九年级数学上学期第一次月考（沪教版五四制第24章相似三角形，高效培优·强化卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 B A B B D C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8． 9．/ 10．/ 11．或或（答案不唯一） 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19（10分）．（1）解：， 令， 原式； （2）解：， 令， 故， 解得， 20（10分）．（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．    21（10分）．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22（10分）．（1）解：由图形可得，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图2，的重心G即为所求： ②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M， 此时，， ∴． 23（12分）．（1）证明：∵， ， ， 又是边上中线， ， ， 又， ； （2）证明：，   ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 24（12分）．（1）解：一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，， 令，得，令，得， ，； （2）解：根据题意，有两种情况，如图，分别设为，， ，， ， ， ， 由（1）知，， 又， ，， ， 设， ， 化简得：， 解得：或， 在第一象限，， ， ； 设， ， ， 又，， ， ， 化简得：， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点坐标为或； （3）解：由题意得点应位于点左侧， 当时，如下图所示，设， ， ， 由（2）知， 又，， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 当时，如下图所示，设， ， 又， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 25（14分）．（1）∵， ∴设AB=3k，AC=4k，AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC==2k，CD∥AB， ∵AC⊥CD， ∴AC⊥AB， ∴BC==5k， ∵四边形ABCD的周长为16， ∴5k+5k +3k +3k=16， 解得k=1， ∴AB=3，AC=4，BC=5，OA= 2， ∴cot∠AFD=； （2）∵∥， ∴,， ∵， ∴， ∴△∽△， ∴， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴， 定义域是：. （3）解：点在射线上都能得到：△∽△ ∴， ①当点在边上， ∵，∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当点在的延长线上 ∵，， ∴， 由题意， 得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，△的面积是或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册第二十四章。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，4，8 C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是 ∴它们是相似图形，符合题意； B、两个矩形四个角都是，但对应边的比不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； C、两个菱形角不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； D、两个等腰三角形对应边的比不一定相等， ∴它们不是相似图形； 故选：A． 3．已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型． 【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 4．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 5．下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题考查了向量与实数的运算，向量既有方向性又有大小，解决本题的关键是根据向量的性质进行运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A选项：数与向量的乘积的模等于这个数与向量的模的乘积，，故A选项正确； B选项：数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，，故B选项正确； C选项：，是与的方向相同或相反，，故C选项正确； D选项：向量既有大小，又有方向，若且，则或，故D选项错误． 故选： D． 6．如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中线性质，以及中位线的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．由分别为的中点，分别是、的中点，得到是的中位线，推出，，进而得到，由相似三角形的性质即可判断选项A、B、C，再利用三角形中线性质，即可判断D项． 【详解】解：与是的中线， ，分别是、的中点， ，， ， ， 即， 故选项A错误，不符合题意； ， ， 故选项B错误，不符合题意； ， ， ， 故选项C正确，符合题意； 是的中线， ， 是的中线， 是的中点， 是的中线， ， ， ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质．设，代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴可设 ∴． 故答案为：． 8．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的中线比，”进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的对应边上的中线之比为， 故答案为：． 9．在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 【答案】/ 【分析】根据实际距离图上距离比例尺，列式计算即可． 本题考查了比例尺的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际距离为：． 故答案为：． 10．已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，，计算求解即可． 【详解】， ，则， 又∵已知点是线段的黄金分割点，， ， ， 解得：． 故答案为：． 11．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 12．如图，，，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 13．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 14．如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键． 先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得． 【详解】解：，， ， 点D是边的中点， ， ， 故答案为：． 15．如图，点F是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的重心．熟练掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 根据三角形重心的性质得到，根据平行线性质得到，根据相似三角形性质得到． 【详解】解：∵点F是的重心， ∴点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，正方形的边在的边上，定点、分别在边、上，如果正方形面积为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，综合灵活应用知识是解决问题的关键．由已知条件，可证明，进而利用相似三角形对应边成比例得到，转化为等积式利用正方形面积求解即可． 【详解】解：∵在正方形中， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵正方形面积为 ． 故答案为：18． 17．定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及应用，涉及新定义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂新定义，用含的式子表示和．由点、是边的勾股分割点（线段，，，可得，而，即得，，，，从而可得答案． 【详解】解：点、是边的勾股分割点（线段，，， ， ， ，， ， ， ， 同理， ， ． