第十四章 全等三角形（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

第十四章 全等三角形 教学目标 1. 熟练掌握全等三角形全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）全等三角形的性质； （2）全等三角形的判定； （3）角平分线的性质与判定。 2. 难点 （1）全等三角形判定的综合应用； （2）角平分线性质的应用。 考点01 全等形、全等三角形及其相关概念 1. 全等形的概念： 形状和大小完全一样的两个图形叫做全等形。即能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2. 全等三角形的概念： 形状和大小完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的对应点。 能够重合的边叫做全等三角形的对应边。 能够重合的角叫做全等三角形的对应角。 用符号“≌”连接，读作全等于。表示△ABC≌△DEF。对应点必须写在对应的位置。 考点02 三角形的性质 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边相等。对应角也相等。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别对应相等。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别对应相等。 考点03 全等三角形的判定 1. 边角边（SAS）： （1）概念：若两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 2. 角边角（ASA）： （1）概念若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 3. 角角边（AAS）： （1）概念：若两个三角形的两个角及其其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 4. 边边边（SSS）： （1）概念：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 5. 斜边与直角边（HL）： （1）概念：直角三角形的斜边与其中一条直角边对应相等的两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 考点04 尺规作图 1. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 3. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 4. 尺规作图作角的平分线： 已知 ∠AOB 求作 作∠AOB的平分线 作法 步骤： （1）以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 （2）以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 （3）连接OP即为角平分线 考点05 角的平分线 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 ∠AOC＝∠BOC等于∠AOB的一半。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即PD＝PE 2. 角平分线的判定： （1）角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 （2）数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 考点06 证明文字几何题： 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的已知与求证。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的已知与求证。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 题型01 全等图形 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：全等图形形状相同，大小相等， A、两个图形形状不同，故选项不符合题意； B、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意； C、两个图形形状不同，故选项不符合题意； D、两个图形大小不等，故选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1+∠2＝ 　180°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 在△ABC与△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）， ∴∠1＝∠ABC． ∵∠ABC+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝180°． 故答案为：180°． 4．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　45°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 在△ABC与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴∠1＝∠CED， ∵∠CED+∠2＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 5．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　105　 °． 【答案】105． 【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′， ∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′， ∵∠D′＝105°， ∴∠D＝105°， ∵∠B＝90°，∠C＝60°， ∴∠A＝105°， ∴∠A′＝105°， 故答案为：105． 题型02 全等三角形的性质 1．如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为（　　） A．70° B．50° C．60° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACB＝60°， ∴∠B＝50°， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠E＝∠B＝50°， 故选：B． 2．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠F＝26°，则∠DEF的度数为（　　） A．124° B．66° C．114° D．140° 【答案】C 【解答】解，∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝40°， ∵∠F＝26°， ∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣40°﹣26°＝114°． 故选：C． 3．如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，DE与AC交于点F，若∠FCD＝∠FDC，则下列结论中错误的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B．AE∥BC C．∠B+2∠E+∠DAC＝180° D．