4.1指数5题型分类(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.1指数5题型分类 课程标准 学习目标 ①理解根式和分数指数幂的含义， 并且能进行两者之间的互化。 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简. 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 1、n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2、判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　 题型1：n次方根的概念 1．（2025高一·全国月考）（1）16的平方根为 ，的5次方根为 . （2）已知，则 . （3）若有意义，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据根式的概念性质求解即可. 【解析】（1），的平方根为. 的5次方根为. （2），. （3）要使有意义，则需，即. 因此实数的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）（3） 2．（2025高一·新疆乌鲁木齐月考）已知，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式的定义直接计算即可； 【解析】由根式的计算可得， 故选：B. 3．（2025高一·上海·期中）在实数范围内，的四次方根是 ． 【答案】 【分析】根据指数运算可得解. 【解析】由指数运算可知，， 所以的四次方根是或， 故答案为：. （二） 利用根式的性质化简求值 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　 (3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 题型2：根式化简或求值 4．（2025高一·全国月考）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【解析】由已知，. 故选：C. 5．（2025高一·全国月考）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【解析】（1）原式. （2）原式 （3）原式 6．（2025高一·江苏徐州·期末）化简： （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的定义求值． 【解析】. 故选：A. 7．（2025高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【解析】因为，所以. 故选：B. 8．（2025高一·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【解析】， 故答案为：. 9．（2025高一·宁夏银川月考）若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质即可判断. 【解析】因为，即，所以， 解得. 故答案为： 10．（2025高一·上海月考）当时，化简： . 【答案】x 【分析】利用根式化简计算即可. 【解析】当时，. 故答案为：x （三） 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：和，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． (3)根式与分数指数幂互化的规律 ①根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． ②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 题型3：根式与分数指数幂互化 11．（2025高一·天津月考）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【解析】因为，所以. 故选：D. 12．（25-26高一·全国月考）（1）求值： （2）用分数指数幂表示 【答案】 【分析】根据次方根及分数指数幂运算即可. 【解析】（1）； （2）. 故答案为： 13．（2025高一·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂转化，后用指数幂性质即可. 【解析】原式 故答案为：． 14．（2025高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据根式与指数式的互化即可得解. （2）（3）（4）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； 15．【多选】（2025高一·全国月考）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【解析】对A：，错； 对B：，错； 对C：，对； 对D：，对. 故选：CD 16．（2025高一·湖南株洲月考）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案. 【解析】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误， 故选：A （四） 指数幂的运算 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型4：指数幂的运算 17．（2025高一·天津·期中）计算： . 【答案】 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【解析】. 故答案为： 18．（2025高一·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）原式； （2）原式：． 19．（2025高一·全国月考）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用指数运算性质即可得出. 【解析】（1）原式． （2）原式 ． 20．（2025高一·全国月考）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用指数幂运算律计算求解； 【解析】（1） （2）因为，， 所以 ． （3）因为，， 所以 ． （五） 指数条件求值问题 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 题型5：利用指数运算性质进行条件求值 21．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【解析】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 22．【多选】（25-26高一·全国月考）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【解析】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 23．（25-26高一·全国月考）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以．因为，则，所以，因此． 24．（25-26高一·全国·单元测试）回答下列问题： (1)计算：； (2)已知，求； (3)若，且，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算法则以及根式分数指数幂的互化解答，化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时被开方数非负． 【解析】（1）． （2），所以． （3）当，时，． 25．（2025高一·河北张家口月考）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，即可求解； （2）利用平方关系，根据分数指数幂的运算公式，即可求解. 【解析】（1）. （2）①，所以； ②，且， 所以 26．（2025高一·湖南长沙·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） 1；（2） 【分析】根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可； 【解析】（1） . （2）因为， 所以， 所以， 所以． 一、单选题 1．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）化简的值是（    ） A． B．－ C．± D．－ 【答案】B 【分析】根据根式的运算法则，即可容易求得结果. 【解析】＝ ＝－. 故选：B. 【点睛】本题考查根式的运算，属简单题. 2．（2025高一·全国月考）已知，则m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据根式的定义，即可得答案； 【解析】，， 故选：D. 【点睛】本题考查偶次方根的定义，考查对概念的理解，属于基础题. 3．