专题：勾股定理的应用（六大类型）暑假练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理

勾股定理的应用（六大类型） 1．梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 在中，先利用勾股定理求出，再结合题意求出，然后在中利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，， ． 2．某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由． 【答案】够长，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 连接，根据勾股定理求出的长并与云梯的长度比较大小即可得出结论． 【详解】解：云梯够长．理由如下： 如图，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， ， 云梯够长． 3．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 4．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 5．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)此时物体C升高了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 6．风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【答案】(1)米 (2)风筝上升了米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 7．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中，，，， ， ． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 8．勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？ 【答案】0.4米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论． 【详解】解在中，， 在中，， ． 答：梯子底端向外移了0.4米 9．我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理得到，，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，在中，，， 则， 在中，，，则． ∴． 10．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 【答案】2.2米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．先在中，根据勾股定理求出梯子的长度，然后在中根据勾股定理求出的长，进而可求解． 【详解】解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 11．如图，一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到行线的距离是． (1)若轮船的速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需要的时间； (2)C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1)3小时 (2)C岛在A岛的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、方向角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得：，，，，利用勾股定理计算得出，再根据时间路程速度计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出，结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵轮船的速度为， ∴轮船从C岛沿返回A港所需要的时间为（小时）； （2）解：∵， ∴， ∵一搜轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛， ∴， 故C岛在A岛的北偏西． 12．如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间，分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 13．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得． 在中， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 14．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．    (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】(1)32；24 (2)“海天”号沿西北方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可； （2）先计算出的长，再证明得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，海里， 海里； （2）解：由题意得，海里， 海里； ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴“海天”号沿西北方向航行． 15．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键． 计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再求乙船的航速． 【详解】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 16．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里）， ∵两船相距26海里， ∴（海里）， ∵，， 故， 是直角三角形， ， ∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 17．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1)此时游轮距离岸边还有米 (2)工作人员手中的绳子被收上来米 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； （2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 18．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)乙船沿南偏东方向航行，理由见解析 (2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形进行解答． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）作于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：（海里）， （海里）， 在中， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴乙船沿南偏东方向航行； （2）过点C作于D， 由题知，则（海里）， ∴海里， ∴（海里）， （海里）， ∴他能在14分钟内到海岸线． 19．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 20．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 21．中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：） (1)直接写出的值； (2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？ (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式． 【答案】(1)5 (2)900 (3) 【分析】（1）根据点在抛物线上易求得c； （2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱； （3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，可得到点E，G的坐标，即可求解． 【详解】（1）解∶∵抛物线的解析式为且过顶点， ∴； （2）解∶由（1）得：OC=5，抛物线解析式为， 令y=0，则， 解得：， ∴地毯的总长度为：， ∴元， 答：购买地毯需900元； （3）解∶设点G的坐标为，其中a＞0， 根据题意得：， ∵矩形EFGH的周长为27.5m， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入， ∴点G的坐标为（5，3.75），点E的坐标为（-5，0）， 设直线EG的解析式为， 把（-5，0），（5，3.75）代入得： ， 解得：， ∴斜面EG在这个坐标系中的解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 23．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪（点A）的正前方处（点C），过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．问这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理求出，然后求出汽车的速度即可作出判断． 【详解】这辆小汽车超速了． 在中，． 由勾股定理得， ， 小汽车在城市道路上行驶速度不得超过， ∴这辆小汽车超速了． 24．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 25．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 26．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 27．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 28．某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【分析】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 29．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速． 【详解】解：根据题意：∠ACB= 90° 由勾股定理可得： BC=米 40米= 0.04千米， 2秒=小时； 0.04÷= 72千米/时> 70千米/时； 所以超速了． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可． 30．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 31．去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 32．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 33．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 34．