第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第三章 一元函数的导数及其应用 第一节 第三章　一元函数的导数及其应用 导数的概念及其意义、 导数的运算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 导数的概念 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 导数的运算 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 导数的几何意义 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十九） 本部分内容讲解结束 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数，会使用导数公式表. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T15 T13 全国Ⅱ卷 T14 T16 重点提示：导数的运算、导数的几何意义 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)记作________或___________，即f′(x0)＝ ＝____________________________. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . f′(x0) y′|x＝x0 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为_______________________． 斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) －sin x 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ 0　 αxα－1　 cos x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 　axln a　 ex cf′(x) 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导数，则有 [f(x)±g(x)]′＝______________； [f(x)g(x)]′＝____________________； ′＝____________________(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝________. f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 5．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝____________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y′u·u′x 【常用结论】 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2.＝－(f(x)≠0)． 3．在点处的切线与过点的切线的区别 在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． 过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　) (4)若f(x)＝－sin x，则f′(x)＝cos(－x)．(　　) × × × × 2．(北师大选二P66A组T1改编)设函数f(x)＝x4＋3x－1，则f′(2)＝(　　) A．37 B．21 C．35 D．－1 由f′(x)＝4x3＋3，得f′(2)＝35. 3．(人A选二P81T8改编)曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为______________． 4x＋2y－5＝0　 因为y＝－3ln x，x>0，所以y′＝x－，由y′＝x－＝－2，可得x＝1，x＝－3(舍去)，当x＝1时，y＝，所以曲线y＝－3ln x的斜率为－2的切线方程为y－＝－2(x－1)，即4x＋2y－5＝0. 4．(人A选二P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为________． － 因为y＝e2ax，所以y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，所以在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a，又因为切线与直线2x－y＋1＝0垂直，所以2a×2＝－1，所以a＝－. 【例1】　(1)设f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)＝(　　) A．1 B．3 C． D．0 因为 ＝3 ＝3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝. (2)(多选题)某市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．下列四个结论正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均 分出量比乙小区的平均分出量大 B．在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均 分出量比甲小区的平均分出量大 C．在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区 的分出量增长的慢 D．甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大 对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误；对于B，在[t2，t3]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出 量大于甲，说法正确；对于C，在t2时刻， 乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说 法正确；对于D，甲的图象大致为一条直线， 所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误． (3)某物体做直线运动，其运动规律是s＝3t2＋2t＋4(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度为________m/s. 26 s＝3t2＋2t＋4，求导s′＝6t＋2，令t＝4，得到s′＝26.故它在第4 s末的瞬时速度为26 m/s. [规律方法]　求函数y＝f(x)在点x0处导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)得导数f′(x0)＝ ，简记作：一差、二比、三极限． [提醒]　函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【训练1】　(1)若f′(x)是函数f(x)的导数，且f′(a)＝－1， 则 ＝(　　) A．－5 B．－4 C．－1 D．0 ＝5 ＝5f′(a)＝－5. (2)函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________． 3 4 函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4. 【例2】　求下列函数的导数： (1)y＝x3－2x＋1； (x3－2x＋1)′＝3x2－2xln 2. (2)y＝； ′＝＝. (3)y＝； ′＝＝. (4)y＝(x2＋2)sin x. [(x2＋2)sin x]′＝2xsin x＋(x2＋2)cos x. [规律方法]　导数的计算方法 (1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. 【训练2】　(1)(多选题)(2025·浙江名校联考)下列求导正确的是(　　) A．(log23)′＝ B．[ln(2x)]′＝ C．(sin2x)′＝sin 2x D．′＝ 对于A，(log23)′＝0，故A错误；对于B，[ln(2x)]′＝(ln 2＋ln x)′＝(ln 2)′＋(ln x)′＝，故B正确；对于C，(sin2x)′＝2sin xcos x＝sin 2x，故C正确；对于D，′＝＝，故D错误． (2)已知f(x)＝x(2 025＋ln x)，若f′(x0)＝2 026，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e f′(x)＝2 025＋ln x＋x·＝2 026＋ln x，故由f′(x0)＝2 026，得2 026＋ln x0＝2 026，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B. (3)(2025·江西名校联考)已知f(x)＝ex－f′(0)x，则f(2)的值为________. e2－1 由f(x)＝ex－f′(0)x得f′(x)＝ex－f′(0)，则f′(0)＝e0－f′(0)，得f′(0)＝，故f(x)＝ex－x，因此f(2)＝e2－1. 角度1　求切线方程………………………………教考衔接⑤ 教材题 [题源]　(人A选二P78T3)求曲线y＝x2＋在点(1,4)处的切线方程． 因为y′＝2x－，所以y′|x＝1＝2－3＝－1，所以切线方程为y－4＝－(x－1)，即x＋y－5＝0. 高考题 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　　　　B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. (2)(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，________________. y＝x　 y＝－x 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. (3)(2024·新课标Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f′(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. [规律方法]　求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成． 第一步：设出切点坐标(x1，f(x1))； 第二步：写出过点(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程. 角度2　求切点坐标 【例3】　已知f(x)＝x2－，过原点作曲线y＝f(x)的切线，则切点的横坐标为(　　) A．2 B．－2 C．－ D． 由f(x)＝x2－，得f′(x)＝x＋，设切点坐标为，所以f′(x0)＝x0＋，则切线方程为y－x＋＝(x－x0)，因为切线过原点，所以－x＋＝－x0＝－x－，解得x0＝－，即切点的横坐标为－. [规律方法]　求切点坐标的思路 (1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． (2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标. 角度3　求参数的取值范围 【例4】　(1)若曲线f(x)＝ax2－ln x＋在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 由已知f′(x)＝2ax－－，因为f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，故得f′(1)＝2a－2＝0，解得a＝1，经检验，符合题意．故选A. (2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________________． (－∞，－4)∪(0，＋∞)　 设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝(x0＋1＋a)ex0.因为y0＝(x0＋a)ex0，切线过原点，所以f′(x0)＝，即(x0＋1＋a)ex0＝.整理得x＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，即a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． [规律方法]　利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．注意曲线上点的横坐标的取值范围. 【对点练】 1．(角度1)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝x2f′＋ln x－9，则函数在x＝1处的切线方程是(　　) A．y＝x－9 B．y＝19x－19 C．y＝19x－ D．y＝x＋ 因为f′(x)＝2f′x＋，令x＝，可得f′＝9，所以f(1)＝9＋0－9＝0，f′(1)＝19，所以f(x)在x＝1处的切线方程为y＝19x－19.故选B. 2．(角度2)曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x，则点P的坐标为(　　) A．(2,8)或(－1，－4) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4) D．(1,0) 由f(x)＝x3＋x－2，得f′(x)＝3x2＋1，设点P(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4⇒x0＝±1.将x0＝±1代入f(x)中可得f(1)＝0，f(－1)＝－4，故P(1,0)或P(－1，－4)．当P(－1，－4)时，切线方程为y＋4＝4(x＋1)⇒y＝4x，不符合题意，舍去．所以点P(1,0)． 3．(角度3)已知直线y＝ax＋b与曲线y＝x＋相切，则2a＋b的最大值为(　　) A． B．2 C． D．5 设切点横坐标为m(m≠0)，由y＝x＋，得y′＝1－，由题意可得解得所以2a＋b＝－＋＋2＝－22＋，所以m＝2时，2a＋b的最大值为.故选C. $$