专题3.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

专题3.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 判断比例式正误】 2 【题型2 “#”字型】 3 【题型3 “X”字型】 4 【题型4 “A”字型】 5 【题型5 “8”字型】 6 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 7 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 8 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 9 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 11 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 12 知识点 平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 【题型1 判断比例式正误】 【例1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，与相交于点G，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 “#”字型】 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．4.5 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，则为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2-2】如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型3 “X”字型】 【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知直线，直线分别与直线、、交于A、B、C三点，直线分别与直线、、交于D、E、F三点，与交于点O，若，，则的长是 ． 【变式3-3】已知三条互相平行的直线分别截直线l4于点，截直线于点，直线与相交于点O，且，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【题型4 “A”字型】 【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式4-1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在的正方形网格中，、、为格点，连接，交过点的水平格线于点．若小正方形边长为，则 ． 【题型5 “8”字型】 【例5】（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式5-1】如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在平行四边形中，E为的中点，F为上一点，与交于点H，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 【例6】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在等腰中，是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长度为 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 【变式6-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，是的角平分线，E是的中点，连接交于点F，若，，则线段的长为 ． 【变式6-3】如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 【例7】如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【变式7-1】如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在矩形中，，P是边上一点，将沿折叠，若点D的对应点E恰好是的重心，则的长为 ． 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 【例8】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【变式8-1】如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．    【变式8-2】如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，则_______． 【拓展提高】 （3）如图3，点E是边的中点，交于， ，直接写出四边形的面积． 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例9】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·广东清远·二模）如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为 ． 【变式9-3】如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ． 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例10】（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，平分，点E在上，射线交于点F，若，，则的长是 ． 【变式10-1】如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． 【变式10-2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则 ， ． 【变式10-3】如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 判断比例式正误】 2 【题型2 “#”字型】 4 【题型3 “X”字型】 7 【题型4 “A”字型】 9 【题型5 “8”字型】 12 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 16 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 20 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 25 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 31 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 37 知识点 平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 【题型1 判断比例式正误】 【例1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，与相交于点G，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是解答本题的关键，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A．，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，错误，故本选项不符合题意； C．，则，正确，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，通过证明 ，可得，即可求解． 【详解】解：，， ，，，， ，， ， ， ， 故选：. 【变式1-3】如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选项A结论错误，不合题意； 在中，， ， 不一定等于， 不一定正确， 故选项B结论错误，不合题意； 在中，， ， 故选项C结论正确，符合题意； 在中，， ， 故选项D结论错误，不合题意； 故选C． 【题型2 “#”字型】 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵在四边形中，，， ∴， ∴即， 解得． 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，则为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-2】如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到. 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴， ∴； 故选择：B. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，正确识别对应线段是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，找出线段与的比例关系，再通过已知线段长度计算比值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【题型3 “X”字型】 【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据，得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知直线，直线分别与直线、、交于A、B、C三点，直线分别与直线、、交于D、E、F三点，与交于点O，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式3-3】已知三条互相平行的直线分别截直线l4于点，截直线于点，直线与相交于点O，且，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，推出，即可求解； （2）由，推出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 【题型4 “A”字型】 【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线分线段成比例， 先根据平移的性质得，再根据平行线分线段成比例求出，此题可解． 【详解】解：∵将沿着边向右平移得到， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解． 根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出． 【详解】解：∵， ，即， 解得：， 故选：． 【变式4-2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在的正方形网格中，、、为格点，连接，交过点的水平格线于点．若小正方形边长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据勾股定理求出的长，再根据平行线分线段成比例得出等式求出的长即可． 【详解】解：如图所示， 由在网格中的位置，可知， ， 在中，， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【题型5 “8”字型】 【例5】（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 【变式5-1】如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式5-2】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键． 【变式5-3】如图，在平行四边形中，E为的中点，F为上一点，与交于点H，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，构造辅助线证明两个三角形全等是关键；延长交的延长线于点G，由平行四边形的性质及中点条件可证明，得；再由平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B．    