第2章 第7节 第2课时 函数模型及应用-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及应用”专题，依据课标要求梳理指数、对数、幂函数增长特征及一次、二次、指对数等常见函数模型，结合2023年全国Ⅰ卷T10等考情，明确指数、对数函数模型为高频考点，通过表格对比性质、基础自测题归纳常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“考点精研+真题突破”策略，如例1用分段函数刻画运动过程，例3结合指对数运算解决实际问题，培养数学思维与数学语言表达能力。总结增长速度比较、分段函数端点处理等技巧，帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此精准教学，提升备考效率。

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第七节 第二章　函数与基本初等函数 函数的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第七节　函数的应用 函数模型及应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 利用函数图象刻画变化过程 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 构建函数模型解决实际问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十八） 本部分内容讲解结束 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T10 全国Ⅱ卷 重点提示：指数函数模型、对数函数模型 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调_____ 单调_____ 单调_____ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 递增 递增 递增 图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与______平行 随x的增大逐渐表现为与______平行 随α值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xα<ax y轴　 x轴 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函 数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数 相关的模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 【常用结论】 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(　　) × × × √ 2．(苏教必一P150T2改编)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　　) A．ln 2　 　B．ln 3　 　C．　 　D． 由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝. 3．(人A必一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40万元 B．60万元 C．80万元 D．120万元 当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)． 4．(人B必二P40例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 【例1】　已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． [规律方法]　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 【训练1】　如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A­B­C­M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 当点P在AB上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1；当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1<x≤2；当点P在CM上时，y＝××1＝－x＋，2<x≤.综上，y＝f(x)＝函数图象大致如A选项所示． 角度1　构建分段函数、二次函数模型 【例2】　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件商品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) 因为每件商品售价为5元，则x万件商品的销售收入为5x万元，依题意得，当0<x<8时，L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.所以L(x)＝ (2) 年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 当0<x<8 时，L(x)＝－(x－6)2＋9.即当x＝6 时，L(x)取得最大值，最大值为9万元；当x≥8 时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10 时，等号成立，即当x＝10 时，L(x)取得最大值，最大值为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． [规律方法]　(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏. 角度2　构建指、对函数模型 【例3】　(1)(2025·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10－18秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示．《庄子·天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过________天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离．(参考数据：光速为3×108米/秒，lg 2≈0.3，lg 3≈0.48) 31 依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为2×10－18×3×108＝6×10－10米，经过n天后，剩余的长度f(n)＝n米，由f(n)<6×10－10，得n<6×10－10，两边同时取对数，得n>log(6×10－10)＝＝＝≈≈30.73，而n∈N*，则n＝31，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离． (2)科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1 600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的10%. ①现有(ⅰ)f(x)＝0.02x＋5；(ⅱ)f(x)＝0.2x＋10；(ⅲ)f(x)＝10log2x－50三个奖励函数模型．结合函数的性质及已知条件．当x∈[600,1 600]时，判断哪个函数模型符合公司要求？ 由题意，符合公司要求的函数f(x)在[600,1 600]上单调递增，且对任意x∈[600,1 600]，恒有f(x)≥20且f(x)≤. (ⅰ)对于函数f(x)＝0.02x＋5，f(x)在[600,1 600]上单调递增，当x＝600时，f(600)＝17<20不符合要求； (ⅱ)对于函数f(x)＝0.2x＋10，f(x)在[600,1600]上单调递减，不符合要求； (ⅲ)对于函数f(x)＝10log2x－50，f(x)在[600,1 600]上单调递增，且当x＝600时，f(600)＝10log2600－50>10log2512－50＝10×9－50＝40>20，因为f(x)≤f(1 600)＝10log21 600－50<10log22 048－50＝10×11－50＝60，而≥＝60，所以当x∈[600,1 600]时，f(x)<恒成立，因此f(x)＝10log2x－50为符合公司要求的函数模型． ②根据①中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 由f(x)＝10log2x－50≥50得log2x≥10，所以x≥1 024，所以公司的投资收益至少为1 024万元． [规律方法]　应用指、对函数模型应注意的问题 (1)指、对函数模型的应用类型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指、对函数模型来解决． (2)应用指、对函数模型的关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． (3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 【对点练】 1．(角度1)《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t)＝其中W为饮酒者的体重(单位：kg)，m为酒精摄入量(单位：mL)．根据上述关系式，已知某驾驶员体重75kg，他快速饮用了含150mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(　　)(取：ln 2≈0.69，ln 3≈1.1，ln 5≈1.61) A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后 当0≤t<1时，V(t)＝×(－t2＋2t＋1)＝－·[(t－1)2－2]，所以100≤V(t)<V(1)＝＝200，V(t)>20恒成立，当t≥1时，令V(t)＝×t－1＝200×t－1<20，即t－1<，所以t－1>≈23，所以t>24.故选B. 2．(角度2)(2025·陕西模拟)“学如逆水行舟，不进则退”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1＋1%)365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1－1%)365＝0.99365，一年后“进步”的是“退步”的＝365≈1481倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过________天．(精确到整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 12 设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则100×(1－0.2)x≤1.2x，即x≥100，所以x≥log100＝＝≈≈11.36(天)．故最少要经过12天． $$