AD＝AF 【答案】D 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，BC＝DE，AC＝AE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），所以结论A正确，不符合题意； ∵∠FCD＝∠FDC， ∴∠E＝∠FDC， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），所以结论B正确，不符合题意； ∴∠B+∠BAE＝180°，∠E＝∠FDC＝∠C＝∠FAE＝∠BAD， ∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠CAE＝180°， ∴∠B+2∠E+∠DAC＝180°，所以结论C正确，不符合题意； 根据已知条件不能证明∠AFD＝∠ADF， ∴AD＝AF不成立，所以结论D错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm，则DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm， ∴BC＝DE，CD＝AB＝5cm， ∵点B、C、D在同一直线上， ∴BC＝BD﹣CD＝8﹣5＝3（cm）， ∴DE＝BC＝3cm， 即DE的长为3cm， 综上所述，只有选项A正确，符合题意． 故选：A． 5．如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的度数为（　　） A．12° B．18° C．24° D．36° 【答案】A 【解答】解：∵∠A：∠C＝4：3， ∴设∠A＝4x°，∠C＝3x°， ∴∠ABC＝180°﹣4x°﹣3x°＝180°﹣7x°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBC，AB＝BD， ∴∠CBE＝∠ABD， ∵AB＝DB， ∴∠ADB＝∠A＝4x°， ∴∠ABD＝180°﹣4x°﹣4x°＝180°﹣8x°， ∴∠CBE＝180°﹣8x°， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴180°﹣7x°+180°﹣8x°＝180°， ∴x＝12， ∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝x°＝12°． 故选：A． 6．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．20 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【解答】解：∵△BDE≌△CDA， ∴DE＝DA，BE＝CA， ∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA， ∵AB＝14，AC＝10， ∴BA+CA＝14+10＝24， 即△BDE的周长为24， 综上所述，只有选项C正确，符合题意，． 故选：C． 7．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，AD＝AB＝2， ∴∠BAD＝∠EAC＝90° ∴△ABD的面积AB•AD2×2＝2， ∵△ABC的面积＝△ADE的面积， ∴阴影的面积＝△ABD的面积＝2． 故选：A． 8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F， （1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　3　 ； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°， ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5， ∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3， 故答案为：3； （2）①∵△ABC≌△DEB ∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°； ②∵∠AEF是△DBE的外角， ∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°， ∵∠AFD是△AEF的外角， ∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°． 题型03 全等三角形的判定 1．如图，∠1＝∠2，下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的条件是（　　） A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4 【答案】B 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误，不符合题意； B、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若BC＝BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确，符合题意； C、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误，不符合题意； D、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠3＝∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，已知AD∥BC，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA的是（　　） A．AD＝CB B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．∠BAC＝∠DCA 【答案】C 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， A、由SAS判定△ABC≌△CDA，故A不符合题意； B、由AAS判定△ABC≌△CDA，故B不符合题意； C、∠DAC和∠ACB，分别是DC和AB的对角，不能判定△ABC≌△CDA，故C符合题意； D、由ASA判定△ABC≌△CDA，故D不符合题意． 故选：C． 3．如图，∠1＝∠2，添加一个条件即可判定△ABD与△ACD全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（　　） A．添加AB＝AC，用“SAS”判定全等 B．添加∠ADB＝∠ADC，用“AAS”判定全等 C．添加∠B＝∠C＝90°，用“HL”判定全等 D．添加BD＝CD，用“SAS”判定全等 【答案】A 【解答】解：A、所添条件及所用判定方法都正确，故A符合题意； B、判定方法是ASA，不是AAS，故B不符合题意； C、还需添加一直角边相等的条件，才能用HL判定△ABD与△ACD，故C不符合题意； D、∠1和∠2分别是BD和CD的对角，不能用SAS判定△ABD与△ACD，故D不符合题意． 故选：A． 4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，则a的值为（　　） A．3 B．3或5 C．3或 D．5 【答案】C 【解答】解：由题意得：BP＝3t，CQ＝at， ∵BC＝8， ∴CP＝BC﹣BP＝8﹣3t， ∵AB＝AC＝10， ∴∠B＝∠C， ∵点D为AB的中点， ∴BDAB＝5， 分两种情况： 当△BDP≌△CQP时， ∴BP＝CP，BD＝CQ， ∴3t＝8﹣3t，5＝at， 解得：t，a； 当△BDP≌△CPQ时， ∴BD＝CP，BP＝CQ， ∴5＝8﹣3t，3t＝at， 解得：t＝1，a＝3； 综上所述：a的值为3或， 故选：C． 5．