专题1.4 充分条件与必要条件分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.4 充分条件与必要条件 高中数学辅导资料 专题1.4 充分条件与必要条件 一、知识归纳： 1．充要条件 ①如果且，则称是的 条件； ②如果且，则称是的 条件； ③如果且，则称是的 条件，简称 条件，记作 . ④如果且，那么称是的 条件. 2．命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫做命题． （2）分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 3．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“ ”，称这个命题为原命题的逆命题． 4．推出符号“”的含义 （1）一般地，“若p，则q”为 ，是指由p通过推理可以得出q． 这时，我们就说，由p可以推出q，记作“ ”． （2）如果“若p，则q”为 ，那么由条件p不能推出结论q，记作“ ”． 5．全称量词与全称量词命题 （1）一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的 ，称为全称量词，用符号“ ”表示.含有 的命题，称为全称量词命题. （2）全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可用符号简记为 . 6．存在量词和存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 表示； （2）含有存在量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为： .其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 7．命题的否定 一般地，对命题p加以 ，就得到一个新的命题，记作“ ”，读作“非p”或“p的否定”. 8．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题，，它的否定： ．即全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 存在量词命题，，它的否定： ．即存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 变为全称量词，全称量词变为 ． 自查自纠： 1．充分不必要 必要不充分 充分必要 充要 既不充分又不必要 2．真假 陈述句 真 假 3．若，则；4． 真命题 假命题 5． 全体 全称量词 6． 7． 否定 8．，不成立 ，不成立 存在量词 存在量词 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列事件描述正确的是． A．：： B．：： C．：： D．：： 2．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次不等式的解集为”的充要条件 D．“一个三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 3． “”的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D．或 4．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设集合，，则“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 6．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（ ） A． B． C． D． 8．若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 10．已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 11．下列不等式： 其中，可以为的充分条件的为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知集合，，则“”是“”的 （充分/必要）条件． 13．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是 . 14．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“a＞0”是“|a|＞0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设是实数，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 5．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．集合的关系如图所示，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若x＞2m2-3的充分不必要条件是-1＜x＜4，则实数m的取值范围是（　　） A．[-3，3] B．（-∞，-3]∪[3，+∞） C．（-∞，-1]∪[1，+∞） D．[-1，1] 8．如果是不等式成立的充分条件，但不是必要条件，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 10．对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 11．下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设，则“”是“且”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知.若q是p的充分条件，则实数a的取值范围为 . 13．设集合，，，则“”是“”的 条件．(填：充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要) 14．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是 .    4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.4 充分条件与必要条件 高中数学辅导资料 专题1.4 充分条件与必要条件 一、知识归纳： 1．充要条件 ①如果且，则称是的 条件； ②如果且，则称是的 条件； ③如果且，则称是的 条件，简称 条件，记作 . ④如果且，那么称是的 条件. 2．命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫做命题． （2）分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 3．逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“ ”，称这个命题为原命题的逆命题． 4．推出符号“”的含义 （1）一般地，“若p，则q”为 ，是指由p通过推理可以得出q． 这时，我们就说，由p可以推出q，记作“ ”． （2）如果“若p，则q”为 ，那么由条件p不能推出结论q，记作“ ”． 5．全称量词与全称量词命题 （1）一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的 ，称为全称量词，用符号“ ”表示.含有 的命题，称为全称量词命题. （2）全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可用符号简记为 . 6．存在量词和存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 表示； （2）含有存在量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为： .其中，为给定的集合，是一个含有的语句. 7．命题的否定 一般地，对命题p加以 ，就得到一个新的命题，记作“ ”，读作“非p”或“p的否定”. 8．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题，，它的否定： ．即全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 存在量词命题，，它的否定： ．即存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 变为全称量词，全称量词变为 ． 自查自纠： 1．充分不必要 必要不充分 充分必要 充要 既不充分又不必要 2．真假 陈述句 真 假 3．若，则；4． 真命题 假命题 5． 全体 全称量词 6． 7． 否定 8．，不成立 ，不成立 存在量词 存在量词 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列事件描述正确的是． A．