5. 1.2.导数的几何意义课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

导数 导数的几何意义 问题：观察函数f(x)的图象， 函数平均变化率 表示什么? O A B x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 直线AB的斜率 1.函数f(x)从x1到x2的平均变化率： 这是平均变化率的几何意义 导数的几何意义 2 2.导数的几何意义 在点P0(1, 1)附近任取一点P(1+△x, (1+△x)2) 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？ 割线P0P的斜率： 导数的几何意义 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T， 本质：切线斜率是割线斜率的极限 2.导数的几何意义 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线. 切线P0T的斜率： 导数的几何意义 2.导数的几何意义 一般地，在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 导数的几何意义 2.导数的几何意义 割线P0P的斜率： 记△x=x－x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当△x→0时，k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数， 因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0, 即 这就是导数的几何意义 导数的几何意义 2.导数的几何意义 注意：直线与圆锥曲线相切与函数的切线的区别 (1)如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这 条直线与这个圆相切. (2)割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位 置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.曲线 y=f(x)的切线,并不一定与曲线 只有一个交点, 可以 有多个曲线在某点处的切线与该点的位置有关; 导数的几何意义 3.函数y=f(x)在x=x0处的切线的求法 第一步：求出函数y=f(x)的导函数f ′(x)； 第二步：把x=x0代入f ′(x)得函数在x=x0处的切线的斜率f ′(x0)； 第三步：由点斜式得函数y=f(x)在x=x0处的切线方程： y－f(x0)＝f ′(x0)·(x－x0)． 导数的几何意义 导数的几何意义 B 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型1：求函数y=f(x)在x=x0处切线的斜率 求法：函数y=f(x)在x=x0处的切线的斜率为f ′(x0)． A 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型1：求函数y=f(x)在x=x0处切线的斜率 D 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型1：求函数y=f(x)在x=x0处切线的斜率 B 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型1：求函数y=f(x)在x=x0处切线的斜率 B 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 D 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 D 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 D 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型2：已知函数，求函数在某点处的切线方程 B 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型3：已知函数的切线方程，求函数中待定字母的值 常用三个信息： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上. 导数的几何意义 4.典型例题分析 D 题型3：已知函数的切线方程，求函数中待定字母的值 导数的几何意义 4.典型例题分析 D 题型3：已知函数的切线方程，求函数中待定字母的值 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型3：已知函数的切线方程，求函数中待定字母的值 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型4：两函数共切线问题 D 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型4：两函数共切线问题 1－ln2 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型4：两函数共切线问题 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型4：两函数共切线问题 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型5：函数上一点到直线的距离的最值问题 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型5：函数上一点到直线的距离的最值问题 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型5：函数上一点到直线的距离的最值问题 B 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 导数的几何意义 4.典型例题分析 题型6：过一点作函数的切线 D Lavf58.46.101 例1.求抛物线y＝x2＋3在点(2,7)处的切线方程． 解析：∵y′=2x, y′|x=2=4, ∴在点(2,7)处的切线方程为：y－7＝4(x－2) 即：4x－y－1＝0. 例2.函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1　　B．y＝－2x＋1　　C．y＝2x－3　　D．y＝2x＋1 解析：f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)， f ′(x)＝4x3－6x2， 所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2， 切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1． 解析.∵y′= , y′|x=eq \f(1,2)=－4, ∴在点(eq \f(1,2),2)处的切线斜率为：－4. 例1.曲线 在点 处的斜率为（ ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析:割线AB的斜率为 ， 为函数图象在点 处切线的斜率， 为函数图象在点 处切线的斜率， 结合图象可得 ， 故选：D． 例2.已知函数 的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 解析:由图象可知，函数在 上的增长越来越快， 故函数图象在点 （ ）的切 线的斜率越来越大， 因为 ，所以 .故选：B. 例3.（2023·湖南·高二期中）已知函数 在R上可导，其部分图象如图所示，设 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 解析:依次作出函数 在 处的切线，如图所示 根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知， ．故选：B. 例4.已知函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 解析:y′＝eq \f(2(x＋2)－(2x－1),(x＋2)2)＝eq \f(5,(x＋2)2)， 所以y′|x＝－1＝eq \f(5,(－1＋2)2)＝5， 所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0． 例1.(2021·全国甲)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________． 解析:由题意得y′＝eq \f(2,x＋1).在点(0，0)处切线斜率k＝y′|x＝0＝2. ∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)， 即y＝2x. 练一练1.曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为____________. 解析: 所以切线的斜率 ， 则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 练一练2.曲线 在点（0,0）处的切线方程为_________． 解析:法一　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]， 所以2(a－1)x2＝0．因为x∈R，所以a＝1， 所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D． 例2. 设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x　　　　B．y＝－x　　　　C．y＝2x　　　　D．y＝x 解析:法二　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， 所以f(－1)＋f(1)＝0， 所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1， 此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)， 所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D． 例2. 设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x　　　　B．y＝－x　　　　C．y＝2x　　　　D．y＝x 解析:法三　易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]， 因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数， 所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x， 所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D． 例2. 设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x　　　　B．y＝－x　　　　C．y＝2x　　　　D．y＝x 解析:法1：当 时， ，则 法2：因为已知为偶函数， 所以求出在 处的切线，然后关于y轴对称即得。 例3. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。 解析: ……①， ……②， 联立①②，解得 ，则 ， ， ， 切线方程为： ，即 .故选B. 例4. 