【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 【例6】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在等腰中，是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，中位线的性质，解直角三角形；延长至点，使，连接，根据旋转以及等腰直角三角形的性质证明，进而得出，证明是的中位线，解得出，进而根据中位线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ， 为等腰直角三角形，， 又， 旋转得到， ， ， ， ∴ ∴ ∴， 是的中位线， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ∵∥， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：8． 【变式6-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，是的角平分线，E是的中点，连接交于点F，若，，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】先证明，取的中点G，连接，则是的中位线，即，证明是的中位线，最后根据勾股定理计算即可. 【详解】∵E是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，取的中点G，连接， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：10. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形中位线，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式6-3】如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【答案】B 【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论． 【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G， ∴NM∥AG， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴AG＝PG， ∵M是DE的中点， ∴DM＝ME＝DE， ∵NM∥AG，AN＝DN， ∴＝＝， ∴NM＝AG＝PG， ∵DM＝ME， ∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解． 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 【例7】如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 【变式7-1】如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出．设，则．再根据重心的定义与性质以及直角三角形的性质得出，，然后利用平行线分线段成比例定理得出，进而求出．本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中． 【详解】解：∵，， ∴． 设，则． ∵点为的重心，， 连接并延长交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-2】如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心是解题的关键． 【变式7-3】如图，在矩形中，，P是边上一点，将沿折叠，若点D的对应点E恰好是的重心，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长交于F，在的延长线上取一点H，使，连接，，，连接并延长交于点T，连接，由折叠的性质得P，，根据点E是的重心，得是边上的中线，是边上的中线，则，，先证四边形是平行四边形得，进而得是的中位线，则，进而得，在中，由勾股定理得，再判定，得，进而得，据此可得出答案． 【详解】解：延长交于F，在的延长线上取一点H，使，连接，，，连接并延长交于点T，连接，如下图所示： ∵四边形为矩形，， ∴，，， 由折叠的性质得：，，， ∵点E是的重心， ∴是边上的中线，是边上的中线， 即，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 【例8】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 【变式8-1】如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．    【答案】9 【分析】由可得从而可得再由可得结果． 【详解】解:∵, ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【变式8-2】如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论． （2）由，推出，可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键． 【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，则_______． 【拓展提高】 （3）如图3，点E是边的中点，交于， ，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识，理解题意，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可； （2）连接交于点，则点为的中点，点为的中点．根据（1）问可得．同理可得,由点为的中点得到，即可证明结论成立； （3）过点E作交于G，由（1）同理得出，确定，同理确定，，，，，结合图形利用即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 是的中点 ． 又 （2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点． 为的中点，根据（1）问可得 ． 同理可得 点为的中点 ， ． （3）过点E作交于G， 同理得：， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ，， 同理得：，， ∴，， ， ， ， ∵， ， ． ． 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例9】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了矩形的性质，平行线线段成比例定理，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 过点O作于点H，由平行线线段成比例定理证明是的中位线得，，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点H，如图所示： 四边形是矩形，，， ，， ， ， ， ∴ 又， ∴， ∴， 是的中位线， ，， 点E为延长线上一点，且， ， 在中，由勾股定理得： 故选：A． 【变式9-1】（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理等，延长交于点，过点作于点，可得，，，即得，然后求得，，再由平行线等分线段定理和可得，最后利用勾股定理求得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， 则， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∵是的中线，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：． 【变式9-2】（2025·广东清远·二模）如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握平移的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 过点作，交于点，由等边三角形的性质和含角的直角三角形，可得，，继而可求出，即，再由判定是等边三角形，进而求出，再根据中线的性质得出，进而根据两个三角形重叠部分面积为得出结果． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵是边长为4的等边上的高， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边上的高， ∴，， ∴， , 又∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴，同理， ∴两个三角形重叠部分面积为， 故答案为：． 【变式9-3】如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．过点E作交的延长线于点M，先证明，再求出，根据点为的三等分点，可得，再利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】如解图①，过点E作交的延长线于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∵F是的三等分点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为． 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例10】（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，平分，点E在上，射线交于点F，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，作交于，由等腰三角形的性质可得，证明得出，再由平行线分线段成比例定理可得，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于， ， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． 【答案】8:5 【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到，则CE=DF，由DF∥AE得到，则AE=4DF，然后计算的值． 【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图， ∵DF∥CE， ∴， 而BD：DC=2：3， ∴，则CE=DF， ∵DF∥AE， ∴， ∵AG：GD=4：1， ∴，则AE=4DF， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【变式10-2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，利用平行线截线段成比例定理和角平线可得到，设，则，利用全等三角形的判定与性质得到，进而求得，最后利用角平分线的性质定理解答即可得出结论． 【详解】解：过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，如图， ，，， 是的平分线， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的垂直平分线， ， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式10-3】如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点，通过构造平行线，灵活运用和这条中线，逐步求解即可． 【详解】如图，过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点， ∴为的中位线， ∴点P为的中点， ∵，且， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线段分为两部分是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$