21.1 一元二次方程（讲义）2025-2026学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的核心知识点，系统梳理其定义（整式方程、一个未知数、最高次数2）、一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）及各项名称，构建从定义识别到方程化为一般形式、正确指出系数的学习支架，初步渗透实际应用场景。 资料通过思维导图帮助学生构建知识结构，培养抽象能力（数学眼光），结合易错点辨析和实例判断提升推理意识（数学思维），如增长率问题举例培养模型意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后巩固练习助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程（讲义） 思维导图 学习目标 1. 了解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程。 2. 掌握一元二次方程的一般形式 (a ≠ 0)，并能指出二次项、一次项、常数项以及二次项系数、一次项系数。 3. 能将一个一元二次方程化为一般形式。 4. 初步感受一元二次方程在实际生活中的应用。 知识点梳理 1. 一元二次方程的定义： · 文字描述： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 · 关键词理解： · 整式方程： 方程两边都是整式（即分母中不含未知数，根号下不含未知数等）。 · 只含一个未知数： 方程中只有一个字母代表未知数。 · 未知数的最高次数是2： 方程中含未知数的项的最高次数是2，而不是未知数的次数。 · 举例： · 是一元二次方程。 · 是一元二次方程（可化为 ）。 · 是一元二次方程（展开后为 ）。 · 不是一元二次方程的例子： · （一次方程） · （三次方程） · （不是整式方程） · （含有两个未知数） 2. 一元二次方程的一般形式： · 标准形式： ，其中 、、 是常数，并且 。 · 注意： 是一元二次方程一般形式的重要组成部分。因为如果 ，那么方程就变成了 ，这是一元一次方程（当 时）或常数方程（当 时）。 · 各项名称： · 叫做二次项，其中 叫做二次项系数。 · 叫做一次项，其中 叫做一次项系数。 · 叫做常数项。 · 说明： · 在一元二次方程的一般形式中，二次项是必须存在的（因为 ）。 · 一次项和常数项可以为0。例如： · 方程 中，一次项系数 。 · 方程 中，常数项 。 · 方程 中，一次项系数 ，常数项 。 3. 一元二次方程的解（或根）的概念（初步了解）： · 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 · （注意：这部分内容在后续小节会重点学习，预习时只需初步了解概念即可。） 4. 列一元二次方程解决简单的实际问题思路（初步）： · （本小节主要是概念引入，实际应用举例是为了引出方程，预习时了解即可，具体列方程解决问题的步骤后续会学习。） · 关键在于找出问题中的等量关系，设出适当的未知数，根据等量关系列出方程，然后整理成一元二次方程的一般形式。 易错点提醒 1. 对“未知数的最高次数是2”理解不清： · 容易忽略“整式方程”这个前提。例如，方程 虽然未知数 的最高次数看似是2，但它不是整式方程，所以不是一元二次方程。 · 容易误将某个字母系数当成未知数。例如，若方程 中，明确 是未知数，则 是常数，这是关于 的一元二次方程。 2. 忽略一元二次方程一般形式中 这个条件： · 在提到一般形式时，必须强调 。判断一个方程是否为一元二次方程，不仅要看是否能化成 的形式，更要看化简后 是否不为0。 3. 确定各项系数时符号容易出错： · 将一个方程化为一般形式时，需要移项，此时要注意各项的符号。例如，方程 化为一般形式是 ，一次项系数是 -4，常数项是 +1（或1）。 4. 混淆“项”与“系数”： · “二次项”是 ，“二次项系数”是 ；“一次项”是 ，“一次项系数”是 。不要将“项”和“系数”混为一谈。 知识点总结 · 核心概念： 一元二次方程的定义（三个要素：整式方程、一个未知数、最高次数2）。 · 重要形式： 一般形式 ，及其各项名称和系数。 · 基本技能： 能根据定义判断一个方程是否为一元二次方程；能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出各项系数。 预习建议 1. 通读教材： 仔细阅读课本中21.1小节的内容，重点理解一元二次方程的定义和一般形式。 2. 动手实践： 对于教材中的例题和练习题（只做与本节概念相关的，不涉及后续解法），尝试自己判断和化简。例如： · 判断几个给定的方程是否为一元二次方程，并说明理由。 · 将几个简单的一元二次方程化为一般形式，并写出各项系数。 3. 思考疑问： 在预习过程中，遇到不理解的地方（例如，为什么 不能为0？），可以做上标记，带着问题听课。 4. 联系生活： 思考一下，生活中哪些问题可能会用到一元二次方程来描述？（例如，正方形面积问题、增长率问题的初步模型等，教材中可能有相关引入例子）。 5. 适当笔记： 可以将本节课的核心定义、一般形式、易错点等整理在笔记本上，方便后续复习。 巩固练习 一、选择题 1．一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（　　） A．2 B．1 C．3 D． 2．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程﹣3x+5x2＝6化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值可以是（　　） A．a＝﹣5，b＝﹣3，c＝6 B．a＝﹣3，b＝5，c＝﹣6 C．a＝﹣3，b＝5，c＝6 D．a＝5，b＝﹣3，c＝﹣6 4．某旅游景点2020年8月份共接待游客25万人次，2020年10月份共接待65万人次，设每月旅游人数的平均增长率为x，则可列方程（　　）. A． B． C． D． 5．某企业生产总值从一月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 6．已知2是关于x 的方程. 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为(　　). A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 7．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 8．已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为　 　． 10．已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程　 　． 11．关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为　 　． 12．已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　． 13．关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则　 　． 14．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为　 　． 15．若方程是关于x的一元二次方程，则m倒数的值为． 三、解答题 16．已知关于x的一元二次方程． （1）判断这个一元二次方程的根的情况． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 17．已知一元二次方程 （1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ （2）如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ （3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 18．已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0. （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程? （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程? 19．已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1． (1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值； (2)用只含字母a，n的代数式表示b； (3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围． 参考答案 1．D 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．﹣5 10． 11．-5 12．2027 13．或 14． 15．1 16．（1）一元二次方程有两个不相等的实数根 （2）或 17．（1） （2） （3） 18．（1）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0， ∴如果此方程是一元一次方程， 则 解得m=3， 即当m=3时，此方程是一元一次方程. （2）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0， ∴如果此方程是一元二次方程， 则(m+3)(m-3)≠0， 解得m≠-3且m≠3， 即当m≠-3且m≠3时，此方程是一元二次方程. 19．(1)b=1，c=1；(2)；(3)-≤a≤-. 学科网（北京）股份有限公司 $$