：： B．：： C．：： D．：： 【答案】C 【详解】由，则，故选项错误；由，则或，故选项错误 由，则，故选项正确；由，当时，则，故选项错误． 故答案为 2．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次不等式的解集为”的充要条件 D．“一个三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【详解】对于A，取，满足，但是推不出且，故错误； 对于B，取，,满足，但是推不出，故错误； 对于C，取一元二次不等式，则其解集为，但是满足，故错误； 对于D，若一个三角形的三边满足勾股定理，则此三角形为直角三角形，充分性满足； 若一个三角形为直角三角形，则此三角形的三边满足勾股定理，必要性也满足，故正确； 故选：D 3． “”的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】由得或；所以要找“”的一个充分不必要条件，即是找的一个真子集；根据题中选项，显然只有B选项符合.故选：B. 4．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件； 由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件, 故选:A. 5．设集合，，则“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 【答案】A 【详解】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A. 6．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】：∵M⊆N，∴a∈M⇒a∈N，而命题若a∈N，则a∈M，不成立，所以“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件. 7．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－,于是－＝1 可得m＝－2，故选A. 8．若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知.故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 【答案】BCD 【详解】因为p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，所以，，，，所以，，则，所以p是q的必要条件，故A错误，B正确；s是r的充要条件，故C正确；r是q的充要条件，故D正确.故选：BCD. 10．已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 【答案】BD 【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.故选：BD 11．下列不等式： 其中，可以为的充分条件的为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【详解】解：根据充分条件的定义知，若，则是的充分条件，故由题知，①不满足子集关系，②③④满足子集关系，故②③④可以是的充分条件.故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知集合，，则“”是“”的 （充分/必要）条件． 【答案】必要 【详解】当时，不能推出，所以充分性不成立．反之，若，则.故“”是“”的必要条件.故答案为：必要. 13．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是 . 【答案】且 【详解】如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.故答案为：且. 14．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，解得.所以.由于是的必要不充分条件，所以，解得.所以的取值范围是.故答案为： B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为是的充分不必要条件，所以，且，因为是的必要不充分条件，所以，且，因为是的充要条件，所以，且，所以，，所以是的必要不充分条件，故选：B 2．“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”，但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”，故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.故选：B 3．“a＞0”是“|a|＞0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件.故选A 4．设是实数，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：的必要不充分条件，即可推答案，由此可知符合题意，故选A. 5．若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为或，所以，所以，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A. 6．集合的关系如图所示，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由Venn图可知是的真子集，所以“”是“”的充分非必要条件，故选A． 考点：充分必要条件． 7．若x＞2m2-3的充分不必要条件是-1＜x＜4，则实数m的取值范围是（　　） A．[-3，3] B．（-∞，-3]∪[3，+∞） C．（-∞，-1]∪[1，+∞） D．[-1，1] 【答案】D 【详解】-1＜x＜4是x＞2m2-3的充分不必要条件，∴-1≥2m2-3，解得-1≤m≤1．故选D． 8．如果是不等式成立的充分条件，但不是必要条件，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，不等式的解集是，设其为，为，则的充分不必要条件是，    则表示的集合是表示的集合的真子集.    则有（等号不同时成立），解得，故选B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意得，当时，，当时，，因为p是q的必要不充分条件，所以 A，所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或， 故选：BC. 10．对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题； B：若时，充分性不成立，假命题； C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题； D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题. 故选：ABD 11．下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设，则“”是“且”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确； 对于B，若，则，所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于C，若“”，则不一定有“且”，而若“且”，则一定有“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，若，则或，则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知.若q是p的充分条件，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】，即，.若q是p的充分条件，则，则，即.∴实数a的取值范围为. 13．设集合，，，则“”是“”的 条件．(填：充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要) 【答案】必要不充分 【详解】因为集合，，所以 而，因为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是 .    【答案】（1）（4） 【详解】图（1）开关闭合则灯泡亮，反之，灯泡亮不一定有开关闭合，，但，所以是的充分不必要条件.图（2）是的充要条件.图（3）开关，与灯泡串联，是的必要不充分条件.图（4）开关闭合则灯泡亮，反之，灯泡亮不一定有开关闭合，，但是的充分不必要条件.故答案为：（1）（4）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$