专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·河北衡水·模拟检测）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． （2025·福建泉州·一模）如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和已知即可得出，由内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）设，由三角形外角的性质可得，进而表示出．根据角平分线和角的和差关系转化即可得出； （3）过点作，连接，，，利用平行线和等底等高三角形面积相等求出，再利用三角形面积比求出边长或高之比，从而得出，由此即可解题. 本题考查了平行线判定、三角形外角的性质和角平分线定义、三角形的中线性质，平行线间的距离相等等知识点，解题关键是通过平行线进行三角形等积变换. 【详解】（1）解：∵恰好是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）设， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ （3）过点作，连接，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵是的中线，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，v ∴， ∴ （2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵是的角平分线，且，，∴，故答案为：； （2）证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线，∴． ∴，，∴； 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别、，则的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义及平行线的性质，得出，，据此得出，，进而得出的周长为，据此可解决问题． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． 同理可得，， ， 的周长为． 与的周长分别、， ， 即． 故选：D． 例2（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，垂足为D．是的角平分线，分别交于点P．E．其中正确的结论的个数为（    ） ①；②是等边三角形；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，根据直角三角形两锐角互余求出，，求出，根据三角形外角的性质求出，再逐个判断即可 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误， 故选：C 例3（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 例4（24-25八年级上·陕西渭南·期中）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．若为的角平分线． (1)如图，已知，求证：； (2)如图，已知，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的性质及直角三角形的性质得出，得出，则可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，证明，利用角平分线的性质定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 例5（24-25八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是；任务2：见解析；任务3：或 【分析】任务1：推出，,从而得出结论; 任务2：可计算得出，得出是等腰三角形，再结合，从而得出结论； 任务3：当是等腰三角形时，分为：三种情形讨论即可； 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论． 【详解】解：任务1：是 ∵ 和是等角三角形； 任务2： 在中，， 则， 为角平分线， ， ， 则， ，， ， 则， ，，，， 为的等角分割线． 任务3： ①当时，如图1， ， 是的等角分割线， ， ②当时，如图2， ， 是的等角分割线， ， 则， ③当时，， 则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F，点O是内心，． 故选：D． 例2（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E；则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 例3（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 例4（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ；______②    ，___③ 是的角平分线______ ④  ；， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 【答案】(1)见解析(2)；；；；成比例 【详解】（1）解：所作图形，如图所示，    （2）证明：是的角平分线， ，，， ，，是的角平分线，， ，，． ∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例． 故答案为：；；；；成比例． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出解答． （1）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （2）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （3）作N关于的对称点，根据轴对称的最短路径解答即可． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，、 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作N关于的对称点， 由（2）可知，在上，， 当共线时，最小， 当时，最小， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故的最小值为4． 1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设与的交点为H，过点A作，交于点O，根据平行四边形的性质可得，，，即可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得，，即可求得，，即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为H，过点A作，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质、等腰三角形判定、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质与判定和等腰三角形判定是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，分别是和的角平分线，过点的直线，交，于，．若，则（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线性质、平行线性质．由角平分线的定义得，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后由等角对等边，即可求解． 【详解】解：、的平分线相交于点， ，， ∵， ，， ，， ，， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（  ）    A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质、等腰三角形的判定可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断． 【详解】解：是中线得到， ，故①正确； ，是高， ∴， ， 是角平分线， ， ，， ， ，故②正确； ，， ， 而， ，故③正确． 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 4．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，O是三条角平分线的交点，过点O作交于点D，交于点E，若，，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，先证明，同理可得，利用等量代换进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：10． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，．垂足为D，是的角平分线分别交，于点P，E．则下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号）①；②是等边三角形；③；④．    【答案】①②④ 【分析】①利用角平分线和互余关系，得到，即可得证；②利用互余关系，得到，利用外角的性质，得到，即可得证；③根据的直角三角形的性质，得到，得到；④利用等角对等边和的直角三角形的性质，即可得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵垂足为D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；故②正确； 在中，， ∴， ∴；故③错误； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，以及三个角是的三角形是等边三角形，是解题的关键． 6．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线和高线的定义，三角形的内角和定理； （1）根据角平分线得到，根据高线得到，然后等量代换解题即可； （2）先得到，然后根据，求出的度数，利用三角形的外角解答即可． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴， 又∵是的高线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，，且相交于点． (1)证明：； (2)如图2，连接，当时，在的延长线上取点，使，连接，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，当，且时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形内角和外角的性质是解题关键． （1）根据对顶角相等和三角形内角和定理，即可证明结论； （2）由已知条件可得，，再利用三角形外角的性质，得到，然后由三角形内角和定理，求得，即可求出的度数； （3）由题意得出，进而得到，再根据，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 和为等高三角形， ， ． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换 (2)证明见解析 (3)9 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明； （3）利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，可得，连接，设，利用上述的结论和方法，列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）， ∴（垂直的定义）． 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接，    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 9．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：    【习题回顾】： (1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：； 【变式思考】： (2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先求解，结合角平分线可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ． （2），， ， 为的角平分线， ， 为边上的高， ， ， 又，， ． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，、是、的平分线；    (1)填写下面的表格 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图2，的高、交于O点，试说明图中与的关系． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义进行计算即可； （2）由（1）中的求法，进行计算即可； （3）根据四边形的内角和以及平角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∵、是、的平分线， ∴，， 在中， ； 当时， ； 当时，即， 解得； 故答案为：，，； 补充表格如下： 的度数 的度数 （2）解：，理由如下： ∵、是、的平分线， ∴，， 在中， ； （3）解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵、是的高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形高线，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形内角和为． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（___________）， ∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； (2)见解析； (3)①；②． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明； （3）①利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，然后根据即可求解；②连接，设，然后用含x的式子分别表示出、和，再根据列式求出x即可． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理）， ∴， ∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②连接，    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴四边形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 12．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①3；②21 【分析】本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、三角形的外角性质，得到是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题； （3）①根据，，，可以求出、，结合图形计算即可； ②连接，设，根据三角形的面积公式列出方程，求出，把代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， （2）证明：平分， ， ，， 而， ； （3）①，，， ，， ； ②如图，连接， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 解得， 四边形的面积， 故答案为：21． 13．（24-25八年级上·河北邢台·期末）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的思路是：将沿折叠，点刚好落在边上的点处．请你根据小明的思路直接写出_________． 【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】如图3，在四边形中，平分，，． ①求证：； ②若，则的长为_____________． 【答案】感悟：9；探究：，见解析；拓展：①见解析；②18 【分析】感悟：根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； 探究：在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； 拓展：在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证； 由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】感悟：解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； 探究：解：， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展：解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)1或7 (3) 【分析】（1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； （3）首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； （3），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． 15．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图①，在中，，的平分线交于点．过点的直线平行于，分别与，交于点，． (1)求证：． (2)将“的平分线”改为“的外角平分线”，如图②所示． ①试推断，，存在怎样的数量关系，并证明你的结论． ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质证明等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质证明和是等腰三角形，从而得到，然后利用线段的和差关系以及等量关系解答即可； （2）①根据角平分线的定义和平行线的性质证明和是等腰三角形，从而得到，然后利用线段的和差关系以及等量关系解答即可； ②根据①求出的关系代数求值即可． 【详解】（1）证明：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 如图， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， 由①知， ． 16．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】 （1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，等腰三角形等边对等角，等角对等边． （1）根据题意补全图形，根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中得出的结论，代入数据进行计算即可； （3）在上截取，通过证明，得出，再求证，得出，结合（1）中的结论，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）补全图形如图所示： 又 与的数量关系为， 故答案为：，，； （2）由（1）可得：， ∵． ∴， 解得：； （3）在上截取， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， 解得：． 17．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，中，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质，整体思想的利用和有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． （2）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长． 【详解】（1）解： ，， ． 与的角平分线相交于点， ，． ． ， ． （2）解：平分， ． ， ． ． ． 同理． 的周长 ． 答：的周长为． 18．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，． (1)如图1，与，之间的关系为 　　． (2)如图2，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作交于点，交于点．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出与，之间的正确关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，与，之间的正确关系是，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换以及线段的和差关系，即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换以及线段的和差关系，即可解答． 【详解】（1）解：（1）， 理由：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论不成立，与，之间的正确关系是， 理由：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 19．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）图见解析，；（2），理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而计算可得结论； （2）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论． 【详解】解：（1）将沿折叠，点C落在边上的点处，如图， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 证明：把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处． ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即． 20．（23-24八年级上·天津·期中）已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；    ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．    【答案】①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点， ①根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，，，根据等腰三角形的判定，即可得出与、间的关系； ②根据，和角平分线定义，可以证明出和，即可求的周长； ③证明出和是等腰三角形，利用几个等腰三角形的性质以及线段的和差关系，即可得出与、的关系； 进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 【详解】①证明：∵， ∴，， ∵、的平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即； ②解：∵、的平分线相交于点， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长：， 即的周长为； ③解：．理由如下： ∵， ∴，， ∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·河北衡水·模拟检测）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． （2025·福建泉州·一模）如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． （2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别、，则的长为(　　) A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，在中，垂足为D．是的角平分线，分别交于点P．E．其中正确的结论的个数为（    ） ①；②是等边三角形；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 例4（24-25八年级上·陕西渭南·期中）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．若为的角平分线． (1)如图，已知，求证：； (2)如图，已知，求证：． 例5（24-25八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 例2（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 例3（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 例4（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F．求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线， ______① ， ；______②    ，___③ 是的角平分线______ ④  ；， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 例5（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，分别是和的角平分线，过点的直线，交，于，．若，则（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（  ）    A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 4．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，O是三条角平分线的交点，过点O作交于点D，交于点E，若，，则的周长为 ． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，．垂足为D，是的角平分线分别交，于点P，E．则下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号）①；②是等边三角形；③；④．    6．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请说明； (2)若，求的度数． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，，且相交于点． (1)证明：； (2)如图2，连接，当时，在的延长线上取点，使，连接，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，当，且时，求的面积． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 9．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：    【习题回顾】： (1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：； 【变式思考】： (2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，、是、的平分线；    (1)填写下面的表格 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图2，的高、交于O点，试说明图中与的关系． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（___________）， ∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 12．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 13．（24-25八年级上·河北邢台·期末）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的思路是：将沿折叠，点刚好落在边上的点处．请你根据小明的思路直接写出_________． 【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】如图3，在四边形中，平分，，． ①求证：； ②若，则的长为_____________． 14．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 15．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图①，在中，，的平分线交于点．过点的直线平行于，分别与，交于点，． (1)求证：． (2)将“的平分线”改为“的外角平分线”，如图②所示． ①试推断，，存在怎样的数量关系，并证明你的结论． ②若，求的值． 16．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】 （1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 17．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，中，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，，求的周长． 18．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，． (1)如图1，与，之间的关系为 　　． (2)如图2，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作交于点，交于点．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出与，之间的正确关系，并说明理由． 19．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 20．（23-24八年级上·天津·期中）已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；    ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．    16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$