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【解答】解：当点P在AC上，点Q在CE上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ， ∴7﹣2t＝8﹣3t， ∴t＝1， 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ， ∴7﹣2t＝3t﹣8， ∴t＝3， 综上所述：t的值为1或3． 故选：B． 6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 7．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB． 求证：△DEF≌△ABC． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵DA＝EB， ∴DE＝AB， 在△DEF和△ABC中， ， ∴△DEF≌△ABC（SSS）． 8．如图1，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． 1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ，理由见解答过程； （2）x＝3cm/s，t＝1s或xcm/s，ts． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵点P，Q的运动的速度都是3cm/s， ∴当运动的时间t＝1时，AP＝BQ＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝7（cm）， ∵AC＝7cm， ∴AC＝BP＝7cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）∵点P运动的速度是3cm/s，点Q的运动速度为x cm/s，运动的时间为t s， ∴AP＝3t cm，BQ＝xt xm， ∵AC＝7cm，AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm， 又∵∠CAB＝∠DBA， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AP＝BQ，AC＝BC时，△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AC＝BC，得：7＝10﹣3t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：3t＝xt， 解得：x＝3， ∴相应的x与t的值为：x＝3cm/s，t＝1s； ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：7＝xt， 将t代入7＝xt，得：x， ∴相应的x与t的值为：xcm/s，ts， 综上所述：相应的x与t的值为x＝3cm/s，t＝1s或xcm/s，ts． 9．如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 【答案】（1）见解答； （2）△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE． 【解答】（1）证明：∵FE⊥BC，GD⊥BC， ∴∠BGD＝∠CFE＝90°， ∵BF＝CG， ∴BF+FG＝FG+CG， 即BG＝CF， 在△BDG和△CEF中， ， ∴△BDG≌△CEF（ASA）； （2）解：∵△BDG≌△CEF， ∴BD＝CE，DG＝EF， 在△BEF和△CDG中， ， ∴△BEF≌△CDG（SAS）； ∴BE＝CD， 在△BCE和△CBD中， ， ∴△BCE≌△CBD（SSS）； ∴∠EBC＝∠DCB， ∵∠OBC＝∠OCB ∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC ∴∠EBO＝∠DCO， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（SAS）； 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（AAS）， 综上所述，图中全等的三角形为△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE． 题型04 直角三角形的全等判定 1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【答案】D 【解答】解：条件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：D． 2．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 【答案】B 【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F， ∴∠BEC＝∠BFC＝90°， 在Rt△BCF和Rt△CBE中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL． 故选：B． 3．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． 4．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BE＝FC， ∴BE+EC＝FC+EC， 即BC＝FE， ∵∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠EBA， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC，BE＝AF． ∴EF＝EB+CF． （2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10． ∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7． 题型05 全等三角形的判定与性质 1．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA， 故①正确； ②∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， 由①知：∠DEC＝∠BDA， ∵AB＝DC， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AD＝DE， 故②正确； ③∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴D为BC中点， 故③正确； ④∵∠C＝40°， ∴∠AED＞40°， ∴∠ADE≠∠AED， ∵△ADE为等腰三角形， ∴AE＝DE或AD＝DE， 当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝60°， 当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BAD＝30°， 故④不正确． ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 3．