（2025高一·全国·单元测试）化简得（    ） A．6 B． C．6或 D．6或或 【答案】C 【分析】根据根式的运算法则，即可容易求得结果. 【解析】， 故选：C 【点睛】本题考查根式的化简求值，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 4．（2025高一·河南信阳·期中）计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用根式的运算性质即可得出． 【解析】由可知，∴， 故选：C. 【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力，属于基础题． 5．（2025高一·江西景德镇·期末）（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算法则，直接化简，即可得出结果. 【解析】. 故选：B 6．（2025高一·全国月考）计算 (n∈N*)的结果为（    ） A． B．22n＋5 C．2n2－2n＋6 D． 2n－7 【答案】D 【分析】结合指数的运算公式化简即可求出结果. 【解析】原式， 故选：D. 7．（2025高一·全国月考）已知二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．a＋b B．－(a＋b) C．a－b D．b－a 【答案】D 【分析】由二次函数的图象，根据，得到，再结合根式的运算，即可求解. 【解析】由二次函数的图象，可得， 即，所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及根式的运算，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及根式的运算法则是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 8．（2025高一·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式和分数指数幂的转化关系，判断选项. 【解析】A.，故A错误；B.，故B错误； C.，故C错误；D. ，故D正确. 故选：D 9．（2025高一·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可. 【解析】. 故选：B 10．（2025高三·江西宜春月考）设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，然后利用指数幂的运算逐项计算即可求解. 【解析】因为m，n是方程的两根，则有， 对于A，因为，故选项A错误； 对于B，因为，故选项B正确； 对于C，因为，故选项C错误； 对于D，因为，故选项D错误， 故选：B. 11．（2025高二·黑龙江大庆·期中）在算式中，“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由题意可知“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字为非负整数，且最大的数字小于5，然后分情况讨论可得答案. 【解析】由题意可知“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字为非负整数， 因为，所以“中”代表的数字小于5， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为3，2，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，2，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，0，此时，符合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，1，此时，不合题意， 所以“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，0， 所以“国”字所对应的数字为3. 故选：B 12．（2025高一·全国月考）已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【解析】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题. 13．（2025高一·全国月考）设，则 (　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质，将等式两边平方，进而得到结论. 【解析】将两边平方得 ,所以a＋a－1＝m2＋2， 而 ，即= m2＋2 故选C. 【点睛】本题考查负分数指数幂的运算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键, 考查了推理能力与计算能力，属于基础题 二、多选题 14．（2025高一·全国月考）[多选题]若（），则下列说法中正确的是（    ） A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为x C．当n为偶数时，x的n次方根为 D．当n为偶数时，a的n次方根为 【答案】BD 【分析】根据分数指数幂与根式的转化，分n为奇数，偶数讨论可得解. 【解析】当n为奇数时，a的n此方根只有x； 当n为偶数时，由于，所以a的n次方根有2个，为． 故选：BD 15．（2025高一·山西大同月考）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数运算律计算求解判断各个选项. 【解析】A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，当时，，当时，，错误； D选项，，正确. 故选：AD. 16．（25-26高一·全国·单元测试）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数幂运算法则即可判断． 【解析】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，方法一（由内向外化）． 方法二（由外向内化）．故D正确. 故选:AD. 三、填空题 17．（2025高一·全国月考）若x<0，则|x|－＋＝ . 【答案】1 【分析】根据的范围，结合根式的运算性质，即可求得结果. 【解析】∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1. 故答案为：. 【点睛】本题考查根式的运算，属简单题. 18．（2025高一·全国月考）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则直接求解即可. 【解析】，. 故答案为：. 19．（2025高一·河南郑州·期中） . 【答案】 【分析】将每个被开方数化为完全平方式的形式，从而开方整理得到结果. 【解析】 ， 故答案为 【点睛】本题考查根式的化简求值问题，关键是能够将被开方数化为完全平方数的形式，属于基础题. 20．（2025高一·全国月考）若，则 . 【答案】 【分析】先将题给条件转化为，从而求出即可求解. 【解析】由已知， 又且，即且， . 故答案为：. 21．（2025高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】根据已知条件判断的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 【解析】由已知，即，即， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 22．（2025高一·全国月考）化简 . 【答案】－/ 【分析】根据指数的运算法则化简求解. 【解析】 故答案为： 23．（2025高一·全国月考）化简 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值. 【解析】原式 故答案为：. 24．（2025高一·天津滨海新·期中）若，且，则z的最小值是 . 【答案】 【分析】直接利用均值不等式结合指数运算计算得到答案. 【解析】∵，∴， 当且仅当即，时取等号，即z的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 四、解答题 25．（2025高一·全国月考）设f(x)＝，若0<a≤1，求. 【答案】. 【分析】将代入解析式，根据根式的性质即可求解. 【解析】 ， 因为0<a≤1，所以a≤， 故. 【点睛】本题考查了根式的化简，需掌握根式的性质，属于基础题. 26．（2025高一·全国月考）化简： (1)； (2)已知，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可； （2）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可. 【解析】（1）， 当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述，. （2）， 当是奇数时，原式； 当是偶数时，原式； 综上所述，. 27．（2025高一·上海月考）化简： 【答案】a-2 【分析】根据根式的性质进行运算即可． 