第2章 第5节 对数函数-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第五节 第二章　函数与基本初等函数 对数函数 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 对数函数的图象及应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 对数函数的性质及应用 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十五） 本部分内容讲解结束 1.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 2．了解对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T10 全国Ⅱ卷 T8 重点提示：对数函数的图象、性质 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________． 微提醒 对数函数y＝logax的3个特征：①底数a>0，且a≠1；②自变量x>0；③系数为1. (0，＋∞) 2．对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 ________ (0，＋∞) y<0 y>0 增函数 减函数 值域 R 性质 图象过定点________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，______当0<x<1时，________ 当x>1时，________当0<x<1时，______ 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是______ (1,0)　 y>0 y<0 3.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称． 【常用结论】 1．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 2．如图所示，则b>a>1>d>c>0.即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数值的符号法则：logab>0⇔(a－1) (b－1)>0，logab<0⇔(a－1)(b－1)<0，其中 a>0，a≠1，b>0.即底真同，大于零；底真异， 小于零． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数．(　　) × √ × × 2．(人A必一P131T1(1)改编)函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(1，＋∞) B． (2，＋∞) C． [1，＋∞) D． [2，＋∞) 要使函数f(x)＝ 有意义，只需 即 解得x≥2，所以函数f(x) 的定义域为[2，＋∞)． 3. (人A必一P132“探究结论”的应用)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3， C4对应的a的值依次是______________________． ，，， 当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0<a<1时，对数函数y＝logax的图象是下降的．对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向，故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是，，，. 4．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 对于函数y＝loga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4)． (2,4)　 【例1】　(1)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a>0，b<－1 B． a>0，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D． 0<a<1，－1<b<0 因为函数f(x)＝loga(x－b) 为减函数，所以0<a<1，又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以1＋b>0，即b>－1，又因为函数图象与y 轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0.故选D. (2)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 025x＋log2 025x，则在R上方程f(x)＝0的实根个数为(　　) A．1 B．3 C．2 D．2 025 当x>0时，令f(x)＝0，即2 025x＝－log2 025x，在同一坐标系中作出函数y1＝2 025x，y2＝－log2 025x的示意图，如图，函数y1＝2 025x为增函数，y2＝－log2 025x为减函数，可知两个函数图象有且只有一个交点P，横坐标记为x0，即当x>0时方程f(x)＝0有且只有一个实 根x0.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以 当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根－x0.又因为 f(x)是R上的奇函数，f(0)＝0，所以0也是方程 f(x)＝0的根．综上所述，方程f(x)＝0有3个实 根，故选B. [规律方法]　对数函数图象的应用技巧 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练】　(2025·广州调研)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 若0<a<1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴为直线x＝<0，则对称轴在y轴左侧，故C，D错误；若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝>0，则对称轴在y轴右侧，故B错误，A正确． 角度1　比较大小……………………教考衔接④ 教材题 [题源]　(人A必一P141T13)比较下列各题中三个值的大小： (1)log0.26，log0.36，log0.46； log0.26＝，log0.36＝，log0.46＝.因为log60.2<log60.3<log60.4<0，所以>>，所以log0.26>log0.36>log0.46. (2)log23，log34，log45. 由log23－log34＝－ ＝>>＝0，即有log23－log34>0，即log23>log34，同理可得log34>log45，则log23>log34>log45. 高考题 (2021·新课标Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a　　　　　B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C. [规律方法]　比较对数式的大小的常用方法 (1)将对数式转化为同底的形式，再根据对数函数的单调性进行比较． (2)利用中间值0或1等进行比较． (3)将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过互相转化进行比较. 角度2　解不等式 【例2】　(1)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________． 由题意知①或②解不等式组①得<x<，不等式组②无解，所以实数x的取值范围是. (2)(2025·安徽江淮十校联考)已知实数a＞0，且满足53a＋2>54a＋1，则不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为____________． 由实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1，所以函数y＝logax为单调递减函数，由不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)，可得解得＜x＜，即不等式的解集为. [规律方法]　解对数的方程、不等式时需注意方面 (1)注意方程或不等式要有意义，即真数大于0. (2)根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性，进而解不等式. 角度3　对数复合型函数的单调性 【例3】　(1)(2025·陕西模拟)设函数f(x)＝log0.5(ax－x2)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 设t＝ax－x2，则其对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，因为y＝log0.5t是减函数，所以要使f(x)在区间(0,1)单调递减，则t＝ax－x2在区间(0,1)单调递增且恒大于0成立，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. (2)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． ①若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； 因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0 ，得－1<x<3，即函数f(x) 的定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x) 在(－1,1] 上单调递增，在[1,3) 上单调递减．又y＝log4x 在(0，＋∞) 上单调递增，所以f(x) 的单调递增区间是(－1,1]，单调递减区间是[1,3)． ②若f(x)的最小值为0，求实数a的值． 若f(x) 的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3 应有最小值1，因此应有 解得a＝. 故实数a 的值为. [规律方法]　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 【对点练】 1．(角度1)已知a＝log42，b＝e，c＝π，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 因为a＝log42＝，b＝e<2＝，c＝π>π0＝1，所以c>a>b.故选D. 2．(角度2)已知集合A＝{x|log2x<m}，B＝，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________． (－∞，2] 由log2x<m⇒0<x<2m，所以A＝(0,2m)；由≤1⇒－1≤0⇒≤0⇒≤0⇒x<4，所以B＝(－∞，4)．因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，所以2m≤4⇒m≤2. 3．(角度3)已知函数f(x)＝loga(2－a2x)在区间[3,7]上单调递增，则a的取值范围为___________． 令u(x)＝2－a2x(a>0)，则u(x)＝2－a2x(a>0)在[3,7]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知y＝logau在[3,7]上单调递减，则解得0<a<，即a的取值范围为. $$