第2章 第7节 第1课时 函数的零点与方程的解-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第七节 第二章　函数与基本初等函数 函数的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第七节　函数的应用 函数的零点与方程的解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 函数零点所在区间的判定 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 函数的零点及个数的判断 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 函数零点的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十七） 本部分内容讲解结束 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．理解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解用二分法求方程的近似解. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T15 T7 全国Ⅱ卷 T6、T9、T11 重点提示：函数零点的判断方法、零点的应用 1．函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)方程的实数解、函数的图象与x轴的公共点的横坐标、函数的零点三者之间的联系： 函数的零点不是函数y＝f(x)图象与x轴的交点，而是y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数. 2．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． f(a)f(b)<0 　f(c)＝0 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点. 3．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间_____________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)f(b)<0 一分为二 【常用结论】 1．若函数f(x)在定义域上是单调函数，且图象是连续不断的，则f(x)至多有一个零点． 2．函数f(x)的图象是连续不断的，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． 3．函数f(x)的图象是连续不断的，当图象通过零点时，函数值不一定变号． 4．函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，且图象是连续不断的，则不一定能推出f(a)f(b)<0. 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(　　) × × √ × 2．(人A必一P144T2改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝0在(0，＋∞)上最多只有一个根，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)＜0，故f(x)的零点所在的区间为(1,2)． 3．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．故选A. 4．(人B必一P126T3改编)函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________． 由题意，知f(1)＝＋a＝0，解得a＝－. － 【例1】　(1)(2025·昆明诊断)函数f(x)＝x＋1－logx的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． 由题易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f＝＋1－log＝－<0，f＝＋1－log＝－log＝log22－log23＝log2<0，f＝＋1－log＝>0，所以函数f(x)＝x＋1－logx的零点所在的区间为，故选C. (2)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋x2－6，则下列区间中含f(x)零点的是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 由题意知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝ln 1－6＝－6<0，f(1)＝ln 2＋1－6<ln 3＋4－6＝f(2)＝ln 3－2＝ln<0，f(3)＝ln 4＋9－6＝ln 4＋3>0，f(4)＝ln 5＋16－6＝ln 5＋10>0.由函数零点存在定理可知f(x)在区间(2,3)内一定有零点．故选C. [规律方法]　判断函数零点所在区间的方法 (1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)函数零点存在定理． (3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 【训练1】　(1)(2025·长沙调研)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 因为函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在上单调递减，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)最多只有一个零点．因为f(0)＝5－lg 1＝5>0，f(1)＝3－lg 3>0，f(2)＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0，所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2,3)．故选C. (2)已知函数f(x)＝81ln x－x－3－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 因为函数y＝81ln x与y＝－x－3－80在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(2)＝81ln 2－83<0，且f(3)＝81ln 3－81>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故k＝2.故选B. 【例2】　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)设a，b，c分别为函数f(x)＝x－1，g(x)＝xlg x－1，h(x)＝xex－1的零点，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 解法一：(单调性法)令f(x)＝x－1＝0，解得x＝1，即a＝1.因为b是函数g(x)＝xlg x－1＝x的零点，所以b是函数g1(x)＝lg x－的零点．因为函数g1(x)＝lg x－在(0，＋∞)上单调递增，g1(1)＝－1<0，g1(10) ＝1－＝>0，所以1<b<10.显然h(x)在(－∞，0]上没有零点，当x>0时，c是函数h(x)＝xex－1＝x的零点，得c是函数h1(x)＝ex－(x>0)的零点．因为h1(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，h1＝e－2<0， h1(1)＝e－1>0，所以<c<1.综上，b>a>c，故选D. 解法二：(数形结合法)显然f(x)的零点不为0，当x>0时，令f(x)＝x－1＝0，得＝，因为函数f(x)＝x－1的零点为a，所以a是函数y＝(x>0)的图象与y＝(x>0)的图象交点的横坐标，同理可得b是函数y＝lg x的图象与y＝(x>0)的图象交点的横坐标．显然h(x)在(－∞，0]上没有零点，当x>0时，令h(x)＝0，得ex＝，所以c是函数y＝ex(x>0)的图象与y＝(x>0)的图象交点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中，分别 作出函数y＝，y＝lg x，y＝ex和y ＝在(0，＋∞)上的大致图象，如图 所示，由图可知，b>a>c，故选D. [规律方法]　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)函数零点存在定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【训练2】　(2025·广东模拟)函数f(x)＝xsin x－x－1在区间(0，＋∞)上的零点个数为(　　) A．1 B．4 C．2 D．0 当x∈(0，＋∞)时，由f(x)＝0，得xsin x－x－1＝0，即sin x＝1＋，当x∈(0，＋∞)时，sin x≤1恒成立，而1＋>1恒成立，因此sin x＝1＋不成立，所以函数f(x)＝xsin x－x－1在区间(0，＋∞)上的零点个数为0.故选D. 【例3】　(1)若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－5) B．(－5，－1) C．(1,5) D．(5，＋∞) 由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)存在零点，所以即解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1). (2)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 解法一：令f(x)＝g(x)，即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x，原题意等价于当x∈(－1,1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2，若a＝2，令F(x)＝G(x)，可得2x2＋1－cos x＝0.因为x∈(－1,1)，则2x2≥0,1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，所以a＝2符合题意．综上所述，a＝2. 解法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1,1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2，若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1,1)，又因为2x2≥0,1－cos x≥0当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D. [规律方法]　根据函数零点的情况求参数的两种常用方法． (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 【训练3】　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．(1,3) C．(1,2) D．[2，＋∞) 由f(x)＝0得a＝2x－，x∈(1,2)，又y＝2x－在(1,2)内是增函数，所以0<a<3.故选A. (2)已知函数f(x)＝若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________________． (－∞，－2)∪(0,2) 结合f(x)的图象，分情况讨论，当m>0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则⇒0<m<2；当m<0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则⇒m<－2；当m＝0时，两个分段点 重合，不可能有三个不同的根，故舍去．所以m的 取值范围是(－∞，－2)∪(0,2). $$