核心微练20 曲线的公切线问题-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

曲线的公切线问题 微练(二十) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．若直线l是曲线y＝ln x－1与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋1 D．y＝ex 由y＝ln x－1，得y′＝，由y＝ln(x－1)，得y′＝.设直线l与曲线y＝ln x－1相切于点(x1，ln x1－1)，与曲线y＝ln(x－1)相切于点(x2，ln(x2－1))，则＝，故x1＝x2－1.又＝，解得x1＝1，x2＝2，所以直线l过点(1，－1)，斜率为1，即直线l的方程为y＝x－2.故选A. 2．若直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)，则2x1－x2的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 因为直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，所以直线l的方程为y＝ex1(x－x1)＋ex1＝ex1x＋(1－x1)ex1.又直线l与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)，所以直线l的方程为y＝2(x2＋3)(x－x2)＋(x2＋3)2＝2(x2＋3)x－x＋9，所以两式相除，可得2(1－x1)＝3－x2，所以2x1－x2＝－1. 3．若函数f(x)＝与g(x)＝ex－a－b在x＝1处有相同的切线，则a＋b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 因为f(x)＝，g(x)＝ex－a－b，则f′(x)＝，g′(x)＝ex－a，可得f(1)＝0，g(1)＝e1－a－b，f′(1)＝1，g′(1)＝e1－a，因为f(x)，g(x)在x＝1处有相同的切线，即切点为(1,0)，切线斜率k＝1，所以解得所以a＋b＝2.故选D. 4．函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　　) A．1 B．±e C．1或e D．1或e2 设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1>0，且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex，所以切线方程既为y－(2＋ln x1)＝(x－x1)，也为y－ex2＝ex2(x－x2)，所以且ln ＝ln ex2⇒－ln x1＝x2，所以1＋ln x1＝(1＋ln x1)×⇒(1＋ln x1)(x1－1)＝0，所以x1＝1或x1＝，所以公切线的斜率为k＝＝1或e.故选C. 5．若至少存在一条直线与曲线f(x)＝2x2＋3和g(x)＝3－tln x(t≠0)均相切，则t的取值范围是(　　) A．[－4e,0) B．[2e，＋∞) C．(－4e,0)∪(0，＋∞) D．[－4e,0)∪(0，＋∞) f′(x)＝4x，g′(x)＝－，设公切线与曲线y＝f(x)相切于点(x1,2x＋3)，与曲线y＝g(x)相切于点(x2,3－tln x2)(x2>0)，则切线方程分别为y＝4x1x－2x＋3，y＝－x＋t＋3－tln x2，所以由①得x＝，代入②得t＝8xln x2－8x.令h(x)＝8x2ln x－8x2(x>0)，则h′(x) ＝8x(2ln x－1)，所以当0<x<时，h′(x)<0；当x>时，h′(x)>0，所以h(x)在区间(0，)内单调递减，在区间(，＋∞)内单调递增，所以h(x)min＝h()＝－4e，又当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以h(x)的值域为[－4e，＋∞)，所以t的取值范围是[－4e,0)∪(0，＋∞)．故选D. 二、填空题 6．若直线l是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切线，则直线l的方程为________________________． y＝x－1或y＝x 设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为(x1，ex1－2)，(x2，ln x2)，由导数的几何意义可得k＝e x1－2＝.曲线y＝ex－2在点(x1，ex1－2)处的切线方程为y－ex1－2＝ex1－2(x－x1)，即y＝ex1－2x＋(1－x1)ex1－2.曲线y＝ ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1，则解得x2＝1或x2＝e，所以k＝1或k＝.代入得y＝x－1或y＝x. 7．已知函数f(x)＝x2＋2x和g(x)＝－x2＋a，如果直线l同时是f(x)和g(x)的切线，称l是f(x)和g(x)的公切线，若f(x)和g(x)有且仅有一条公切线， 则a＝________. － 由f(x)＝x2＋2x，得f′(x)＝2x＋2；由g(x)＝－x2＋a，得g′(x)＝－2x.设l与f(x)相切于点A(x1，x＋2x1)，与g(x)相切于点B(x2，－x＋a)，所以l的方程为y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)或y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，即l的方程为y＝(2x1＋2)x－x或y＝－2x2x＋x＋a，所以则2x＋2x1＋1＋a＝0，所以Δ＝4－8(1＋a)＝0，解得a＝－. 8．曲线y＝－(x<0)与曲线y＝ln x的公切线有________条． 1 设(x1，y1)是公切线和曲线y＝－的切点，则切线斜率k1＝′x＝x1＝，切线方程为y＋＝(x－x1)，整理得y＝·x－.设(x2，y2)是公切线和曲线y＝ln x的切点，则切线斜率k2＝(ln x)′|x＝x2＝，切线方程为y －ln x2＝(x－x2)，整理得y＝x＋ln x2－1.则消去x2得－＝ln x－1.设t＝－x1>0，即2ln t－－1＝0，只需探究此方程解的个数．易知函数f(x)＝2ln x－－1在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－3<0，f(e)＝1－>0，于是f(x)＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝x2＋2x＋4，g(x)＝2ln x＋2x＋5. (1)判断函数g(x)的零点个数，并说明理由； (1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，因为g′(x)＝＋2>0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递增，又g(e－3)＝－1<0，g(1)＝7>0，所以g(x)存在唯一零点，在(e－3,1)之间． (2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的所有公切线方程． (2)因为f′(x)＝2x＋2，所以以f(x)上的点(x1，f(x1))为切点的切线方程为y－(x＋2x1＋4)＝(2x1＋2)(x－x1)．以g(x)上的点(x2，g(x2))为切点的切线方程为y－(2ln x2＋2x2＋5)＝(x－x2)．令则x1＝，得1＝ x－2ln x1，即1＝x－ln x.设x＝t，函数h(t)＝t－ln t，则h′(t)＝1－.当0<t<1时，h′(t)<0，h(t)单调递减，当t>1时，h′(t)>0，h(t)单调递增，h(1)＝1，所以1＝x－ln x的解为x1＝±1，又x2>0，所以x1>0，x1＝1.所以f(x)和g(x)存在唯一一条公切线为y＝4x＋3. 10．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2ex. (1)若直线y＝kx＋b为曲线g(x)的一条切线，求出b与k的函数关系式； (1)设切点为(x0，y0)，则y0＝2ex0，y′＝2ex，则切线方程为y－2ex0＝2ex0(x－x0)，整理可得y＝2ex0x－2ex0x0＋2ex0，可得k＝2ex0，b＝－2ex0x0＋2ex0，则x0＝ln，可得b＝k，故b与k的函数关系式为b＝k. (2)当m>1时，过点(m，f(m))的f(x)的切线l也与曲线g(x)＝2ex相切，试求直线l的条数． (2)过点(m，f(m))的切线方程为y－ln m＝(x－m)，整理可得直线l的方程为y＝x＋ln m－1.设直线l与曲线g(x)＝2ex相切于点(x1,2 e x1)，可知y－2 e x1＝2 e x1(x－x1)，且2 e x1＝，x1＝－ln(2m)，可变为y＝＋＋，结合切线l的方程可得＋＝ln m－1，整理可得ln m＝1＋. 如图所示，画出y＝ln x与y＝1＋的图象，可知当x>1时，只有一个交点，即ln m＝1＋在(1，＋∞)上只有一个解，则切线l也只有一条． $$