第2章 第2节 第2课时 函数的奇偶性、周期性-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第二节 第二章　函数与基本初等函数 函数的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第二节　函数的基本性质 函数的奇偶性、周期性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 函数的奇偶性 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 函数的周期性 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十） 本部分内容讲解结束 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 2．了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T12 T11 全国Ⅱ卷 T8 T4 T6 重点提示：函数的奇偶性、周期性 原点 1．函数的奇偶性 类别 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________ 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________ 图象 特征 关于______对称 关于______对称 f(－x)＝f(x)　 f(－x)＝－f(x) 　y轴 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 最小正周期 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的________，那么这个最小________就叫做f(x)的____________． f(x＋T)＝f(x)　 正数　 正数　 【常用结论】 1．函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　) × 由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性． (2)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　　) (4)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　) × √ × 若函数f(x)为奇函数，但函数定义域不包括0，则f(0)无意义． 2．(多选题)(人A必一P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的为(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数．故选BC. 3．(多选题)(人B必一P115练习BT4改编)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则(　　) A．f(x)＋g(x)是奇函数 B．f(x)|g(x)|是奇函数 C．f(x)g(x)是偶函数 D．f(g(x))是偶函数 因为f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠f(x)＋g(x)且f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误；因为f(g(－x))＝f(g(x))，所以f(g(x))是偶函数，故D正确． 4．已知f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋ln(x＋1)，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．－x－ln(1－x) B．x－ln(1－x) C．－x＋ln(1－x) D．x＋ln(1－x) 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝－x＋ln(1－x)．故选C. 角度1　奇偶性的判断 【例1】　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； 由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)f(x)＝ 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．因为当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数． (3)f(x)＝log2(x＋)． 显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． [规律方法]　判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 角度2　奇偶性的应用………………教考衔接③ 教材题 [题源]　(人A必一P161T12节选)对于函数f(x)＝a－(a∈R)，是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 假设存在实数a使函数f(x)为奇函数．则有f(－x)＋f(x)＝0，即a－＋a－＝0，解得a＝1.故存在实数a使函数f(x)为奇函数． 高考题 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 　B．0　　 　C．　　 　D．1 解法一：f(－x)＝(－x＋a)ln＝(－x＋a)ln＝(x－a)ln，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以x＋a＝x－a，即a＝0.故选B. 解法二：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为{x，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln－1＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. (2)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x<0，所以－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D. [规律方法]　应用函数奇偶性解决问题的方法 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)求参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值，或得到方程(组)，进而得出参数的值. 【对点练】 1．(角度1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 对A，f(x)＝，函数定义域为R，但f(－1)＝，f(1)＝，则f(－1)≠f(1)，故A错误；对B，f(x)＝，函数定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，故B正确；对C，f(x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称， 则f(x)不是偶函数，故C错误；对D，f(x)＝，函数定义域为R，因为f(1)＝，f(－1)＝，则f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数，故D错误．故选B. 2．(角度2)已知奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝2x－m(m为常数)，则f(－2)＝(　　) A．1 B．2 C．－3 D．3 由于f(x)是奇函数，所以f(0)＝20－m＝1－m＝0，即m＝1，即x≥0时，f(x)＝2x－1，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.故选C. 3．(角度2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B． －1 C． 1 D． 2 解法一：因为f(x) 是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＋＝＝0，所以a－1＝1，所以a＝2.故选D. 解法二：因为f(x) 是偶函数，所以f(1)－f(－1)＝－＝＝0，所以a－1＝1，所以a＝2.故选D. 【例2】　(1)已知函数f(x)在R上满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x) 是周期为2的周期函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2,4]上的解析式为____________________________． f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4] 根据题意，设x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，则有4－x∈[0,2]，当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]． [规律方法]　求解与函数周期性有关问题的解题策略 (1)应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 【训练】　(2025·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. $$