若 对 恒成立，则曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 解析:f′(x)＝1－eq \f(a,x2)，∴f′(1)＝1－a，又f(1)＝1＋a＋b， ∴曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)， 即y＝(1－a)x＋2a＋b， 根据题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＝2，,2a＋b＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝7，))∴a－b＝－1－7＝－8. 例1.已知曲线f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝___. 例2.已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为(　　) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2 D.1＋ln 2 解析:由y＝xln x得y′＝ln x＋1，设切点为(x0，y0)，则k＝ln x0＋1， ∵切点(x0，y0)(x0>0)既在曲线y＝xln x上又在直线y＝kx－2上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0－2，,y0＝x0ln x0，))∴kx0－2＝x0ln x0， ∴k＝ln x0＋eq \f(2,x0)，则ln x0＋eq \f(2,x0)＝ln x0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln 2＋1. 例3.已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则( ) A． B．a=e，b=1 C． D． ， 解析:∵ ∴切线的斜率 ， ， 将 代入 ，得 . 故选D． 例4. 曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________． 解析:设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝ln x＋x＋1， 所以y′＝eq \f(1,x)＋1，所以切线的斜率为eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1． 所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)， 所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0． 解析:易知直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝kx＋b，则eq \f(|b|,\r(k2＋1))＝eq \f(\r(5),5)　①． 设直线l与曲线y＝eq \r(x)的切点坐标为(x0，eq \r(x0))(x0>0)， 则y′|x＝x0＝eq \f(1,2)x0－eq \f(1,2)＝k　②，eq \r(x0)＝kx0＋b　③，由②③可得b＝eq \f(1,2) eq \r(x0)， 将b＝eq \f(1,2) eq \r(x0)，k＝eq \f(1,2)x0－eq \f(1,2)代入①得x0＝1或x0＝－eq \f(1,5)(舍去)， 所以k＝b＝eq \f(1,2)，故直线l的方程y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)． 例1. 若直线l与曲线y＝eq \r(x)和圆x2＋y2＝eq \f(1,5)都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1　　　　B．y＝2x＋eq \f(1,2)　　　　C．y＝eq \f(1,2)x＋1　　　　D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2) 例3. 已知函数 若曲线 与曲线 相交，且在交点处有共同的切线，则切线的方程为 。 例2.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 则 ． 解析:设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝ ，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝ ， ∴切点为(x1， )，切线斜率k＝ ，∴切线方程为y－ ＝ (x－x1)， 即y＝ ·x－ ＋ ，①， 同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝eq \f(1,x)， ∴g′(x2)＝eq \f(1,x2)，切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝eq \f(1,x2)， 例4. 已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ． 解析:∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝eq \f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq \f(1,x2)·x＋ln x2＋1，②， 由题意知，①与②相同，∴ 把③代入④有－ ＋ ＝－x1＋1， 即(1－x1)( －1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex； 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1， 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1． 例4. 已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ． 解析:设点(x0，ln x0)是曲线g(x)＝ln x的切线中与直线y＝x平行的直线的切点， 因为g′(x)＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，则1＝eq \f(1,x0)，∴x0＝1，则切点坐标为(1，0)， ∴最短距离为(1，0)到直线y＝x的距离，即为eq \f(|1－0|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2). 例1. 函数g(x)＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________. 解析:设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行， 则 ＝ ＝2x0－eq \f(1,x0)＝1．∴x0＝1，y0＝1， 则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离 d＝eq \f(|1－1－2|,\r(12＋(－1)2))＝eq \r(2)． 例2. 曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 ． 解析:由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－eq \f(1,x). 因为x＞0，所以2－eq \f(1,x)＜2，所以a的取值范围是(－∞，2). 例3. 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”： 求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程， 在点P处的切线，一定是以点P为切点， 过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点． 解析：(1)设切点为(x0，y0)， ∵y′|x＝x0＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(x\o\al(2,0)＋2x0·Δx＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝2x0， ∴y′|x＝1＝2. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 例1.已知曲线y＝x2， (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程． 解析：(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，① 再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝xeq \o\al(2,0)，② 联立①，②得，x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 例1.已知曲线y＝x2， (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程． 解析：(2)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2， 此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10， 此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即10x－y－25＝0. 综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为 2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 例1.已知曲线y＝x2， (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程． 解析：设切点坐标为 ，y′|x＝x0＝3x02－6x0+1 所以切线方程为 ． 因为切线过原点，所以 ， 即 ，解得 或 ， 所以切线方程为 或 . 例2.求函数 的图象上过原点的切线方程． 解析：设点 ，则 .又 ，当 时， ， 则曲线 在点A处的切线为 ，即 ， 将点 代入，得 ，即 ， 易知 存在唯一的实数根 ，故点A的坐标为 . 例3.在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 . 解析：∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x． ∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝(1＋ln x0)x0，))解得x0＝1，y0＝0． ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0． 例4.已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ． 解析：根据y＝ex图象特征，y＝ex是下凸函数， 又过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线， 则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea． 故选D． 例5.(2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a　　　　　　B．ea<b　　　　　　C．0<a<eb 　　　　　　D．0<b<ea $$