5.3.2 第三课时 导数的实际应用问题课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

题型一　面积、容积最大(小)问题 【学透用活】 [典例1]　用总长为14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 5.3.2 第三课时　导数的实际应用问题 [方法技巧] 几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　　 【对点练清】 将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问：如何截可使正方形与圆面积之和最小？ [方法技巧] 利用导数求费用最省(成本最低)问题的步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．　　 【对点练清】 已知某型号手机总成本C万元是月产量Q万件的函数，且C＝10Q2＋200Q＋ 1 000,1≤Q≤30.将Q看成能取区间[1,30]内的每一个值，问：月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？ [方法技巧] (1)利润最大问题是生活中常见的一类问题，解题的关键是利用“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值． 求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利． (2)在实际应用题中，如果所建立的目标函数在给定的定义域内的极值只有一个，那么此值往往就为题中所求的最值．　　 【课堂思维激活】 解：(1)由题意可得，在Rt△ABC中，AB＝50，AC＝30，则BC＝40，所以从A营地经过C地到B营地，需要的时间为30÷10＋40÷20＝5(h)．所以将军先骑马到河边的C处，再赶到B营地，一共要花5 h. 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等 边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC， △ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角 形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________． [解]　设容器底面短边长为x m， 则另一边长为(x＋0.5)m，容器的高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)(m)． 由x>0,3.2－2x>0，得0<x<1.6. ∴容器的体积为y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0<x<1.6)． ∵y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，∴令y′＝0，得15x2－11x－4＝0. ∴x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)． 当0<x<1时，y′>0，当1<x<1.6时，y′<0. ∴当x＝1时，y取极大值，也是最大值，此时 y＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，高为3.2－2×1＝1.2. ∴容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3. 解：设弯成圆的一段长为x(0<x<100)，另一段长为100－x，记正方形与圆的面积之和为S，则S＝π2＋2(0<x<100)，则S′＝－(100－x)． 令S′＝0，则x＝. 由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x＝ cm时，面积之和最小．故当截得弯成圆的一段长为 cm时，两种图形面积之和最小． 题型二　费用最省(成本最低)问题 【学透用活】 [典例2]　如图所示的某种容器的体积为18π dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为r dm，圆柱的高为h dm.已知顶部半球面的造价为3a元/dm2，圆柱的侧面造价为a元/dm2，圆柱底面的造价为元/dm2. (1)将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域； (2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？ [解]　(1)因为半球的半径与圆柱底面半径都为r， 所以半球体积为V1＝πr3，圆柱的体积为V2＝πr2h. 因为V1＋V2＝18π，所以V2＝πr2h＝18π－πr3，所以h＝－. 因为V1＝πr3<18π，所以r<3.因此0<r<3. 所以h＝－，定义域为. (2)半球的表面积S1＝2πr2，圆柱的侧面积S2＝2πrh，圆柱底面积为S3＝πr2. 容器总造价为 y＝3aS1＋aS2＋S3＝6πr2a＋2πrha＋πr2＝πr2a＋2πra＝. 令f(r)＝4r2＋，则f′(r)＝8r－＝，令f′(r)＝0，得r＝， 当0<r<时，f′(r)<0，f(r)在上为减函数； 当<r<3时，f′(r)>0，f(r)在上为增函数． 因此，当且仅当r＝时，f(r)有最小值27，y有最小值36πa元． 所以，总造价最低时，圆柱的底面半径为 dm. 解：记平均成本为f(Q)元，则 f(Q)＝＝＝10Q＋＋200. 因为1＜Q＜30时，有f′(Q)＝10－，令f′(Q)＞0，解得Q＞10. 因此可知f(Q)在[1,10]上递减，在[10,30]上递增， 从而f(Q)在Q＝10时取得极小值，而且在此时取得最小值f(10)＝10×10＋＋200＝400. 即当月产量为10万件时，每件产品的平均成本最低，最低为400元． 题型三　利润最大问题 【学透用活】 [典例3]　某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量． (1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为y＝3 240×，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ [解]　(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5 000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5 000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5 000×(1＋0.4x) ＝－1 800x2＋1 500x＋15 000(0＜x＜1)． (2)本年度的年利润为f(x)＝(3－0.9x)×3 240× ＝3 240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)， 则f′(x)＝3 240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)． 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)． 当0＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜1时，f′(x)＜0， 所以x＝时，f(x)有最大值f＝20 000. 所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大年利润为20 000万元． 【对点练清】 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)． (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 解： (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)， 则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， ∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)， 则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0， ∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． 一、综合性——强调融会贯通 1．据《九章算术》中记载：将军要从A营地骑马到河边的B营地，两营地之间相距50 km.已知马没有在河边补充水分时，速度为10 km/h；在河边喝完水后，速度为20 km/h.如图所示，A营地离河边距离为AC＝30 km，河所在的直线为BC，忽略马在河边喝水的时间． (1)将军先骑马到河边的C处，再赶到B营地，一共要花多少时间？ (2)将军赶到B营地所花的最少时间为多少？ (2)设将军在距离点C的P处饮马，且CP＝x，x∈[0,40]，则AP＝，BP＝40－x，所以f(x)＝＋，x∈[0,40]．所以f′(x)＝－.令f′(x)＝0，解得x＝10，所以当x∈(0,10)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(10，40)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝10时，f(x)取得极小值，也是最小值．所以f(10)＝＋＝2＋. 所以将军赶到B营地所花的最少时间是h. 解析：如图，连接OB，连接OD交BC于点G，由题意得，OD⊥BC，OG＝BC，设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x， 三棱锥的高h＝＝＝， S△ABC＝2x·3x·＝3x2，则V＝S△ABC·h＝x2· ＝·，令f(x)＝25x4－10x5，x∈， f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)＞0，即x4－2x3＜0，得0<x＜2； 令f′(x)<0，即x4－2x3>0，得2<x<，则f(x)≤f(2)＝80，则V≤×＝4， 所以体积最大值为4 cm3. 答案：4 $$