5.2.1 基本初等函数的导数课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 知识点　基本初等函数的导数 (一)教材梳理填空 1．几种常用函数的导数 0 1 2x 3x2 [微思考]　常数函数的导数为0说明什么？ 提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴． 2．基本初等函数的导数公式 αxα－1 cos x －sin x axln a ex 4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝_________. 解析：由图象的信息可知f(5)＋f′(5)＝(－5＋8)＋(－1)＝2. 答案：2 [方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧 (1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式． (2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．　　 [方法技巧] 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．　　 【对点练清】 已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点． (1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程； (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 题型三　导数的简单综合应用 【学透用活】 [典例3]　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？请说明理由． [解]　由于y＝sin x，y＝cos x， 设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直， 必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直． [方法技巧] 导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决问题的关键所在． (2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．　　 2．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点． 二、应用性——强调学以致用 2．不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？ 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是 (　　) A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ln x C．f(x)＝ex D．f(x)＝x3 明确目标 发展素养 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数． 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 1.通过定义求函数的导数，培养逻辑推理素养． 2.通过对导数的计算，提高数学运算素养. 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__ f(x)＝x f′(x)＝__ f(x)＝x2 f′(x)＝___ f(x)＝x3 f′(x)＝____ f(x)＝ f′(x)＝____ f(x)＝ f′(x)＝_____ － 原函数 导函数 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝______ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝______ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝______ [微提醒]　对于基本初等函数的导数公式要注意四点 (1)对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据定义推导，只要求熟记并能够利用它们求简单函数的导数． (2)对数函数、指数函数的导数公式中，公式(ln x)′＝eq \f(1,x)，(ex)′＝ex很好记忆，但公式(logax)′＝eq \f(1,xln a)，(ax)′＝axln a的记忆比较难，特别是ln a的位置易记错． (3)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变；二要注意符号的变换，可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符号变. (4)利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式．只有当函数符合上述形式时，才能用导数公式求导． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若y＝eq \r(2)，则y′＝eq \f(1,2)×2＝1. ( ) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x． ( ) (3)f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4). ( ) × × √ 2．若y＝cos ，则y′＝ (　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C．0 D. 答案：C 3．函数y＝在点处切线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 答案：B 题型一　利用导数公式求函数的导数 【学透用活】 [典例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x－5；　　　　(2)y＝4x； (3)y＝log3x; (4)y＝sin. [解]　(1)y′＝－5x－6. (2)y′＝4xln 4. (3)y′＝. (4)∵y＝sin＝cos x，∴y′＝－sin x. 【对点练清】 1．f(x)＝ln x在x＝e处的导数值为 (　　) A．0 B. C．1 D．e 解析：∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝.∴f′(e)＝. 答案：B　 2．求下列函数的导数： (1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x； (2)y＝xeq \r(x)； (3)y＝log x. 解：(1)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xlneq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln 3. 题型二　利用导数公式求切线方程 【学透用活】 [典例2]　已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程． [解]　因为y＝，所以y′＝－. (1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2. (2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上， 则可设过该点的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1,0)代入方程得0－＝－(1－a)． 解得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点， 所以过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4， 所以过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0. 过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1， 所以切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1， 解得x0＝，所以切点M， 所以与PQ平行的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0. 【对点练清】 1．曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 解析：可求得y′＝x－，即y′|x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0， 与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为， 故围成的三角形面积为××＝. 答案：C　 解：设切点为A(x0，x＋k)．∵y′＝2x， 直 直线y＝x与曲线y＝x2＋k 相切，且切点坐标为. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lgeq \f(1,xn)，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 021. 解：因为y＝xn＋1， 所以y′＝(n＋1)xn， 所以曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线斜率为k＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)． 令y＝0，得x＝eq \f(n,n＋1)， 即xn＝eq \f(n,n＋1)， 因此an＝lgeq \f(1,xn)＝lg(n＋1)－lg n， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 021 ＝(lg 2－lg 1)＋(lg 3－lg 2)＋(lg 4－lg 3)＋…＋(lg 2 022－lg 2 021)＝lg 2 022－lg 1＝lg 2 022. 解：立方体的体积V(x)＝x3，表面积S(x)＝6x2. 因为V′(x)＝(x3)′＝3x2，所以其体积关于x的变化率为3x2，是立方体表面积的. 答案：A　 解析：设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)．若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝eq \f(1,x)(x>0)，显然k1·k2＝eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex>0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3xeq \o\al(2,1)·3xeq \o\al(2,2)＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A. $$