以结论④正确， 在△ABM，△CBN中， ， ∴△ABM≌△CBN（ASA），所以结论②正确； ∴BM＝BN， 在△BNE和△BMD中， ， ∴△BNE≌△BMD（SAS），所以结论③正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个，所以只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA， 故①正确； ②∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， 由①知：∠DEC＝∠BDA， ∵AB＝DC， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AD＝DE， 故②正确； ③∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴D为BC中点， 故③正确； ④∵∠C＝40°， ∴∠AED＞40°， ∴∠ADE≠∠AED， ∵△ADE为等腰三角形， ∴AE＝DE或AD＝DE， 当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝60°， 当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BAD＝30°， 故④不正确． ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 3．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）全等，理由是： ∵∠1＝∠2， ∴DE＝CE， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠3＝∠4， ∵∠3+∠5＝90°， ∴∠4+∠5＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴△CDE是直角三角形． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△DCE， ∴CE＝BD＝3，AB＝DC， ∵AE＝2， ∴AC＝CE+AE＝3+2＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∴CD＝5． 5．如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3；点P在线段AB上以每秒一个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，其他条件不变．设点Q的运动速度变为每秒x个单位长度，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t＝1时，△ACP≌△BPQ；PC⊥PQ，理由见解答过程； （2）存在，相应的x的值2或． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP≌△BPQ；PC⊥PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 依题意得：AP＝BQ＝1， ∵AB＝4， ∴BP＝AB﹣AP＝3， ∵AC＝3； ∴AC＝BP＝3， 在△ACP和△BPQ中， ， △ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， 即PC⊥PQ； （2）存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等． 根据点P，Q的运动速度和时间得：AP＝t，BQ＝xt， ∴BP＝AB﹣AP＝4﹣t， ∵∠CAB＝∠DBA， ∴有以下两种情况： ①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AP＝BQ，得：t＝xt， 解得：x＝1； ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BDP（SAS）， 由AP＝BP，得：t＝4﹣t， 解得：t＝2， 由AC＝BQ，得：3＝xt， 将t＝2代入3＝xt，得：x， ∴当△ACP与△BPQ全等时，相应的x的值2或． 6．【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）DE＝BD+CE，证明见解答过程； （3）S1＝S2，理由见解答过程． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ， △ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE，证明如下： ∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1AH•DM，S2AH•EN， ∴S1＝S2． 模型六：中点模型 1．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．其数学原理是利用△AOB≌△DOC，判断△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：∵O是AD，BC的中点， ∴AO＝OD，BO＝OC， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：A． 2．如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为50cm，当小明到水平线CD的距离AM为40cm时，小颖（点B）到地面的距离为（　　） A．40cm B．70m C．80cm D．90cm 【答案】D 【解答】解：在△OAM与△OBN中， ， ∴△OAM≌△OBN（AAS）， ∴BN＝AM＝40cm， ∴小颖到地面的距离为50+40＝90（cm）， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）． 4．如图，在三角形ABC中，点D是BC的中点，作BE⊥AD于点E、CF⊥AD于点F． （1）三角形ABD和三角形ACD的面积有怎样的关系？为什么？ （2）BE和CF有怎样的位置和数量关系？为什么？ 【答案】（1）△ABD和△ACD的面积相等，理由见解析过程； （2）BE∥CF且BE＝CF，理由见解析过程． 【解答】解：（1）△ABD和△ACD的面积相等，理由如下： 如图，过A作AH⊥BC于H， 则，， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD的面积相等； （2）BE∥CF且BE＝CF，理由如下： ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°，BE∥CF， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CF． 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； 6．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图1，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，求AB的取值范围．方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE；方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明△ECD≌△ABD，并直接写出AB的取值范围； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM． 【答案】方法一：见解答过程；9＜AB＜19；方法二：见解答过程；9＜AB＜19； （2）证明见解答过程． 【解答】解：方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE，如图1①所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（SAS）， ∴EC＝AB， ∵AC＝5，AD＝7， ∴AE＝AD+DE＝2AD＝14， 在△ACE中，由三角形三边之间的关系得：AE﹣AC＜EC＜AE+AC， ∴14﹣5＜EC＜14+5， 即9＜EC＜19， ∵EC＝AB， ∴AB的取值范围是：9＜AB＜19； 方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E，如图1②所示： ∴∠DCE＝∠B，∠E＝∠BAD， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（AAS）， ∴EC＝AB， ∵AC＝5，AD＝7， ∴AE＝AD+DE＝2AD＝14， 在△ACE中，由三角形三边之间的关系得：AE﹣AC＜EC＜AE+AC， ∴14﹣5＜EC＜14+5， 即9＜EC＜19， ∵EC＝AB， ∴AB的取值范围是：9＜AB＜19； （2）证明：延长BM到H，使MH＝MB，连接GH，DH，BD，如图2所示： ∵点M为EF的中点， ∴FM＝EM， 在△FMH和△EMB中， ， ∴△FMH≌△EMB（SAS）， ∴FH＝BE，∠FHM＝∠EBM， ∴FH∥BC， ∴∠CFH＝∠C， 在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠DFH+∠CFH＝180°， ∴∠A＝∠DFH， ∵AB＝BE，BE＝FH， ∴AB＝FH， 在△ABD和△FHD中， ， ∴△ABD≌△FHD（SAS）， ∴BD＝HD， ∵HM＝BM， ∴DM⊥BM． 7．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ 　SAS　 ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）； （2）由题意可得：AC＝BE＝6， ∴8﹣6＜AE＜8+6， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7． （3）延长AD交EC于点F，如图： ∵∠B＝90°，CE⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCF 在△ABD和△FCD中． ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴CF＝BA＝3，AD＝DF， ∴AE＝FE， ∴AE＝CE+CF＝9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $