第二十五章 概率初步 单元过关检测卷2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十五章 概率初步 单元过关检测卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是确定事件的是(    ) A. 打雷后会下雨 B. 明天是晴天 C. 小时等于分钟 D. 下雨后有彩虹 2.在不透明的布袋中装有个红球、个白球、个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是(    ) A. B. C. D. 3.在一副洗好的扑克牌中随意抽取一张，抽到“大王”的可能性与抽到“红桃”的可能性相比，(    ) A. 抽到“大王”的可能性大 B. 抽到“红桃”的可能性大 C. 两种一样大 D. 无法确定 4.任意转动如图所示的转盘，指针(    ) A. 一定停在灰色区域 B. 很有可能停在灰色区域 C. 偶尔停在灰色区域 D. 不可能停在灰色区域 5.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球已知袋中有个红球，个白球，且从袋中随机摸出个红球的概率是，则袋中黑球的个数为(    ) A. B. C. D. 6.在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有个红球若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为(    ) A. B. C. D. 7.如图，转盘被划分成个相同的小扇形，并分别标上数字，，，，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点的坐标第一次作横坐标，第二次作纵坐标，指针如果指向分界线上，认为指向左侧扇形的数字，则点落在直线下方的概率为  (    ) A. B. C. D. 8.有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，那么一次打开锁的概率是(    ) A. B. C. D. 9.为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成，，，四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜如图所示，每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是 A. B. C. D. 10.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后轮次中不能使用则三轮比赛后，甲能得分的概率是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.甲、乙、丙三人各自随机选择到、两个献血站进行爱心献血，则这三人在同一个献血站献血的概率为          ． 12.在一个不透明的口袋中，装有个红球、个白球和个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为          ． 13.“一个不透明的袋子共装有个小球，它们的标号分别为，，，从中摸出个小球，标号为”，这个事件是          填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件” 14.从，，，四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则关于的一元二次方程没有实数根的概率为          ． 15.看了田忌赛马的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为，，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为          ．   下等马 中等马 上等马 齐王 田忌 16.如图，在的方格中，点，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是          ． 17.定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数，则称这列数为等差数列．如图是一个表格，其每一横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意抽取一个数字抽后放回，连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为______． 18.如图，小英同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走游戏规定一进入迷宫只许前进不许后退，可转弯，则小英不回头便能走出迷宫的概率是           ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 小明和小亮两位同学做投掷骰子试验，他们共做了次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率； 小明说：“根据试验，一次试验中出现点朝上的概率最大．”小亮说：“如果投掷次，那么出现点朝上的次数正好是次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ 小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于的概率． 20.本小题分 如图，小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯，客厅，走廊三盏电灯在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开但因刚搬进新房不久，小晗不熟悉电灯开关的情况． 若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？ 若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用画树状图法加以说明． 21.本小题分 在张相同的小纸条上，分别写有：；；；乘法；加法．将这张小纸条做成支签，、、放在不透明的盒子中搅匀，、放在不透明的盒子中搅匀． 从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是          ； 先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签．求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率． 22.本小题分 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的个红球及编号为的个黄球的袋子中，随机摸出个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入个红球或黄球它们的大小质地与袋中的个球完全相同，然后从中随机摸出个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份现已知某顾客获得抽奖机会． 求该顾客首次摸球中奖的概率； 假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由． 23.本小题分有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字，，；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字，，的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． 请用列表或画树状图的方法选其中一种表示出所有可能出现的结果； 若得到的两数字之和是的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 24.本小题分某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级中随机抽取了名学生分成甲、乙两组，每组各人，进行“网络安全”现场知识竞赛把甲、乙两组的成绩单位：分进行整理分析满分分，其中为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般收集整理的数据制成如下统计表和如图所示的统计图． 平均数分 中位数分 众数分 甲组 乙组   根据以上信息解答下列问题： 填空：           ，           ，           ； 已知该校九年级有名学生，估计九年级网络安全意识非常强的人数； 现在准备从甲、乙两组满分的学生中抽取两名学生参加校际比赛，求抽取的两名学生恰好一人来自甲组、另一人来自乙组的概率． 25.本小题分 某商场进行促销，购物满额即可获得次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． 若小明获得次抽奖机会，小明中奖是______事件．填随机、必然、不可能 小明观察一段时间后发现，平均每个人中会有人抽中一等奖，人抽中二等奖，若袋中共有个球，请你估算袋中白球的数量； 在的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 26.本小题分 【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪如图中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．   【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】如图，在该草坪中心位置设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率_______．   如图，在该草坪内设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置；，以此类推，如图，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置与中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． 如图所示，该公司设计了用个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率已知，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？直接写出结果即可 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步 单元过关检测卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是确定事件的是(    ) A. 打雷后会下雨 B. 明天是晴天 C. 小时等于分钟 D. 下雨后有彩虹 【答案】C  【解析】略 2.在不透明的布袋中装有个红球、个白球、个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 3.在一副洗好的扑克牌中随意抽取一张，抽到“大王”的可能性与抽到“红桃”的可能性相比，(    ) A. 抽到“大王”的可能性大 B. 抽到“红桃”的可能性大 C. 两种一样大 D. 无法确定 【答案】C  【解析】略 4.任意转动如图所示的转盘，指针(    ) A. 一定停在灰色区域 B. 很有可能停在灰色区域 C. 偶尔停在灰色区域 D. 不可能停在灰色区域 【答案】B  【解析】略 5.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球已知袋中有个红球，个白球，且从袋中随机摸出个红球的概率是，则袋中黑球的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 6.在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有个红球若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.如图，转盘被划分成个相同的小扇形，并分别标上数字，，，，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点的坐标第一次作横坐标，第二次作纵坐标，指针如果指向分界线上，认为指向左侧扇形的数字，则点落在直线下方的概率为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 8.有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，那么一次打开锁的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 9.为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成，，，四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜如图所示，每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：把白菜、茄子、辣椒、毛豆分别记作、、、， 画树状图如图所示： 由图可知，等可能的结果共有种，其中白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的结果有种， 白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是． 故选A． 10.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后轮次中不能使用则三轮比赛后，甲能得分的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：当第一轮甲取时，画树状图如下： 由图可知，此时共有种等可能的结果，其中甲能得分的结果有种，甲，对应乙；甲，对应乙； 当第一轮甲取时，画树状图如下： 由图可知，此时共有种等可能的结果，其中甲能得分的结果有种，甲，对应乙；甲，对应乙； 当第一轮甲取时，画树状图如下： 由图可知，此时共有种等可能的结果，其中甲能得分的结果有种，甲，对应乙；甲，对应乙； 综上所述，共有种等可能的结果，其中甲能得分的结果有种， 甲能得分的概率是． 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.甲、乙、丙三人各自随机选择到、两个献血站进行爱心献血，则这三人在同一个献血站献血的概率为          ． 【答案】  【解析】略 12.在一个不透明的口袋中，装有个红球、个白球和个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率． 【解答】 解：在一个不透明的口袋中，装有个红球，个白球和个绿球，它们除颜色外都相同， 从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为， 故答案为：． 13.“一个不透明的袋子共装有个小球，它们的标号分别为，，，从中摸出个小球，标号为”，这个事件是          填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件” 【答案】不可能事件  【解析】略 14.从，，，四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则关于的一元二次方程没有实数根的概率为          ． 【答案】  【解析】略 15.看了田忌赛马的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为，，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为          ．   下等马 中等马 上等马 齐王 田忌 【答案】  【解析】略 16.如图，在的方格中，点，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是          ． 【答案】  【解析】【分析】此题主要考查了概率公式和等腰三角形的判定；熟记概率公式是解决问题的关键．根据从、、、四个点中任意取一点，一共有种可能，选取、、时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案． 【解答】解：从、、、四个点中任意取一点，一共有种可能， 选取、、三点中的任一点时，依题意所作三角形都是等腰三角形， 故所作三角形是等腰三角形的概率是． 17.定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数，则称这列数为等差数列．