22.1 二次函数的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1 二次函数的图象与性质 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 3.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 4.对于抛物线，下列说法错误的是(    ) A. 抛物线开口向上 B. 当时， C. 抛物线与轴有两个交点 D. 当时，有最小值 5.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点  (    ) A. B. C. D. 6.如果将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，那么所得的新抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 7.已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 8.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.将函数的图像向下平移个单位后，得到的新函数的解析式为          ． 10.在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的图象的函数解析式是______． 11.将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为______． 12.在同一平面直角坐标系中，作出函数，，的图像，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是          填序号． 13.将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为，且新抛物线经过点，则的值为          ． 14.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式是          ． 15.如图，二次函数的图像的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为          ． 16.抛物线如图所示，则它的解析式是______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： ；  ； ；  ． 18.本小题分 已知抛物线与轴的一个交点为点，与轴的交点为点． 求抛物线的解析式； 求的最值． 19.本小题分 已知正方形的棱长为，它的表面积为，体积为 分别写出与、与之间的函数表达式； 这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 20.本小题分 已知抛物线，其中，，回答下列问题，并说明理由： 抛物线与轴的交点在原点的上方还是原点的下方？ 抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧？ 抛物线的顶点在哪一象限或哪条坐标轴上？ 21.本小题分 已知二次函数． 将化成的形式，并写出顶点坐标； 补全表格信息并在所给的平面直角坐标系中画出函数图像；   当时，直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 直接利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 此题主要考查二次函数图象的几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 【解答】 解：将二次函数的图象向左平移个单位长度，得到：， 再向上平移个单位长度得到：． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：． 二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为，开口向上，开口向下；对称轴为：，最值为据此解答即可． 本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式． 3.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，结合解析式分析，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， A.，抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意；     B. 当时，，故该选项不正确，符合题意；     C.顶点，开口向上，抛物线与轴有两个交点，故该选项正确，不符合题意；         D. 当时，有最小值，故该选项正确，不符合题意； 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，先确定出二次函数图像的对称轴为轴，再根据二次函数图像的对称性解答． 【解答】 解：二次函数的对称轴为轴，图像经过点， 该图像必经过点． 故选A． 6.【答案】  【解析】解：所得的新抛物线的解析式为， 故选：． 根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解答】 解：， 当时，， 抛物线过点， ， 抛物线的开口向上， 且对称轴为， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ， ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故选项不符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故选项符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故选项不符合题意． 故选：． 根据答案中的一次函数和二次函数的图象分析，的符号，根据是否一致即可判断． 本题考查二次函数和一次函数的图象，从图象入手解决这种数形结合题是一种很好的方法． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减，据此法则即可求解． 【解答】 解：函数的图像向下平移个单位， 平移后的新函数的解析式为 ． 故答案为：． 10.【答案】  【解析】解：由“上加下减，左加右减”的平移规律可知，二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 所得抛物线的解析式为：故答案为：． 依据题意，由“上加下减，左加右减”的平移规律即可计算得解． 本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线的表达式为，即． 故答案为：． 先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的三种形式，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】，抛物线的开口最大，  抛物线的开口最小．  故答案为． 13.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键．根据题意设平移后的解析式为，再把点代入，即可得出答案． 【详解】解：抛物线向左平移后所得抛物线的顶点横坐标为， 设平移后的解析式为， 把点代入， 解得． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】 解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移个单位为：，即． 故答案为． 15.【答案】或  【解析】根据抛物线的对称性知，抛物线与轴的两个交点关于直线对称，另一个交点的坐标为， 不等式的解集是或． 故答案为或． 16.【答案】  【解析】解：设二次函数的解析数为， 抛物线经过， ． ． ． 故答案为：． 根据抛物线与轴的交点，先设出抛物线的解析式，再把抛物线与轴的交点代入解析式，求出得结论． 本题主要考查了二次函数，掌握待定系数法确定二次函数解析式是解决本题的关键． 17.【答案】解：开口向上，对称轴是轴，顶点是原点； 开口向下，对称轴是轴，顶点是原点； 开口向上，对称轴是轴，顶点是原点； 开口向下，对称轴是轴，顶点是原点．  【解析】见答案 18.【答案】；   ．  【解析】抛物线与轴的一个交点为点，与轴的交点为点 ， ， ； ，， 当时，取最小值为． 根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可； 将求得的解析式，化成顶点式即可完成解答． 本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键． 19.【答案】解：正方形的棱长为，它的表面积为，体积为， ，； ，是关于的二次函数．  【解析】直接利用立方体的表面积和体积公式分别求出即可； 利用二次函数的定义得出答案． 此题主要考查了立方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． 20.【答案】【小题】 解：交点在原点上方．理由：抛物线与轴的交点坐标为，而，抛物线与轴的交点在原点的上方． 【小题】 右侧．理由：抛物线的对称轴为直线，，，即，异号，，故抛物线的对称轴在轴的右侧． 【小题】 第一象限．理由：，，，， 抛物线的顶点在第一象限．   【解析】 见答案  见答案  见答案 21.【答案】解：； 所以顶点坐标为； 如图所示：  由图象可得：．  【解析】由配方可求解； 列表画出图象； 由图象可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，数形结合是本题的关键． ． 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$