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】(1) (2)会受到影响，时长4分钟 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，读懂题意，根据勾股定理知识解题是做题的关键； （1）过点C作于D，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等面积法求解即可； （2）当时，正好影响C学校，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质求出，再根据速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于D， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 答：点C到路段的距离是； （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在及以内的会受到音乐的影响，学校到的最小距离为， ∴学校会受到影响， 当时，正好影响C学校， ， ，， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． 35．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由 (2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)岛屿是否会受到台风的影响；理由见解析 (2)台风中心的移动速度为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，利用勾股定理得可求出和，由，可知会受影响； （2）以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风影响岛屿的时长，即可求出台风移动的速度． 【详解】（1）解：岛屿是否会受到台风的影响；理由如下， 过点C作于点D， 由勾股定理得：， ∴， 解得，∴，， ∵， ∴岛屿是否会受到台风的影响； （2）解：以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风中心的移动速度为． 36．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 37．如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 【答案】沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，把“立体图形”转化为“平面图形”，然后根据勾股定理计算解答． 【详解】解：蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展成平面图形如下： 如图1，在中， ． 如图2，在中， ． 如图3，在中， ． ∵， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为． 38．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B与点C之间的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求该蚂蚁需要爬行的最短路程． 【答案】5 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图①． 长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1， ． ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图②． 长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1， ． ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图③． 长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1， ． ∴蚂蚁爬行的最短路程为5． 39．某单位大门口有个圆形柱子，已知柱子的直径为，高为，为庆祝国庆节，单位想在柱子上挂一根彩带．（以下计算规定）当彩带从点开始绕柱子1圈后，挂在点的正上方的点处，求彩带最短需要多少米？ 【答案】彩带最短需要米 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：如图，在直角中，， ∵柱子的直径为，高为 ∴ ，   ∴．     答：彩带最短需要米． 40．如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 自至在长方体表面的连线距离最短是． 41．如图，一个无盖的长方体盒子放置在桌面上，，．一只蚂蚁从点出发，沿盒子外表面爬到点，这只蚂蚁爬行的最短路线是多少厘米？ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练的在平面内构建直角三角形是解本题的关键．将长方体盒子的前面和右面展开，构建直角三角形，利用勾股定理求解，即可得到答案． 【详解】解：因为这是一个无盖的长方体盒子放置在桌面上，根据“两点之间，线段最短”可知，这只蚂蚁只有1条路线可选： 将长方体盒子的前面和右面展开，如图所示，连接，则此时蚂蚁爬行的最短路线为． ，， ． 易知， 在中，由勾股定理，得． 这只蚂蚁爬行的最短路线是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 勾股定理的应用（六大类型） 题型一：梯子下滑问题 1．梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 2．某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由． 3．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 4．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 5．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 6．风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 7．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 8．勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？ 9．我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 10．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 题型二：航海问题 11．如图，一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到行线的距离是． (1)若轮船的速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需要的时间； (2)C岛在A岛的什么方向？ 12．如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 13．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 14．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．    (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 15．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 16．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 17．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 18．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：） 题型三：台阶地毯问题 19．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 20．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 21．中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：） (1)直接写出的值； (2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？ (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式． 题型四：汽车超速问题 22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 23．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪（点A）的正前方处（点C），过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．问这辆小汽车超速了吗？ 24．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 25．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 26．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 27．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 28．某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    29．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 题型五：台风问题 30．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 31．去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 32．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 33．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 34．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 35．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由 (2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度． 题型六：最短路径问题 36．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 37．如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 38．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B与点C之间的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求该蚂蚁需要爬行的最短路程． 39．某单位大门口有个圆形柱子，已知柱子的直径为，高为，为庆祝国庆节，单位想在柱子上挂一根彩带．（以下计算规定）当彩带从点开始绕柱子1圈后，挂在点的正上方的点处，求彩带最短需要多少米？ 40．如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 41．如图，一个无盖的长方体盒子放置在桌面上，，．一只蚂蚁从点出发，沿盒子外表面爬到点，这只蚂蚁爬行的最短路线是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$