如图，点C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论①∠AOB＝60°；②PQ∥AE；③OC平分∠AOE；④OC+OD＝OE，下面的结论正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CDA＝∠CEB，∠CAD＝∠CBE， ∵∠BPO＝∠APC， ∴∠AOB＝∠ACB＝60°， 故①正确，符合题意； 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°， 即∠PCD＝∠QCE， 在△CDP和△CEQ中， ， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）， ∴CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE， 故②正确，符合题意； 过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N， ∵△BCE≌△ACD， ∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD， ∴BE×CMAD×CN， ∴CM＝CN， ∴OC平分∠AOE， 故③正确，符合题意； 在OE上截取EH＝OC，连接DH，CH， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAO＝∠CBO， ∵∠CBO+∠CEB＝∠ACB＝60°， ∴∠CAO+∠CEO＝60°， ∴∠AOE＝120°， ∵OC平分∠AOE， ∴∠EOC＝60°＝∠ABC， ∵∠CQO＝∠EQD， ∴∠OCD＝∠HED， 在△OCD和△HED中， ， ∴△OCD≌△HED（SAS）， ∴OD＝HD， ∵∠AOB＝∠DOH＝60°， ∴△DHO是等边三角形， ∴OH＝OD， ∵OE＝EH+OH， ∴OE＝OC+OD， 故④正确，符合题意； 故选：D． 4．【问题背景】 已知△ABC是等边三角形，AB＝6． 【初步发现】 （1）如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点G，求∠AGF的度数； 【拓展延伸】 （2）如图2，点M是BC延长线上一点，连接AM，CN平分∠ACM交MN于点N，∠AMN＝60°，求CN﹣CM的值． 【答案】（1）∠AGF＝60°； （2）6． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABG+∠CBF＝60°， ∴∠AGF＝∠ABG+∠GAB＝60°； （2）点M是BC延长线上一点，连接AM，CN平分∠ACM交MN于点N，∠AMN＝60°，如图2，作MH∥AC交CN于H， ∴∠HMC＝∠ACB＝60°，∠ACN＝∠MCN＝60°， ∴△HCM为等边三角形， ∴HC＝CM＝HM， ∵∠CMH＝60°，∠AMN＝60°， ∴∠AMC＝∠NMH，∠NHM＝∠ACM＝120°， 在△AMC和△NMH中， ， ∴△AMC≌△NMH（ASA）， ∴NH＝AC＝6， ∴CN﹣CM＝CN﹣CH＝NH＝6． 5．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． 6．数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的． （1）【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BE，CD．这一图形称为“手拉手模型”．求证：△ABE≌△ACD，请你完善下列过程． 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（ 　等式的性质　 ）①． 即∠2＝∠3． … ∴△ABE≌△ACD（ 　SAS　 ）②． （2）【类比推理】如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射线上取点D，使∠ADB＝∠ACB，求∠BDC的度数．（提示：可构建手拉手模型，在BD上找一点E，使AE＝AD） 【答案】（1）①等式的性质；②SAS； （2）42°． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（等式的性质）①， 即∠2＝∠3， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）②， 故答案为：①等式的性质；②SAS； 解：在BD上取一点E，使AE＝AD，设AC于BD相交于点F，如图所示： ∴∠AED＝∠ADB， 在△ADE中，∠EAD＝180°﹣（∠AED+∠ADB）＝180°﹣2∠ADB， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD， 在△ABF中，∠ABE+∠AFB+∠BAC＝180°， 在△CDF中，∠ACD+∠CFD+∠BDC＝180°， 又∵∠AFB＝∠CFD， ∴∠BDC＝∠BAC＝42°． 7．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）10； （3）60°． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAM+∠CAE＝60°， ∴∠BAM+∠BAD＝∠DAM＝60°＝∠EAM， ∵AD＝AE，AM＝AM， ∴△ADM≌△AEM（SAS）， ∴DM＝EM， ∴△BDM的周长＝BM+DM+BD＝BM+EM+CE＝BC＝10； （3）解：如图，延长DH到点I，使IH＝DH，连接FD，FI，FE，CI， 由（2）知△ABD≌△ACE，∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ABD＝∠ACE，CE＝BD， ∵点H为底边BC的中点，FH⊥DH， ∴BH＝CH，FD＝FI， ∵∠BHD＝∠CHI， ∴△BHD≌△CHI（SAS）， ∴BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI， ∵∠ACF＝∠CBD，∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACF＝∠HCI，∠ACF﹣∠ACE＝∠CBD﹣∠ABD， 即∠ECF＝∠CBA＝30°， ∴∠ACF﹣∠HCF＝∠HCl﹣∠HCF， ∴∠ACB＝∠FCI＝30°， ∴∠ECF＝∠ICF＝30°， ∵BD＝CI，BD＝CE， ∴CE＝CI， ∵CF＝CF， ∴△CEF≌△CIF（SAS）， ∴FI＝FE＝FD， ∵AF＝AF，AD＝AE， ∴△AFD≌△AFE（SAS）， ∴． 8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2cm/s和x cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F． （1）如图1，当x＝3时，设点P运动时间为t s，当点P在AC上，点Q在BC上时， ①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ 　（6﹣2t）　 cm，CQ＝ 　（8﹣3t）　 cm； ②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由； （2）请问：当x＝4时，以点P、E、C为顶点的三角形与以点Q、F、C为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的t值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①（6﹣2t），（8﹣3t）； ②全等，理由见解答； （2）可能，1或或6． 【解答】解：（1）①由题意得：AP＝2t cm，BQ＝3t cm， 则CP＝（6﹣2t）cm，CQ＝（8﹣3t）cm， 故答案为：（6﹣2t），（8﹣3t）； ②当t＝2时，△PEC与△QFC全等，理由如下： 当t＝2时，CP＝6﹣2×2＝2（cm），CQ＝8﹣3×2＝2（cm）， ∴CP＝CQ， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE+∠QCF＝90°， 又∵PE⊥l于E，QF⊥l于F， ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠PCE+∠CPE＝90°， ∴∠CPE＝∠QCF， 在△PEC和△CFQ中， ∴△PEC≌△CFQ（AAS）； （2）当x＝4时，△PEC与△QFC有可能全等，分三种情况： ①当点P在AC上，点Q在BC上时，△PEC≌△CFQ，如图， 则PC＝CQ， ∴6﹣2t＝8﹣4t， 解得t＝1； ②如图， ∵点P与点Q重合， ∴△PEC与QFC全等， ∴CP＝CQ， ∴6﹣2t＝4t﹣8， 解得； ③当点P在BC上，点Q到点A时，△PEC≌△CFQ，如图， 则PC＝CQ， ∴2t﹣6＝6， ∴t＝6； 综上，符合条件t值为1或或6． 