第2章 微突破2 抽象函数-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

抽象函数 微突破二 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标一 抽象函数的赋值法 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标二 抽象函数的对称性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标三 抽象函数的单调性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 目标四 利用函数的模型求抽象函数的值 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 增|分|训|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十二） 本部分内容讲解结束 抽象函数是高考命题的热点，常与数列、不等式等知识巧妙融合，考查学生对知识掌握的内涵及外延及抽象思维能力和逻辑推理能力． 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】　(1)(多选题)已知f(x)是定义域为{x|x≠0}的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有f(x)f(y)＝f(xy)＋f ，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝2 B．f(x)的值域为[2，＋∞) C．f(x)＝f D．f(x)是奇函数 A：令y＝1，则f(x)f(1)＝2f(x)，即f(x)(f(1)－2)＝0.因为f(x)非常数函数，所以f(x)≠0，则f(1)＝2，故A正确；B：令x＝y＝－1，则f(－1)f(－1)＝f(1)＋f(1)＝4，所以f(－1)＝±2，故B不正确；C.令x＝1，则f(1)f(y)＝f(y)＋f，所以(f(1)－1)f(y)＝f，即f(y)＝f，所以f(x)＝f，故C正确；D：令y＝－1，则f(x)f(－1)＝2f(－x)，若f(－1)＝2，则f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，若f(－1)＝－2，则－f(x)＝f(－x)，所以f(x)是奇函数，故D不正确． (2)(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；不妨取f(x)＝0，此时f(x)符合题设，但f(x)无极值，故D不正确．综上，选ABC. (3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝________. 2 因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，所以令x＝y＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，再令x＝2，y＝－1，得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2，所以f(－1)＝0，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2. [规律方法]　赋值法的运用技巧 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，赋值规律一般是将－2， －1,0,1,2…等特殊值代入求解. 【例2】　(2024·河南三模)设函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－1)＋1为奇函数，y＝f(x－2)为偶函数，若f(2 024)＝1，则f(－2)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－3 因为y＝f(x－1)＋1为奇函数，所以f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，则f(－1)＝－1.因为y＝f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称．由f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，得f(－x－2)＝－2－f(x)，所以f(x－2)＝－2－f(x)，则f(x－4)＝－2－f(x－2)＝－2－f(－x－2)＝f(x)，则f(x)的周期为4，f(2 024)＝f(0)＝－2－f(－2)＝1，则f(－2)＝－3.故选D. [规律方法]　已知抽象函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解. 【例3】　(2025·德宏质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若∀x∈(－∞，0]，且x1≠x2，>0，则不等式a2f(a2)－(a－1)f(a－1)>0的解集为(　　) A． 　　 B．(－1,1) C． 　　 D．(0,1) 因为f(x)为奇函数，所以xf(x)是定义在R上的偶函数，由题意可知xf(x)在(－∞，0]上单调递增，则xf(x)在(0，＋∞)上单调递减，设g(x)＝xf(x)，a2f(a2)－(a－1)f(a－1)>0⇔a2f(a2)>(a－1)f(a－1)⇔g(a2)>g(a－1)，所以a2<|a－1|，即解得<a<. [规律方法]　抽象函数不等式解题思路 解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). 【例4】　(1)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，若f(1)＝1，则f(25)＝(　　) A．25 B．125 C．625 D．15 625 由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy可构造满足条件的函数f(x)＝x2，可以快速得到f(25)＝625.故选C. (2)(2025·贵州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1)＝，且f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)的周期为4 C．f(2x－1)关于直线x＝对称 D．f(x)在(0，＋∞)单调递减 由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，可得cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β，可设f(x)＝cos αx，由f(1)＝，即cos α＝，则可取α＝，即f(x)＝cos进行验证．选项A: f(0)＝1，故选项A不正确；选项B：由f(x)＝cos，则其最小正周期为T＝＝6，故选项B不正确；选项D：由于f(x)为周期函数，则在(0，＋∞)不可能为单调函数. 故选项D不正确；选项C：f(2x－1)＝cos，又f ＝cos 0＝1，故此时直线x＝为其一条对称轴．此时选项C正确，故选C. [规律方法]　常见的抽象函数模型 (1)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)． (2)幂函数f(x)＝xα，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f＝. (3)指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝. (4)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f ＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x). 1．(2025·银川一模)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(30)＝(　　) A．2 B．0 C．60 D．62 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2－x)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4；又f(0)＝0，f(1)＝2；所以f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－2，f(4)＝－f(2)＝0；所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0；又30＝2＋7×4；f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(30)＝f(1)＋f(2)＝2.故选A. 2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，则(　　) A．f(6)<f(－7)<f B．f(6)<f <f(－7) C．f(－7)<f <f(6) D．f <f(－7)<f(6) 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f ＝f ＝－f ＝f ，f(－7)＝f(1)，又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，所以f(0)< f <f(1)，即f(6)<f <f(－7)． 3．f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝(　　) A．2 024 B．2 022 C．1 012 D．1 011 由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)·f(1)＝2f(a)，所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2×1 012＝2 024. 4．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(－2)＝－1 C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞) D．f(－2 023)＋f(－2 022)＋…＋f(0)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)＝2 023 对于A中，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B中，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C中，设x1>x2，x＝x1，y＝x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得 f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，所以C错误；对于D中，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2 023)＋f(2 023)＝f(－2 022)＋f(2 022)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2 023)＋f(－2 022)＋…＋f(0)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)＝0，所以D错误．故选AB. 5．(2024·四川三模)已知函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(1＋x)＝f(3－x)，则不等式f(2x－3)>f(5)的解集是________． (1,4)　 因为f(1＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的对称轴为直线x＝2，f(x)在[2，＋∞)单调递减，则f(x)在(－∞，2)单调递增，又因为f(2x－3)>f(5)，由对称性可得|2x－3－2|<|5－2|，所以|2x－5|<3，所以－3<2x－5<3，解得1<x<4. $$