如图是一个表格，其每一横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意抽取一个数字抽后放回，连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查新定义型，以及用列举法求概率． 先根据等差数列的概念补全表格，从表格中得出连抽次的总结果数和次都是奇数的结果数，继而利用概率公式计算可得． 【解答】 解：根据等差数列的概念补全表格如下： 从中抽出个数共有种结果，放回再抽一次有种结果， 一共有种结果， 而两次均为奇数的结果有种结果， 两次均为奇数的概率为． 18.如图，小英同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走游戏规定一进入迷宫只许前进不许后退，可转弯，则小英不回头便能走出迷宫的概率是           ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有种等可能的情况，其中小英不回头便能走出迷宫的结果有种，再由概率公式求解即可． 【解答】 解：如图所示，设进入入口后有、两个不同出口，路径分别为、、、、、、、，其中、路径能走出迷宫， 由题意画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中小英不回头便能走出迷宫的结果有种， 小英不回头便能走出迷宫的概率是， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 小明和小亮两位同学做投掷骰子试验，他们共做了次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率； 小明说：“根据试验，一次试验中出现点朝上的概率最大．”小亮说：“如果投掷次，那么出现点朝上的次数正好是次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ 小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于的概率． 【答案】(1)解：“2点朝上”的频率为．“4点朝上”的频率为  (2)小明的说法错误，因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．小亮的说法错误，因为事件的发生具有随机性．  (3)．  【解析】 略  略  略 20.本小题分 如图，小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯，客厅，走廊三盏电灯在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开但因刚搬进新房不久，小晗不熟悉电灯开关的情况． 若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？ 若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用画树状图法加以说明． 【答案】(1)小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是  (2)画树状图如图所示.由图，可知共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的结果有2种，正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是       【解析】 略  略 21.本小题分 在张相同的小纸条上，分别写有：；；；乘法；加法．将这张小纸条做成支签，、、放在不透明的盒子中搅匀，、放在不透明的盒子中搅匀． 从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是          ； 先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签．求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率． 【答案】(1)  (2)画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中运算后结果是无理数的结果有10种， ∴P（结果是无理数）．   【解析】 略  略 22.本小题分 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的个红球及编号为的个黄球的袋子中，随机摸出个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入个红球或黄球它们的大小质地与袋中的个球完全相同，然后从中随机摸出个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份现已知某顾客获得抽奖机会． 求该顾客首次摸球中奖的概率； 假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由． 【答案】(1)解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果.记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为；  (2)他应往袋中加入黄球.理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：共有20种等可能的结果. （i）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率； （ii）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；因为，所以，所以他应往袋中加入黄球.   【解析】 略  略 23.本小题分 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字，，；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字，，的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． 请用列表或画树状图的方法选其中一种表示出所有可能出现的结果； 若得到的两数字之和是的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 公平，理由如下： 由的表格可知，共有种可能出现的结果，其中“和为的倍数”的有种，“和为的倍数”的有种， 小杰胜，小玉胜， 小杰胜和小玉胜的概率是一样的，因此游戏是公平的．  【解析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况； 根据的表格，得出“和为的倍数”“和为的倍数”的概率即可． 本题考查列举法求概率，以及游戏公平性． 24.本小题分 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级中随机抽取了名学生分成甲、乙两组，每组各人，进行“网络安全”现场知识竞赛把甲、乙两组的成绩单位：分进行整理分析满分分，其中为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般收集整理的数据制成如下统计表和如图所示的统计图． 平均数分 中位数分 众数分 甲组 乙组   根据以上信息解答下列问题： 填空：           ，           ，           ； 已知该校九年级有名学生，估计九年级网络安全意识非常强的人数； 现在准备从甲、乙两组满分的学生中抽取两名学生参加校际比赛，求抽取的两名学生恰好一人来自甲组、另一人来自乙组的概率． 【答案】(1)83;85;70  (2)估计九年级网络安全意识非常强的人数为  (3)记甲组满分的学生为A，乙组满分的两名学生分别为B，C，列表如下： 由表，可知共有6种等可能的结果，其中符合条件的结果有4种，抽取的两名学生恰好一人来自甲组、另一人来自乙组的概率为   【解析】 略  略  略 25.本小题分 某商场进行促销，购物满额即可获得次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． 若小明获得次抽奖机会，小明中奖是______事件．填随机、必然、不可能 小明观察一段时间后发现，平均每个人中会有人抽中一等奖，人抽中二等奖，若袋中共有个球，请你估算袋中白球的数量； 在的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【答案】解：必然； 白球的数量个； 抽中一等奖的概率会减小； 理由如下：由于增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，所以抽中一等奖的概率变小．  【解析】解：若小明获得次抽奖机会，小明中奖是必然事件； 故答案为：必然； 见答案； 见答案． 【分析】 根据随机事件的定义进行判断； 由于平均每个人中会有人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量； 根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了样本估计整体． 26.本小题分 【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪如图中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．   【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】如图，在该草坪中心位置设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率_______．   如图，在该草坪内设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置；，以此类推，如图，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置与中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． 如图所示，该公司设计了用个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率已知，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？直接写出结果即可 【答案】(1)（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积. 正方形草坪的面积.故喷洒覆盖率. （2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为.因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为.这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用. （3）如图所示，连接，要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积.，，，都经过正方形的中心点，在中，，，，在中， 当时，取得最小值，此时，解得：   (2)由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为，而草坪的边长为，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率   【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 第二十五章 概率初步 单元过关检测卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是确定事件的是( ) A.打雷后会下雨 B.明天是晴天 C. 1 小时等于 60 分钟 D.下雨后有彩虹 2.在不透明的布袋中装有 1 个红球、2 个白球、3 个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球， 摸出的球是红球的概率是( ) A. 16 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.在一副洗好的扑克牌中随意抽取一张，抽到“大王”的可能性与抽到“红桃 5”的可能性相比，( ) A.抽到“大王”的可能性大 B.抽到“红桃 5”的可能性大 C.两种一样大 D.无法确定 4.任意转动如图所示的转盘，指针( ) A.一定停在灰色区域 B.很有可能停在灰色区域 C.偶尔停在灰色区域 D.不可能停在灰色区域 5.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.已知袋中有 5 个红球，23 个 白球，且从袋中随机摸出 1 个红球的概率是 110，则袋中黑球的个数为( ) A. 27 B. 23 C. 22 D. 18 6.在一个不透明的盒子中装有�个除颜色外完全相同的球，这�个球中只有 3 个红球.若每次将球充分搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 0.2 左右，则�的值 约为( ) A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 7.如图，转盘被划分成 4 个相同的小扇形，并分别标上数字 1，2，3，4，分别转动两次转盘，转盘停止后， 指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点�的坐标(第一次作横坐标，第二次作纵坐标)，指针如果指向分 第 2页，共 8页 界线上，认为指向左侧扇形的数字，则点�落在直线� = �下方的概率为 ( ) A. 34 B. 5 8 C. 1 2 D. 3 8 8.有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两 把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，那么一次打开锁的概率是( ) A. 12 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 9.为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成�，�，�，�四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、 毛豆四种蔬菜(如图所示)，每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是 A. 13 B. 2 3 C. 1 6 D. 5 6 10.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字 1，3，5，乙的卡片分别 标有数字 2，4，6，两人进行 3 轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较 所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡 片在此后轮次中不能使用).则三轮比赛后，甲能得 2 分的概率是( ) A. 12 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 12 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.甲、乙、丙三人各自随机选择到�、�两个献血站进行爱心献血，则这三人在同一个献血站献血的概率 为 ． 12.在一个不透明的口袋中，装有 4 个红球、3 个白球和 1 个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一 个球，摸到白球的概率为 ． 13.“一个不透明的袋子共装有 3 个小球，它们的标号分别为 1，2，3，从中摸出 1 个小球，标号为 4”， 这个事件是 . (填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”) 14.从 1，2，3，4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为�，�，则关于�的一元二次方程��2 + 6� + � = 0 没有实数根的概率为 ． 第 3页，共 8页 15.看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分 如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为 10，8，6.若田 忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ． 下等马中等马上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 16.