专题1.5集合24道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第一册）

专题1.5集合24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 元素与集合问题 题型二 常见的集合求参问题 题型三 子集(真子集)的个数计算相关问题 题型四 集合间关系的参数求解问题 题型五 集合的交并补基本运算 题型六 交并补的的求参相关问题 【经典例题一 元素与集合问题】 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【详解】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 选D 2．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 3．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 【答案】669 【分析】根据题意，，进而结合且求解即可. 【详解】根据题意，集合表示的是位进制数的集合， 位进制数中，最小的位进制数为，，即， 最大的位进制数为，， 即， 所以集合， 因为且， 所以， 所以满足条件的正整数的个数为. 故答案为：669 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）当时求出，当时利用韦达定理计算可得； （2）首先可得，再分析方程的解，当时求出，当时分为方程的解和不是方程的解两种情况讨论. 【详解】（1）因为且为非空集合， 对于方程， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 此时集合中所有元素之和； 综上可得集合中所有元素之和或； （2）因为， 由，则或， 对于，解得，所以； 对于， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 若为方程的解，则，此时方程的两根为和， 此时，则集合中所有元素之和； 若不为方程的解，即， 此时集合中所有元素之和； 综上可得：集合中所有元素之和或或. 【经典例题二 常见的集合求参问题】 1．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可. 【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立； 若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况； 若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立； 若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况， 综上符合条件的所有有序数组的个数是6个， 故选：B 2．（多选题）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 3．（23-24高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】设，结合题意与集合的性质分析即可. 【详解】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的． 若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时． 若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时． 综上，或． 故答案为：（或） 4．（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】 ，得 综上，且 即的取值范围为 【经典例题三 子集(真子集)的个数计算相关问题】 1．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 【答案】AC 【分析】对于A由即可判断，对于B由于即可判断，对于C存在，，，使得，，计算是否满足集合即可判断，对于D验证是否满足集合即可判断. 【详解】对于A：因为对任意的，均有，显然，，故的所有项构成的集合是A的子集，故A正确； 对于B：数列的首项，，a，，故B错误； 对于C：若m，，则存在，，，使得，，则，故，故C正确； 对于D：由C项知， 但不一定是整数，故不一定有，故D错误． 故选：AC. 3．（2023高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 【答案】 【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案. 【详解】易知集合，； 因为可得， 又，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含； 满足条件的集合的个数即为求集合的真子集的个数， 所以满足条件的集合个数为个. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【答案】(1)254 (2)证明见解析 【分析】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 【经典例题四 集合间关系的参数求解问题】 1．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，下列命题正确的是 A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．当时， E．存在实数a使得 【答案】AE 【分析】利用集合相等判断A选项错误，由建立不等式组，根据是否有解判断B选项； 时求出B，判断是否可得C错误，分B为空集，非空集两种情况讨论可判断D选项，由D选项判断过程可知E选项正确. 【详解】A选项由相等集合的概念可得解得且，得此方程组无解， 故不存在实数使得集合A=B，因此A正确； B选项由，得即，此不等式组无解，因此B错误； C选项当时，得为空集，不满足，因此C错误； D选项当，即时，，符合；当时，要使，需满足解得，不满足，故这样的实数不存在，则当时不正确，因此D错误； E选项由D选项分析可得存在实数使得，因此E正确. 综上AE选项正确. 故选：AE. 【点睛】本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题. 3．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据包含关系分，，三种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，所以．当，即时，有相同元素，不符合； 当，即时，，，符合； 当，即时，有相同元素，不符合． 综上所述：. 故答案为：. 4．（24-25高一上·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 【经典例题五 集合的交并补基本运算】 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合再取交集即可. 【详解】由，则可以取0，1，2，，由，得，解得，所以. 故选：B 2．（多选题）（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】用列举法表示集合，利用集合的基本运算和元素与集合的关系即可判断选项A，B错误，选项C，D正确. 【详解】由题意得，. A. ，选项A错误. B. ，选项B错误. 由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确. 故选：CD. 3．（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）设集合，，则 . 【答案】 【分析】联立方程求出二次函数图象的交点，即可得出集合A,B的交集. 【详解】由，解得或， 所以， 故答案为： 4．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知全集 (1)求集合； (2)若集合，求. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据，可得，再借助韦恩图即可得解； （2）根据交集和并集的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由， 如图，作出韦恩图， 由图可知； （2）因为， 所以或，. 【点睛】思路点睛：根据集合的运算求集合通常借助于韦恩图来解决问题. 【经典例题六 交并补的的求参相关问题】 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题可得c范围，即可得答案. 【详解】根据，，若， 可得，故的最大值为2， 故选：D. 2．（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 3．（2024高一上·广东佛山·周测）设全集，，，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以=，两个集合相等，所有元素都一样，所以，解得m=3,填3. 4．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5集合24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 元素与集合问题 题型二 常见的集合求参问题 题型三 子集(真子集)的个数计算相关问题 题型四 集合间关系的参数求解问题 题型五 集合的交并补基本运算 题型六 交并补的的求参相关问题 【经典例题一 元素与集合问题】 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ 2．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 3．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 【经典例题二 常见的集合求参问题】 1．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（多选题）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 3．（23-24高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 4．（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 【经典例题三 子集(真子集)的个数计算相关问题】 1．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 3．（2023高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【经典例题四 集合间关系的参数求解问题】 1．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，下列命题正确的是 A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．当时， E．存在实数a使得 3．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 4．（24-25高一上·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【经典例题五 集合的交并补基本运算】 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）设集合，，则 . 4．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知全集 (1)求集合； (2)若集合，求. 【经典例题六 交并补的的求参相关问题】 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024高一上·广东佛山·周测）设全集，，，则实数的值为 ． 4．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$