16.3.1 平方差公式（教学课件）数学人教版2024八年级上册

16.3.1 平方差公式 第十六章 整式的乘法 人教版八年级上册 学习目标 理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，能利用平方差公式进行简单的计算和推理. 一 在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 问题1 多项式乘法的特殊化——以(a+b)(p+q)为例： (a+b)(p+q) (a+b)(a+q) 一项相同 一项相反 (a+b)(p−b) 一项相同 一项相反 (a+b)(a−b) 两项相同 (a+b)(a+b) (a+b)(−a−b) 两项相反 复习引入 问题2 如何计算多项式乘以多项式？ 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 合作探究 探究　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）（x+1) ( x−1） = ； （2）（m+2)( m−2）= ； （3）（2x+1)(2x−1）= . 答 都是形如a+b的多项式与形如a−b的多项式相乘. x2−1 m2−4 4x2−1 追问1　三个等式的左侧有什么共同特征？ 追问2　三个等式的右侧有什么共同特征？ 答 都是相同项的平方(a2)减去相反项的平方(b2). 你能用符号语言描述这个规律吗？ (a+b)(a−b)=a2−b2. 合作探究 证明 (a+b)(a−b) =a2−ab+ab−b2 =a2−b2 . 问题3 你能证明(a+b)(a−b)=a2−b2吗？ 多项式乘以多项式 合并同类项 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个 数(式子)的平方差． 你能用文字语言描述这个规律吗？ 合作探究 （乘法的）平 方 差 公 式 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差． (a+b)(a−b)=a2−b2. 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？ a+b a−b 红色区域的面积 (a+b)(a−b) 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？ a b 红色区域的面积 (a+b)(a−b) (a+b)(a−b)=a2−b2. a2−b2 典例分析 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)( 3x−2 ) ； (2)（−x+2y)(−x−2y). ( 3x + 2 )( 3x − 2 )=( )2−( )2. ( a + b )( a − b )= a 2 − b 2 . 3x 2 典例分析 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)( 3x−2 ) ； (2)（−x+2y)(−x−2y). ( −x + 2y )( −x − 2y )=( )2−( )2. ( a + b )( a − b )= a 2 − b 2 . −x 2y 典例分析 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)( 3x−2 ) ； (2)（−x+2y)(−x−2y). 解 (1)原式=(3x)2−22 =9x2−4； (2)原式=(−x)2 − (2y)2 =x2 − 4y2. 典例分析 解 (1)原式=(x2−1)(x2+1) =x4−1 ； (2)原式=y2−22−(y2+4y−5)=y2−4−y2−4y+5=−4y+1 ； (3)原式=(100+2)(100−2)=1002−22=10 000−4=9 996 . 例2 计算： (1) (x−1)(x+1)(x2+1) ； (2) (y+2)(y−2)−(y−1)(y+5) ； (3) 102×98. 典例分析 方法总结 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项相反； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式． 巩固练习 1. 口答： （1） (−a+b)(a+b) =_________. （2） (a−b) (b+a) =_________. （3） (−a−b)(−a+b)=_________. （4） (a−b) (−a−b) =_________. a2−b2 a2−b2 b2−a2 b2−a2 巩固练习 2. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (x+2)(x−2)=x2−2； (2) (−a−2)(a−2)=a2−4； (3) (x+2y)(−x−2y)=x2−4y2； (4) (3a+4b)(3a−4b)=9a2−4b2. 不正确 不正确 不正确 原式=x2−4 原式=4−a2 原式=−x2−4xy−4y2 不正确 原式=9a2−16b2 3. 计算： (1) (a+3b)(a−3b) ； (2) (3+2a)(−3+2a) ； (3) (xy+1)(x2y2+1)(xy−1) ； (4) (3x+4)(3x−4)−(2x+3)(3x−2). 巩固练习 解 （1）原式=(a)2 − (3b)2=a2 − 9b2. （2）原式=(2a)2 − (3)2=4a2 − 9. 巩固练习 （3）原式=(xy+1)(xy−1)(x2y2+1) =(x2y2−1)(x2y2+1) =x4y4−1. 3. 计算： (1) (a+3b)(a−3b) ； (2) (3+2a)(−3+2a) ； (3) (xy+1)(x2y2+1)(xy−1) ； (4) (3x+4)(3x−4)−(2x+3)(3x−2). 乘法交换律 多次使用平方差公式 巩固练习 （4）原式=(9x2−16)−(6x2−4x+9x−6) =9x2−16−6x2+4x−9x+6 =3x2−5x−10. 3. 计算： (1) (a+3b)(a−3b) ； (2) (3+2a)(−3+2a) ； (3) (xy+1)(x2y2+1)(xy−1) ； (4) (3x+4)(3x−4)−(2x+3)(3x−2). 此处需要添括号 解 （1）原式=(50+1)(50−1) =502 − 12 =2 500 − 1 =2 499. 4. 运用平方差公式计算： (1) 51×49 ； (2) 200×199 . 巩固练习 两数之和乘以两数之差 （2）原式=(200+)(200−) =2002 −( )2 =40 000 − =39 999. 4. 运用平方差公式计算： (1) 51×49 ； (2) 200×199 . 巩固练习 两数之和乘以两数之差 归纳总结 整式的乘法公式——平方差公式 符号语言 (a+b)(a−b)= . 文字语言 两个数(式子)的 与这两个数(式子)的 的 ，等于这两个数(式子)的 ． 注意事项 公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． a2−b2 和 差 平方差 积 数字 单项式 多项式 感受中考 1.(2025·黑龙江)下列运算正确的是( ) A. a4·a3=a6 B. 2a+3b=6ab C.(−2a2b3)3 =−8a6b9 D.(−a+b)(a+b)=a2−b2 C 感受中考 2.(2022·内蒙古赤峰)已知(x+2)(x−2)−2x=1，则2x2−4x+3 的值为( ) A. 13 B.8 C.−3 D.5 A 感受中考 3.(2025·甘肃兰州)计算:(a+2)(a−2)+a(3−a). 解 原式=a2−4+3a−a2 =3a−4. 小结梳理 单项式÷单项式 幂的运算性质 am · an =am+n (am)n =amn (ab)n =anbn 整式的乘法 整式的除法 am ÷ an =am-n 互逆运算 多项式÷单项式 基 础 基 础 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式 互逆运算 特殊 乘法公式 平方差公式 ？ 布置作业 必做题：习题16.3 第1题. 1 探究性作业：习题16.3 第8题. 2 人教版八年级上册 谢谢观看！ $$