第2章 第2节 第3课时 函数的对称性-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第二节 第二章　函数与基本初等函数 函数的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第3课时 第二节　函数的基本性质 函数的对称性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 函数的轴对称问题 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 函数的中心对称问题 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 函数的双对称问题 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 函数性质的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 真题/重温高考 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十一） 本部分内容讲解结束 1.结合具体函数，了解函数对称性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的对称性． 2．会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T12 全国Ⅱ卷 T11 重点提示：轴对称、中心对称、双对称 (a,0) 1．奇函数、偶函数图象的对称性 (1)奇函数图象关于________对称，偶函数图象关于________对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为________． (3)若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为________． 原点 y轴　 x＝a　 2．函数图象的对称性 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称． (a,0) 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于________对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于________对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于________对称． y轴 x轴　 原点 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．(　　) (2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　) √ √ × √ 2．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A．(0,0)　　　　　　B．(0,1) C．(1,0)　　　　　　D．(1,1) 因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于点(0,0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0,1)对称． 3．(人A必一P87T13)已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　　) A．关于点(1,1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1,1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 函数y＝f(x＋1)为奇函数，图象关于点(0,0)对称，则函数y＝f(x)关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(1,1)对称． 4．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 5 因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 【例1】　(1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝1对称 D．关于直线y＝3对称 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． (2)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项一定成立的是(　　) A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0 C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1 函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则必有f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，所以f(1)＝2－f(1)，f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1，A正确． [规律方法]　对称轴的相关结论 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 【训练1】　(多选题)(2025·甘肃张掖模拟)已知直线x＝1是函数f(x)图象的对称轴，则函数f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ex－1＋e1－x C．f(x)＝cos πx D．f(x)＝x2－2|x| A：函数图象由y＝图象沿x轴向右平移1个单位长度，再把x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，故关于直线x＝1对称，故A正确；B：函数f(x)＝ex－1＋e1－x的图象是由y＝ex＋e－x图象沿x轴向右平移1个单位长度得到的，而函数y＝ex＋e－x是偶函数，关于y轴对称，其图象沿x轴向右平移1个单位长度后的图象刚好关于直线x＝1对称，故B正确；C：令πx＝kπ，k∈Z，则该函数的对称轴为直线x＝k，k∈Z，故x＝1符合题意，故C正确；D：f(－1)＝－1，f(3)＝3，显然f(－1)≠f(3)，故此函数图象不是关于直线x＝1对称的，故D错误．故选ABC. 【例2】　(1)若函数f(x)＝的图象关于点(1,2)对称，则a＝(　　) A．－2　　　B．－1　　　C．1　　　D．2 f(x)＝＝a＋关于(1,2)对称，则a＝2.故选D. (2)(2025·南京模拟)已知函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2,0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝________. 0 因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，又f(－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的一个周期为4，所以f(18)＝f(2)＝0. [规律方法]　对称中心的相关结论 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 【训练2】　(1)若函数f(x)＝的图象关于点(1,0)对称，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(0)＋f(2)＝0，即＋＝0，解得a＝1，所以f(x)＝，经检验知f(x)的图象关于点(1,0)对称，故选C. (2)已知函数f(x)＝，求证：函数y＝f(x)关于点(－1，－1)中心对称． 在函数y＝f(x)的图象上任意取一点P(a，b)，关于点(－1，－1)的对称点Q(－2－a，－2－b)，由f(a)＝b得b＝，即a＝(b≠－1)，把x＝－2－a代入得f(－2－a)＝＝＝＝·＝－b－2，所以对称点Q(－2－a，－2－b)在函数y＝f(x)的图象上．即函数y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称． 【例3】　(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝1＋x，则f(8.6)＝________. 