题型06 角的平分线 1．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠PDB＝30°，点D在边OB上，且DP＝6，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C， ∴CP＝EP， 在Rt△DEP中，∠PDB＝30°，DP＝6， ∴EPDP＝3， ∴CP＝3， 即CP的长度为3， 故选：C． 2．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【解答】解：由条件可知点O到△ABC三边的距离相等， 设点O到AB的距离为a， 则S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝AB：BC：AC ＝5：6：7， 故选：D． 3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示： ∴OP＝OQ，OQ＝OR， ∴OP＝OQ＝OR， ∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置， ∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上． 故选：B． 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【答案】B 【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA， ∴． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 6．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 【答案】（1）40°； （2）见解析； （3）△ABE的面积为15． 【解答】（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD， 由条件可得EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝24， ∴S△ACE+S△DCE＝24， ∴，即， ∴， ∴x＝3， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴△ABE的面积为． 7．如图（1），在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点． （1）求点A、B的坐标． （2）如图（2），点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，求∠AMD的度数； （3）如图（3）， ①求点F的坐标； ②在y轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，3）； （2）45°； （3）①F（0，1.5）；②（0，5）或（0，﹣2）． 【解答】解：（1）∵（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，（a+b）2≥0，|a﹣b+6|≥0， ∴a+b＝0，a﹣b+6＝0， ∴a＝﹣3，b＝3， ∴A（﹣3，0），B（3，3）； （2）设AM交y轴于点N，如图所示： ∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE， ∴设∠EDM＝∠FDM＝α，∠FAM＝∠OAM＝β， ∴∠EDF＝2α，∠OAF＝2β， 在Rt△OAF中，∠OFA＝90°﹣∠OAF＝90°﹣2β， ∴∠DFB＝∠OFA＝90°﹣2β， ∵ED∥AB， ∴∠EDF+∠DFB＝180°， ∴2α+90°﹣2β＝180°， ∴α﹣β＝45°， 在Rt△OAN中，∠ONA＝90°﹣∠OAM＝90°﹣β， ∴∠DNM＝∠ONA＝90°﹣β， ∴∠FDM+∠DNM＝α+90°﹣β＝90°+（α﹣β）＝135°， 在△DMN中，∠AMD＝180°﹣（∠FDM+∠DNM）＝45°； （3）①连接OB，过点B作BH⊥y轴于点H，如图3所示， ∵A（﹣3，0），B（3，3），C（4，0）， ∴OA＝3，BH＝OH＝3，OC＝4 ∴S△AOBOA•OH3×3， 设点F的坐标为（0，t），则OF＝t， ∴S△AOFOF•OA，S△BOFOF•BH， 又∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB， ∴， 解得：t＝1.5， ∴点F点坐标为（0，1.5）； ②存在． ∵OA+OC＝3+4＝7， ∴S△ABCAC•OH7×3＝10.5， ∵点F点坐标为（0，1.5）， ∴OF＝1.5， 分两种情况讨论如下： （ⅰ）当点P在点F上方时，过点B作BH⊥y轴于点H，如图3①所示： 设PF＝a， ∴S△APFPF•OA，S△BPFPF•BH， ∴S△ABP＝S△APF+S△BPF＝3a， ∵S△ABP＝S△ABC， ∴3a＝10.5， ∴a＝3.5， ∴PF＝a＝3.5， ∴OP＝PF+OF＝3.5+1.5＝5， 此时P点坐标为（0，5）； （ⅱ）当点P在点F上方时，过点B作BH⊥y轴于点H，如图3②所示： 设PF＝a， 同（ⅰ）得：S△APF，S△BPF， ∴S△ABP＝S△APF+S△BPF＝3a， ∵S△ABP＝S△ABC， ∴3a＝10.5， ∴a＝3.5， ∴PF＝a＝3.5， ∴OP＝PF+OF＝3.5﹣1.5＝2， 此时P点坐标为（0，﹣2）， 综上所述：y轴上存在点P，使得S△ABP＝S△ABC，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）． 题型07 尺规作图 1．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． 则正确的作图顺序是（　　） A． ①﹣②﹣③﹣④ B．②﹣④﹣①﹣③ B． C．④﹣②﹣③﹣① D．④﹣③﹣②﹣① 【答案】C 【解答】解：作法：④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【答案】D 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°， 由作图过程可得：AP平分∠BAC， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝95°． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则点D到直线AB的距离是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， 由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3， ∴点D到直线AB的距离是3． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：如图，由基本作图可知，BP平分∠ABC， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝4， ∴DF＝DE＝4， ∵∠ACB＝45°． ∴∠CDF＝90°﹣45°＝45°＝∠ACB， ∴CF＝DF＝4， ∴BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8， 故选：C． 5．如图，在△ABC中，AB＝CB，点E是BC中点，点D是AB延长线上一点． （1）尺规作图：作∠CBD的平分线BP； （2）判断BP与AC的位置关系，并说明理由； （3）过点E作直线FG，分别交AC于点F，交BP于点G，补全图形，并说明CF＝BG． 【答案】（1）见解析；（2）结论：BP∥BC，理由见解析；（3）见解析． 