第2章 第3节 幂函数、指数与对数的运算-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第三节 第二章　函数与基本初等函数 幂函数、指数与对数的运算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 幂函数的图象 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 幂函数的性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 指数幂的运算 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 对数的运算 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十三） 本部分内容讲解结束 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解有理数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质． 3．理解对数及有理数指数幂的概念和运算性质，掌握指数幂的运算性质. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T10 全国Ⅱ卷 重点提示：幂函数，指数、对数的运算，换底公式 1．幂函数 (1)幂函数的定义：一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． y＝xα (2)常见的五种幂函数的图象． (3)幂函数y＝xα的性质． ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减． (0,0) 　(1,1) 　(1,1) 幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项. a a a －a 2．根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：①________没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作＝________. ③()n＝________(n∈N*，且n>1)． ④＝________(n为大于1的奇数)． ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 根式 负数 0 3．分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a＝＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． logaN 4．指数幂的运算性质 aras＝________；(ar)s＝________；(ab)r＝________.其中a>0，b>0，r，s∈R. 5．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N．以e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为ln N．负数和0没有对数，loga1＝0，logaa＝1. ar＋s　 ars arbr nlogaM　 6．对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质． ①alogaN＝________；②logaab＝b(a>0，且a≠1)． (2)对数的运算性质． 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝____________； ②loga＝______________； ③logaMn＝________(n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝________(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． N logaM＋logaN　 logaM－logaN 【常用结论】 1．幂函数y＝xα的图象在第一象限内的变化规律 (1)直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α由大到小． (2)y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大． 2．对数的运算 (1)logab·logba＝1. (2)logab·logbc＝logac. (3)loganbn＝logab(n≠0)． (4)logambn＝logab(m≠0)． × × 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (2)＝－4.(　　) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) √ × 由于＝＝4，故错误． 2．(人A必一P127T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a log1210＝＝＝. 3．(人A必一P91练习T1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(4)的值为________． 因为幂函数f(x)＝xα 的图象经过点，所以f(2)＝2α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x，故f(4)＝. 4．(苏教必一P86T8改编)已知a＋a＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________. 7　 47 由a＋a＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47. 【例1】　(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B． －1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D． －1<n<0<m<1 幂函数y＝xα ，当α>0 时，y＝xα 在(0，＋∞) 上单调递增，且0<α<1 时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0 时，y＝xα 在(0，＋∞) 上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0. 综上可知，－1<n<0<m<1.故选D. (2)幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为________． 1 由图象可知，该幂函数在(0，＋∞)单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－1<m<3，m∈Z，故m可取0,1,2，又因为该函数为偶函数，所以m2－2m－3为偶数，故m＝1. [规律方法]　对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 【训练1】　已知幂函数y＝x－1，直线y＝x，y＝1，x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”(如图所示)，那么，幂函数y＝x的图象在第一象限中经过的“卦限”是(　　) A．Ⅵ，Ⅶ B．Ⅳ，Ⅷ C．Ⅲ，Ⅷ D．Ⅲ，Ⅶ 显然，题图中图象下降的曲线表示的函数为y＝x－1，因为－<0，所以函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减．当x＝时，1<＝2<2＝－1，则y＝x的图象在直线y＝1的上方，在y＝x－1的图 象的下方，即y＝x的图象过Ⅳ；当x＝2时，2－1< 2<20＝1, 则y＝x的图象在直线y＝1的下方， 在y＝x－1的图象的上方，即y＝x的图象过Ⅷ. 【例2】　(1)(2025·石家庄调研)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a>b>c D．b<c<a 由a＝，b＝，c＝，得a＝，b＝，c＝.因为幂函数y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，且<<，所以<<，即c<a<b.故选B. (2)已知函数y＝a(x－4)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，且P在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________. 当x＝4时，y的值与a无关，且y＝2，故P(4,2)，设f(x)＝xm，将P(4,2)代入f(x)，解得m＝，故f(x)＝x. [规律方法]　比较幂函数大小的方法 (1)直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较． (2)转化法：当幂的指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小. 【训练2】　(1)(2025·四川模拟)已知a＝40.3，b＝30.4，c＝ln 2，则(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 因为a10＝43＝64，b10＝34＝81，所以b>a>1.又c＝ln 2<1，所以c<a<b.故选A. (2)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，若f(2m＋1)<f(3)，则m的取值范围是_________________________. (－∞，－2)∪(1，＋∞)　 由幂函数f(x)＝xα的图象过点，得2α＝，解得α＝－2，则f(x)＝x－2＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(－x)＝＝f(x)可得f(x)为偶函数，由幂函数的单调性可知，函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减．于是f(2m＋1)<f(3)等价于|2m＋1|>3，解得m<－2或m>1.所以m的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 【例3】　(1)化简：①÷(a>0)； ÷＝÷＝a÷a＝1. ②(0.064)－0＋[(－2)3]＋81－0.25； (0.064)－0＋[(－2)3] ＋81－0.25＝×3－1＋(－2) 3×() 34×(－0.25)＝－1＋＋＝. ③(a>0，b>0)． 原式＝－9a＋b＋＝－9a. (2)已知3a＋2b＝1，则＝________. 因为3a＋2b＝1，所以a＋b＝，所以原式＝＝32a＋b－ a＝3a＋b＝3＝. [规律方法]　指数幂的运算技巧 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练3】　(1)(多选题)下列运算(化简)中正确的有(　　) A．(a)－1·(a－2)＝a B．(xa－1y)a·(4y－a)＝4x C．[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D．2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab 对于A，(a)－1·(a－2) ＝a＋＝a，故正确；对于B，(xa－1y)a·(4y－a)＝4x×a·ya－a＝4xy0＝4x，故正确；对于C，[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1)2×－＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误；对于D,2a3b·(－5ab)÷(4)＝[2×(－5)÷4]a2＋b＋＝－ab，故正确．故选ABD. (2)若x＋x ＝3(x>0)，则＝________. 由x＋x＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，两边再平方，得x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2－2＝45.又x＋x＝(x)3＋(x)3＝(x＋x)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18，所以＝. 【例4】　(1)计算lg 5＋7log72＋log23·log94＋lg 2＝________. 4 lg 5＋7log72＋log23·log94＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)＋7log72＋log23·log94＝lg 10＋2＋log23·log3222 ＝lg 10＋2＋log23·log32 ＝1＋2＋log23·＝4. (2)计算：＝____________. 1 原式＝＝＝＝＝＝1. (3)(2025·天津模拟)已知2a＝15，log83＝b，则2a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 由题意可得2a＝15⇒a＝log215，b＝log83＝log233＝log23，所以a－3b＝log215－3×log23＝log215－log23＝log2＝log25，所以2a－3b＝2log25＝5. (4)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________. 64 解法一：－＝－log2a＝－，整理得(log2a＋1)(log2a－6)＝0，解得a＝或a＝64，因为a>1，所以a＝64. 解法二：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. [规律方法]　对数的运算技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 【训练4】　(1)计算：－31－log32－lg 3log34log45＝________. －　 －31－log32－lg 3×log34×log45＝－3 log3－lg 3××＝1－lg 2－－lg 5＝－. (2)(2022·天津高考)化简(2log43＋log83)·(log32＋log92)＝(　　) A．1 B． C．2 D． 原式＝＝log23×log32＝2，故选C. (3)已知实数m，n满足2m＝9n＝18，则＋＝________. 1 2m＝9n＝18，所以m＝log218，n＝log918，所以＋＝log182＋log189＝log1818＝1. $$