【解析】依题意得a-1≥0，即a≥1. 所以原式=a-1+|1-a|+（-a）=a-1-1+a-a=a-2． 【点睛】本题考查了根式的性质，熟知根式的性质是解题的关键． 28．（2025高一·全国月考）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 【答案】(1) (2)3 (3) (4)4 【分析】（1）将可化成的形式，代入数据即可求得结果为； （2）原式可表示为，代入即可求出答案为3； （3）将化简为，代入的值可计算出结果为； （4）化简后可得原式，将的值可得结果是4. 【解析】（1）利用指数运算法则可知， 将代入可得. （2）易知，又， 所以 （3）化简得， 将代入可得 （4）易知 又，所以 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.1指数5题型分类 课程标准 学习目标 ①理解根式和分数指数幂的含义， 并且能进行两者之间的互化。 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简. 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 1、n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2、判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　 题型1：n次方根的概念 1．（2025高一·全国月考）（1）16的平方根为 ，的5次方根为 . （2）已知，则 . （3）若有意义，则实数x的取值范围是 . 2．（2025高一·新疆乌鲁木齐月考）已知，则x的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·上海·期中）在实数范围内，的四次方根是 ． （二） 利用根式的性质化简求值 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　 (3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 题型2：根式化简或求值 4．（2025高一·全国月考）计算：（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国月考）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 6．（2025高一·江苏徐州·期末）化简： （   ） A．1 B． C． D． 7．（2025高一·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 8．（2025高一·上海·期中）化简： ． 9．（2025高一·宁夏银川月考）若，则实数的取值范围为 ． 10．（2025高一·上海月考）当时，化简： . （三） 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：和，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． (3)根式与分数指数幂互化的规律 ①根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． ②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 题型3：根式与分数指数幂互化 11．（2025高一·天津月考）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高一·全国月考）（1）求值： （2）用分数指数幂表示 13．（2025高一·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 14．（2025高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．【多选】（2025高一·全国月考）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一·湖南株洲月考）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． （四） 指数幂的运算 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型4：指数幂的运算 17．（2025高一·天津·期中）计算： . 18．（2025高一·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 19．（2025高一·全国月考）计算下列各式： (1)； (2)． 20．（2025高一·全国月考）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． （五） 指数条件求值问题 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 题型5：利用指数运算性质进行条件求值 21．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 22．【多选】（25-26高一·全国月考）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 23．（25-26高一·全国月考）已知，则 ． 24．（25-26高一·全国·单元测试）回答下列问题： (1)计算：； (2)已知，求； (3)若，且，求代数式的值． 25．（2025高一·河北张家口月考）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 26．（2025高一·湖南长沙·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 一、单选题 1．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）化简的值是（    ） A． B．－ C．± D．－ 2．（2025高一·全国月考）已知，则m等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·单元测试）化简得（    ） A．6 B． C．6或 D．6或或 4．（2025高一·河南信阳·期中）计算等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·江西景德镇·期末）（   ） A．2 B． C． D． 6．（2025高一·全国月考）计算 (n∈N*)的结果为（    ） A． B．22n＋5 C．2n2－2n＋6 D． 2n－7 7．（2025高一·全国月考）已知二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．a＋b B．－(a＋b) C．a－b D．b－a 8．（2025高一·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·江西宜春月考）设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（    ） A． B． C． D． 11．（2025高二·黑龙江大庆·期中）在算式中，“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．（2025高一·全国月考）已知，则的值是 A． B． C． D． 13．（2025高一·全国月考）设，则 (　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 二、多选题 14．（2025高一·全国月考）[多选题]若（），则下列说法中正确的是（    ） A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为x C．当n为偶数时，x的n次方根为 D．当n为偶数时，a的n次方根为 15．（2025高一·山西大同月考）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一·全国·单元测试）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（2025高一·全国月考）若x<0，则|x|－＋＝ . 18．（2025高一·全国月考）若，则 . 19．（2025高一·河南郑州·期中） . 20．（2025高一·全国月考）若，则 . 21．（2025高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 22．（2025高一·全国月考）化简 . 23．（2025高一·全国月考）化简 . 24．（2025高一·天津滨海新·期中）若，且，则z的最小值是 . 四、解答题 25．（2025高一·全国月考）设f(x)＝，若0<a≤1，求. 26．（2025高一·全国月考）化简： (1)； (2)已知，化简. 27．（2025高一·上海月考）化简： 28．（2025高一·全国月考）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$