5.1.1 变化率问题课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 | 一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 明确目标 发展素养 1.借助物理背景了解平均速度与瞬时速度． 2.借助几何背景了解曲线的割线与切线，并会求切线方程. 体会极限思想，培养数学抽象、数学运算素养. 速度 [微思考]　在运动员高台跳水的速度问题中，如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 提示：可以用某一时间段[t1，t2]内的平均速度近似描述快慢程度；或用在某一时刻t0的速度v(t0)精确刻画快慢程度． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)自变量的改变量Δt是一个较小的量，Δt可正可负，但不能为0. ( ) (2)跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间[t1，t2]上变化快慢的物理量． ( ) (3)跳水运动员的平均速度可正可负． ( ) (4)平均变化率与瞬时变化率可能相等． ( ) √ × √ √ 3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为 (　　) A．6　　　 B．18 C．54　　　 　D．81 斜率 切线 题型一　运动物体的平均速度 【学透用活】 [典例1]　已知s(t)＝5t2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度． 【对点练清】 1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 (　　) A．0.41　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．4.1 2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时 间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分 别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为 (　　) A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3 C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1 解析：由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3，故选C. 答案：C　 题型二　求瞬时速度 【学透用活】 [典例2]　已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度； (2)求质点M在t＝2时的瞬时速度． 【对点练清】 1．已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在2 s末的瞬时速度为 (　　) A．3 m/s B．5 m/s C．7 m/s D．9 m/s 题型三　抛物线的割线、切线的斜率 【学透用活】 [典例3]　已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx>0)． (1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围； (2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程． 【对点练清】 1．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　) A．k1<k2<k3 B．k2<k1<k3 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 2．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________． 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？ (2)求第2 s内的平均速度； (3)求第2 s末的瞬时速度． 知识点一　平均速度与瞬时速度 (一)教材梳理填空 1．平均速度 设物体运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为 ＝_______________. 2．瞬时速度 (1)瞬时速度的定义 我们把物体在某一时刻的 称为瞬时速度． (2)瞬时速度的计算公式 把当＝中Δt无限趋近于0时，＝的极限， 记为_____________________________________，为物体在t s时的瞬时速度． 2．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为 (　　) A．6＋Δt　　　　　　　　　 B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 答案：A 答案：B　 解析：∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt＋3(Δt)2. ∴eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) (18＋3Δt)＝18，故选B. 知识点二　抛物线的切线的斜率 (一)教材梳理填空 曲线的切线斜率 (1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的_____． (2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率 就是y＝f(x)在x0处的 的斜率，即k＝ ____________________________________________. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)抛物线y＝x2在x＝0处切线斜率为0. ( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率可写成k＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). ( ) 2．抛物线f(x)＝3x2＋1在点(2,13)处的切线方程为 . √ √ 12x－y－11＝0 [解]　(1)＝＝＝＝30.5 (m/s)． (2)＝＝＝＝30.05 (m/s)． [方法技巧] 求平均速度的一般步骤 (1)先计算对应值的改变量f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量x2－x1； (3)求平均速度.　　 答案：D　 [解]　eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st＋Δt－st,Δt) ＝eq \f(2t＋Δt2＋3－2t2＋3,Δt)＝4t＋2Δt. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，eq \f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)． (2)当t＝2时，瞬时速度v＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) (4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)， 即质点M在t＝2时的瞬时速度为8 cm/s. [方法技巧] 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下． (1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))； (2)求平均速度：＝； (3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．　　 解析：eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt) ＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(22＋Δt2－2＋Δt－2×22－2,Δt) ＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) (7＋2Δt)＝7，所以该质点在2 s末的瞬时速度为7 m/s. 答案：C　 2．已知某物体的运动方程是s＝则该物体在t＝1时的瞬时速度为________；在t＝4时的瞬时速度为________． 解析：当t＝1时，Δs＝3(1＋Δt)2＋2－3×12－2＝3(Δt)2＋6Δt， ∴＝3Δt＋6，∴ ＝6，即当t＝1时的瞬时速度为6. 当t＝4时，Δs＝29＋3(4＋Δt－3)2－29－3(4－3)2＝3(Δt)2＋6Δt， ∴＝3Δt＋6，∴ ＝6，即当t＝4时的瞬时速度为6. 答案：6　6 [解]　(1)由题意，得割线AB的斜率为＝ ＝ ＝＝－3－Δx， 由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx>0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)． (2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为 k＝ ＝ (－3－Δx)＝－3， 又f(2)＝－22＋2＝－2， 所以切线的方程为y－(－2)＝－3(x－2)， 即3x＋y－4＝0. [方法技巧] 求曲线的切线方程，首先求割线的斜率，然后利用极限思想得切线的斜率，最后由切点在切线上求曲线切线方程．　　 解析： k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5， k3＝＝16－9＝7，∴k1<k2<k3，故选A. 答案：A　 解析：抛物线在点P处切线的斜率为k＝ ＝ ＝ ＝－5， 因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c， 故直线OP的斜率为－，根据题意有－＝－5，解得c＝4. 答案：4 解：(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度； h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度； h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度． (2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度为＝ ＝＝170(m/s)． (3)第2 s末的瞬时速度为li ＝ ＝ ＝ ＝225(m/s)． 因此，第2 s末的瞬时速度为225 m/s. 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为′ m3/h，观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是 (　　) A．t1 B．t2 C．t3 D．t4 解析：如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度实际上是曲线V(t)在某时刻的切线斜率．通过对比，曲线在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是t3. 答案：C　 $$