【解答】（1）解：如图，射线BP即为所求； （2）解：结论：BP∥AC． 理由：∵BP平分∠CBD， ∴∠PBC＝∠PBD， ∴BC＝BA， ∴∠A＝∠C， ∵∠CBD＝∠A+∠C， ∴∠A＝∠PBD， ∴PB∥BC； （3）解：图形如图所示． 证明：∵BG∥CF， ∴∠C＝∠EBG，∠EFC＝∠EGB， ∵点E是BC的中点， ∴EC＝EB， ∴△ECF≌△EBG（AAS）， ∴CF＝BG． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若∠A＝38°，求∠ADB的度数； ②若AB＝5，CD＝2，求△ABD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示： （2）①∵∠C＝90°，∠A＝38°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣38°＝52°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD∠ABC＝26°， ∴∠ABD＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣38°﹣26°＝116°； ②过点D作DH⊥AB于点H， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DH＝CD＝2， ∴△ABD的面积AB•DH5×2＝5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 教学目标 1. 熟练掌握全等三角形全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）全等三角形的性质； （2）全等三角形的判定； （3）角平分线的性质与判定。 2. 难点 （1）全等三角形判定的综合应用； （2）角平分线性质的应用。 考点01 全等形、全等三角形及其相关概念 1. 全等形的概念： 形状和大小完全一样的两个图形叫做全等形。即能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2. 全等三角形的概念： 形状和大小完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的对应点。 能够重合的边叫做全等三角形的对应边。 能够重合的角叫做全等三角形的对应角。 用符号“≌”连接，读作全等于。表示△ABC≌△DEF。对应点必须写在对应的位置。 考点02 三角形的性质 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边相等。对应角也相等。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别对应相等。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别对应相等。 考点03 全等三角形的判定 1. 边角边（SAS）： （1）概念：若两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 2. 角边角（ASA）： （1）概念若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 3. 角角边（AAS）： （1）概念：若两个三角形的两个角及其其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 4. 边边边（SSS）： （1）概念：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 5. 斜边与直角边（HL）： （1）概念：直角三角形的斜边与其中一条直角边对应相等的两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 考点04 尺规作图 1. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 3. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 4. 尺规作图作角的平分线： 已知 ∠AOB 求作 作∠AOB的平分线 作法 步骤： （1）以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 （2）以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 （3）连接OP即为角平分线 考点05 角的平分线 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 ∠AOC＝∠BOC等于∠AOB的一半。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即PD＝PE 2. 角平分线的判定： （1）角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 （2）数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 考点06 证明文字几何题： 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的已知与求证。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的已知与求证。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 题型01 全等图形 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1+∠2＝ 　 　 ． 4．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 5．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　 　 °． 题型02 全等三角形的性质 1．如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为（　　） A．70° B．50° C．60° D．30° 2．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠F＝26°，则∠DEF的度数为（　　） A．124° B．66° C．114° D．140° 3．如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，DE与AC交于点F，若∠FCD＝∠FDC，则下列结论中错误的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B．AE∥BC C．∠B+2∠E+∠DAC＝180° D．AD＝AF 4．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm，则DE等于（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 5．如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的度数为（　　） A．12° B．18° C．24° D．36° 6．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．20 B．23 C．24 D．26 7．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F， （1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　 　 ； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°， ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 题型03 全等三角形的判定 1．