如图，在 3 × 3 的方格中，点�，�，�，�，�，�分别位于格点上，从�，�，�，�四点中任取一点，与 点�，�为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ． 17.定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数，则称这列数为等 差数列．如图是一个 4 × 4 表格，其每一横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意 抽取一个数字(抽后放回)，连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为______． 18.如图，小英同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路 径行走.游戏规定一进入迷宫只许前进不许后退，可 90°转弯，则小英不回头便能走出迷宫的概率是 ． 第 4页，共 8页 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 小明和小亮两位同学做投掷骰子试验，他们共做了 100 次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 14 15 23 16 20 12 (1)计算“2 点朝上”的频率和“4 点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现 3 点朝上的概率最大．”小亮说：“如果投掷 1000 次，那么出 现 5 点朝上的次数正好是 200 次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于 3 的概率． 20.(本小题 8 分) 如图，小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着�(楼梯)，�(客厅)，�(走廊)三盏电灯.在正常情况 下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.但因刚搬进 新房不久，小晗不熟悉电灯开关的情况． (1)若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？ (2)若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用画树状图法加以说明． 第 5页，共 8页 21.(本小题 8 分) 在 5 张相同的小纸条上，分别写有：① 2；② 8；③1；④乘法；⑤加法．将这 5 张小纸条做成 5 支签， ①、②、③放在不透明的盒子�中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子�中搅匀． (1)从盒子�中任意抽出 1 支签，抽到无理数的概率是 ； (2)先从盒子�中任意抽出 2 支签，再从盒子�中任意抽出 1 支签．求抽到的 2 个实数进行相应的运算后结 果是无理数的概率． 22.(本小题 8 分) 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定： 凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的 1 个红 球及编号为①②③的 3 个黄球的袋子中，随机摸出 1 个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄 球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入 1 个红球或黄球(它们的 大小质地与袋中的 4 个球完全相同)，然后从中随机摸出 1 个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出 1 个 球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的 理由． 第 6页，共 8页 23.(本小题 8 分)有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字 2，4，6；另有 一个不透明的瓶子，装有分别标有数字 1，3，5 的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记 下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． (1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果； (2)若得到的两数字之和是 3 的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是 7 的倍数，则小玉赢，此游戏公平 吗？为什么？ 24.(本小题 8 分)某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级中随机抽取了 20 名学生分成甲、乙 两组，每组各 10 人，进行“网络安全”现场知识竞赛.把甲、乙两组的成绩�(单位：分)进行整理分析(满分 100 分，其中 90 ≤ � ≤ 100 为网络安全意识非常强，80 ≤ � < 90 为网络安全意识强，� < 80 为网络安全 意识一般).收集整理的数据制成如下统计表和如图所示的统计图． 平均数/分中位数/分众数/分 甲组 � 80 80 乙组 83 � � 根据以上信息解答下列问题： (1)填空：� = ，� = ，� = ； (2)已知该校九年级有 500 名学生，估计九年级网络安全意识非常强的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分的学生中抽取两名学生参加校际比赛，求抽取的两名学生恰好一人来自甲组、 另一人来自乙组的概率． 第 7页，共 8页 25.(本小题 8 分) 某商场进行促销，购物满额即可获得 1 次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同 的小球，从袋子中摸出 1 个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得 1 次抽奖机会，小明中奖是______事件．(填随机、必然、不可能) (2)小明观察一段时间后发现，平均每 6 个人中会有 1 人抽中一等奖，2 人抽中二等奖，若袋中共有 18 个 球，请你估算袋中白球的数量； (3)在(2)的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 26.(本小题 8 分) 【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长 为 18�的正方形草坪(如图 1)中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要 设计合适的安装方案.说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为� � 的圆面.喷洒覆盖率� = ��，�为待喷 洒区域面积，�为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)【探索发现】(1)如图 2，在该草坪中心位置设计安装 1 个喷洒半径为 9�的自动喷洒装置，该方案的喷 洒覆盖率� =_______． 第 8页，共 8页 (2)如图 3，在该草坪内设计安装 4 个喷洒半径均为92�的自动喷洒装置；如图 4，设计安装 9 个喷洒半径均 为 3�的自动喷洒装置；……，以此类推，如图 5，设计安装�2个喷洒半径均为9��的自动喷洒装置.与(1)中 的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图 6 所示，该公司设计了用 4 个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率� = 1. 已知�� = �� = �� = ��，设�� = � � ，⊙�1的面积为� �2 ，求�关于�的函数表达式，并求当�取得最 小值时�的值． (2)【问题解决】(4)该公司现有喷洒半径为 3 2�的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可 使该草坪的喷洒覆盖率� = 1？(直接写出结果即可)