0.4　 由已知得f(x)的图象关于直线x＝0和x＝1对称，故f(x)的周期为2，所以f(8.6)＝f(0.6)＝f(－0.6)＝0.4. (2)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝，则f ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 由f(1＋x)＝f(－x)，且f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(1＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)，所以f(x)＝f(x－2)，则f ＝ f ＝f ＝. [规律方法]　双对称问题 (1)若f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则T＝2|a－b|(a≠b)． (2)若f(x)的图象关于点(a,0)，(b,0)对称，则T＝2|a－b|(a≠b)． (3)若f(x)的图象关于直线x＝a，点(b,0)对称，则T＝4|a－b|(a≠b). 【训练3】　(2024·湖北黄冈一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)为偶函数．当0<x<2时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(101)＝________. 　－1 由题意可知f(x)＝－f(－x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(－x＋2)＝－f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x＋4)＝－f(x)⇒f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)的一个正周期为8，即f(101)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1. 【例4】　(1)(多选题)(2025·沧衡联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(4－x)，当0<x≤2时，f(x)＝x2－2x，则(　　) A．f(3)＝－1 B．f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f(x)的图象关于点(4,0)中心对称 D．当4≤x≤6时，f(x)＝－x2＋10x－24 因为f(x)＝f(4－x)，所以f(3)＝f(1)，因为f(x)＝x2－2x(0<x≤2)，所以f(3)＝f(1)＝－1，则A正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝1.因为f(－1)≠f(3)，所以f(x)的图象不关于直线x＝1对称，则B错误；因为f(x)＝f(4－x)，所以f(－x)＝f(4＋x)．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(4－x)，所以f(x)的图象关于点(4,0)中心对称，则C正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x.设4≤x≤6，则0≤x－4≤2，所以 f(x－4)＝(x－4)2－2(x－4)＝x2－10x＋24.因为 f(x)＝f(4－x)，所以f(x)＝－f(x－4)＝－x2＋10x－24，则D正确． (2)若函数f(x)＝a－为奇函数，则关于x的不等式f(x2)＋f(2x－3)>a的解集为________． (－3,1) 由f(－x)＝－f(x)，得a＝0，即f(x)＝－＝ 当x≥0 时，f(x)＝－1＋在[0，＋∞) 上单调递减，又f(x) 为奇函数，故f(x) 在R上是减函数．由f(x) 为奇函数，则不等式f(x2)＋f(2x－3)>0 可化为f(x2)>f(3－2x)，所以x2<3－2x，解得－3<x<1，故不等式的解集为(－3,1)． [规律方法]　(1)若函数的图象关于点(a，b)对称，关于直线x＝c对称，则函数的周期T＝4|a－c|. (2)周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 【训练4】　(1)(2025·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e2－x，若实数m，n满足f(m)＋f(n)＝0，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 C．e D．4 函数f(x)＝ex－e2－x，f(2－m)＋f(m)＝e2－m－em＋(em－e2－m)＝0，而f(m)＋f(n)＝0，因此f(2－m)＝f(n)，又函数y＝ex，y＝－e2－x在R上递增，则函数f(x)＝ex－e2－x在R上递增，于是2－m＝n，所以m＋n＝2.故选B. (2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是________． 由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)>f(2x－1)即为f(|x|)>f(|2x－1|)．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则由f(|x|)>f(|2x－1|)，得|x|>|2x－1|，化简得3x2－4x＋1<0，解得<x<1. 1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 对于f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故A不符合题意；对于f(x)＝x，由指数函数的单调性可知，f(x)是减函数，故B不符合题意；对于f(x)＝x2，由二次函数的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C不符合题意；对于f(x)＝＝x，由幂函数的性质可知，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故选D. 2．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为直线x＝1，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0，所以－1－>0，即－1>1－，由二次函数性质知g<g，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0，所以－1－<0，即－1<1－，所以g>g，综上，g<g<g，又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选A. 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1,0]．故选B. 4．(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解法一(赋值加性质)：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A. 解法二(构造特殊函数)：由f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos (x＋y)＋cos (x－y)＝2cos xcos y，可设f(x)＝acos ωx，则由解法一中f(0)＝2，f(1)＝1知a＝2，acos ω＝1，解得cos ω＝，取ω＝，所以f(x)＝2cos x，则f(x＋y)＋f(x－y)＝2cos＋2cos＝4cos xcos y＝f(x)f(y)，所以f(x)＝2cos x符合条件，因此f(x)的周期T＝＝6，f(0)＝2，f(1)＝1，且f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A. 5．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 2 因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R，所以f＝f，即2－a＋cos＝2＋a＋cos，则πa＝2－2＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cos x＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. $$