如图，∠1＝∠2，下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的条件是（　　） A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4 2．如图，已知AD∥BC，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA的是（　　） A．AD＝CB B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．∠BAC＝∠DCA 3．如图，∠1＝∠2，添加一个条件即可判定△ABD与△ACD全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（　　） A．添加AB＝AC，用“SAS”判定全等 B．添加∠ADB＝∠ADC，用“AAS”判定全等 C．添加∠B＝∠C＝90°，用“HL”判定全等 D．添加BD＝CD，用“SAS”判定全等 4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，则a的值为（　　） A．3 B．3或5 C．3或 D．5 5．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF． 7．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB． 求证：△DEF≌△ABC． 8．如图1，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． 1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 9．如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 题型04 直角三角形的全等判定 1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 2．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 3．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 4．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE． 5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长． 题型05 全等三角形的判定与性质 1．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论①∠AOB＝60°；②PQ∥AE；③OC平分∠AOE；④OC+OD＝OE，下面的结论正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．【问题背景】 已知△ABC是等边三角形，AB＝6． 【初步发现】 （1）如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点G，求∠AGF的度数； 【拓展延伸】 （2）如图2，点M是BC延长线上一点，连接AM，CN平分∠ACM交MN于点N，∠AMN＝60°，求CN﹣CM的值． 5．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 6．数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的． （1）【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BE，CD．这一图形称为“手拉手模型”．求证：△ABE≌△ACD，请你完善下列过程． 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（ 　 　 ）①． 即∠2＝∠3． … ∴△ABE≌△ACD（ 　 　 ）②． （2）【类比推理】如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射线上取点D，使∠ADB＝∠ACB，求∠BDC的度数．（提示：可构建手拉手模型，在BD上找一点E，使AE＝AD） 7．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE． （1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE； （2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长； （3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数． 8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2cm/s和x cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F． （1）如图1，当x＝3时，设点P运动时间为t s，当点P在AC上，点Q在BC上时， ①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ 　 　 cm，CQ＝ 　 　 cm； ②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由； （2）请问：当x＝4时，以点P、E、C为顶点的三角形与以点Q、F、C为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的t值；若不能，请说明理由． 题型06 角的平分线 1．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠PDB＝30°，点D在边OB上，且DP＝6，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 6．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 7．如图（1），在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点． （1）求点A、B的坐标． （2）如图（2），点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，求∠AMD的度数； （3）如图（3）， ①求点F的坐标； ②在y轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P坐标．若不存在，请说明理由． 题型07 尺规作图 1．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． 则正确的作图顺序是（　　） A． ①﹣②﹣③﹣④ B．②﹣④﹣①﹣③ B． C．④﹣②﹣③﹣① D．④﹣③﹣②﹣① 2．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则点D到直线AB的距离是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．如图，在△ABC中，AB＝CB，点E是BC中点，点D是AB延长线上一点． （1）尺规作图：作∠CBD的平分线BP； （2）判断BP与AC的位置关系，并说明理由； （3）过点E作直线FG，分别交AC于点F，交BP于点G，补全图形，并说明CF＝BG． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若∠A＝38°，求∠ADB的度数； ②若AB＝5，CD＝2，求△ABD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$