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，连接，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】利用三角形内角和，以及平角180度，推导出平分，设，则，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】解：根据题意如图所示： 在中，， ，， ， 根据折叠的性质可知， ，， ， ， 平分， 设，则， 如图，过点作于点，于点， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令即可求解． （1）把代入即可求值； （2）把代入求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令， 原式； （2）解：， 令， 故， 解得， 20．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)，见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．    21．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由，推出，得到，即可得到； （2）由，推出，由，推出，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22．已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质； （1）由图形可得，则，代入求值即可； （2）①找到和的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G； ②作点与关于对称，连接与的交点即为点M，，，则． 【详解】（1）解：由图形可得，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图2，的重心G即为所求： ②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M， 此时，， ∴． 23．如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边： （1）先证明得到，再由三角形中线的定义得到，据此可证明结论； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，导角证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 又是边上中线， ， ， 又， ； （2）证明：，   ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 24．如图，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，点的坐标为，点为延长线上一点． (1)求出点，点的坐标； (2)如果，求点坐标； (3)若为轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）在一次函数中，令，求出，即可求得点的坐标；令，求出，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：设，由题意可证得，再根据相似的性质可得，根据两点间距离公式列出等式即可求解；设，由题意可得，根据两点间距离公式列出等式即可求解； （3）分两种情况讨论：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，， 令，得，令，得， ，； （2）解：根据题意，有两种情况，如图，分别设为，， ，， ， ， ， 由（1）知，， 又， ，， ， 设， ， 化简得：， 解得：或， 在第一象限，， ， ； 设， ， ， 又，， ， ， 化简得：， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点坐标为或； （3）解：由题意得点应位于点左侧， 当时，如下图所示，设， ， ， 由（2）知， 又，， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 当时，如下图所示，设， ， 又， ， 化简得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质、两点间的距离公式以及解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 25．在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，． (1)如图1，如果点与点重合，求的余切值； (2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域； (3)如果，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）设AB=3k，AC=4k，利用平行四边形的性质，构造直角三角形，用余切的定义计算即可； （2）利用平行四边形的性质，得到∠EDC=∠DAF，∠CED=∠CDF=∠DFA，从而证明△∽△，用性质证明即可； （3）分点F在AB上和在AB的延长线上，两种情形计算即可． 【详解】（1）∵， ∴设AB=3k，AC=4k，AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC==2k，CD∥AB， ∵AC⊥CD， ∴AC⊥AB， ∴BC==5k， ∵四边形ABCD的周长为16， ∴5k+5k +3k +3k=16， 解得k=1， ∴AB=3，AC=4，BC=5，OA= 2， ∴cot∠AFD=； （2）∵∥， ∴,， ∵， ∴， ∴△∽△， ∴， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴， 定义域是：. （3）解：点在射线上都能得到：△∽△ ∴， ①当点在边上， ∵，∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当点在的延长线上 ∵，， ∴， 由题意， 得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，△的面积是或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用三角形的相似是解题的关键． 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册第二十四章。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，4，8 C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4 2．下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 3．已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 4．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 5．下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则或 6．如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．如果，那么 ． 8．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 9．在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 10．已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 11．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    12．如图，，，，那么的长等于 ． 13．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 14．如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ． 15．如图，点F是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为 ． 16．如图，在中，，正方形的边在的边上，定点、分别在边、上，如果正方形面积为，那么的值为 ． 17．定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为 ． 18．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，连接，如果，那么的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 20．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 21．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 22．已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 23．如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 24．如图，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，点的坐标为，点为延长线上一点． (1)求出点，点的坐标； (2)如果，求点坐标； (3)若为轴上一点，且与相似，求点的坐标． 25．在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，． (1)如图1，如果点与点重合，求的余切值； (2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域； (3)如果，求的面积． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$