第2章 第2节 第1课时 函数的单调性与最值-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第二节 第二章　函数与基本初等函数 函数的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第二节　函数的基本性质 函数的单调性与最值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 求函数的单调区间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 函数单调性的判断与证明 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 函数单调性的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 2 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（九） 本部分内容讲解结束 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值． 2．理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T4 T6 全国Ⅱ卷 T8 重点提示：函数的单调性、最值 1．函数的单调性 (1)增函数和减函数. 类别 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I 定义 当x1<x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f(x1)<f(x2)　 f(x1)>f(x2) 图象 (2)单调区间的定义：如果函数y＝f(x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的________． 单调递增 单调递减 单调区间 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；②有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接. f(x0)＝M 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得____________ (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得____________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M　 【常用结论】 (1)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． (2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (3)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)满足f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．(　　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　) × × √ × 2．下列函数是增函数的为(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 对于A，f(x)＝|x|在R上不具有单调性，不合题意；对于B，f(x)＝x为R上的减函数，不合题意；对于C，f(x)＝x2在R上不具有单调性，不合题意；对于D，f(x)＝为R上的增函数，符合题意，故选D. 3．函数y＝－在区间[1,2]上的最大值为(　　) A．－ B．－ C．－1 D．不存在 y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1,2]上单调递增，所以ymax＝－＝－. 4．(人A必一P86T7改编)函数f(x)＝的单调递增区间是___________． 由题意可知x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，设y＝，u＝x2－2x，二次函数u＝x2－2x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)，所以f(x)的单调递增区间是[2，＋∞)． [2，＋∞) 【例1】　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x＋ln x. 函数f(x)＝x＋ln x的定义域为(0，＋∞)． 解法一：由于函数y1＝x(x>0)与y2＝ln x(x>0)均是增函数，因此函数f(x)＝x＋ln x的单调递增区间为(0，＋∞)． 解法二：由于f′(x)＝1＋>0，因此函数f(x)＝x＋ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数． (2)f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)． 函数f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)的定义域需满足－x2＋4x＋5>0，解得f(x)的定义域为(－1,5)．又f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)＝log2[－(x－2)2＋9]，因为y＝－(x－2)2＋9在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(－1,2)，单调递减区间为(2,5)． (3)f(x)＝|x|(x－1)． f(x)＝作出图象，可以得到 函数的单调递增区间是(－∞，0)，， 单调递减区间是. [规律方法]　求复合函数的单调区间的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”. 【训练1】　(1)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1,3] D．[－1,1] 函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)的定义域为[－1,3]，因为y＝3＋2x－x2在[－1,1]上单调递增，所以f(x)＝在[－1，1]上单调递增，故选D. (2)f(x)＝的单调递减区间为____________. (1，＋∞) 复合函数f(x)＝可以分为：外部函数y＝0.7u与内部函数u＝x2－2x，因为外部函数y＝0.7u在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求f(x)的减区间，等价于求内部函数u＝x2－2x的增区间，易知u＝x2－2x的增区间为[1，＋∞)，故f(x)的减区间为[1，＋∞)，由于端点不影响函数的单调性，所以f(x)的减区间也可以为(1，＋∞)． 【例2】　判断函数f(x)＝，x∈(－2，＋∞)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 函数f(x) 在(－2，＋∞) 上单调递增．证明如下：f(x)＝＝＝1－，任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－－(1－)＝－＝，又x1<x2，且x1，x2∈(－2，＋∞)，所以x1＋2>0，x2＋2>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x) 在(－2，＋∞) 上单调递增． [规律方法]　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差：f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))． (3)变形：通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (4)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (5)结论：根据定义确定单调性. 【训练2】　(1)下列函数在R上为增函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；y＝x在R上为增函数，故B正确；y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故C错误；y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)已知函数f(x)＝x2－＋1(x>0)，判断函数f(x)的单调性，并证明． 函数f(x)＝x2－＋1在区间(0，＋∞)上单调递增．证明：任取0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x－＋1－x＋－1＝(x2－x1)，因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x2＋x1＋>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)＝x2－＋1在区间(0，＋∞)上单调递增． 角度1　比较大小 【例3】　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f ＝f .由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<<e，所以f(2)>f >f(e)，所以b>a>c. [规律方法]　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解. 角度2　解不等式 【例4】　已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________． (0,1) 由已知得f(x)＝则f(x)在(－1,1)上单调递减，所以解得0<m<1，所以所求不等式的解集为(0,1)． [规律方法]　利用函数单调性解不等式的具体步骤 (1)将不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式． (2)讨论函数f(x)的单调性． (3)根据函数f(x)的单调性去掉“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式，从而得解. 角度3　求参数的取值范围 【例5】　(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋ln x．若f(a＋1)≥f(2a－1)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－1,2] C．[2，＋∞) D． 因为f(x)＝x2－2x＋ln x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝x－2＋＝＝≥0，所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数，所以若f(a＋1)≥f(2a－1)，则a＋1≥2a－1>0，解得<a≤2.故选D. [规律方法]　利用单调性求参数取值(范围)的解题策略 根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值. 【对点练】 1．(角度2)已知函数f(x)＝ln 2－x－x3，则不等式f(3－x2)>f(2x－5)的解集为(　　) A．(－4,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 由题意，x∈R，f(x)＝－xln 2－x3，易知函数f(x)在R上单调递减，而f(3－x2)>f(2x－5)，所以3－x2<2x－5⇒(x－2)(x＋4)>0⇒x∈(－∞，－4)∪(2，＋∞)．故选D. 2．(角度1)已知函数f(x)＝x3－x，a＝f ，b＝f(log23)，c＝f ，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b 因为函数f(x)＝x3－x，可得f′(x)＝3x2－1，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在和上递增，在上递减，因为－<<，可得f >f ，所以a>c，又因为f ＝<f ＝，log23－＝log23－log22>0，所以log23>，所以f(log23)>f >f ，即b>a，所以c<a<b.故选D. 3．(角度3)已知函数f(x)＝若∀x1，x2∈(0,2)，x1≠x2，都有>0成立，则a的取值范围为(　　) A．(0,2] B．(－∞，1] C．(0,1] D．(0，＋∞) 因为对于∀x1，x2∈(0,2)，x1≠x2，都有>0成立，所以函数f(x)单调递增，则函数y＝ax＋1－a(0≤x≤1)和y＝2x2－ax(1<x≤2)均单调递增，且有1≤21－a，即解得0<a≤1. 【微点拓展】 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 【典例】　(1)(多选题)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可 得函数的值域为[2,6)；对于B，(分离常数法)y ＝＝＝2＋，显然≠0， 所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1， 且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得 函数的值域为.对于D，函数的定义 域为[1，＋∞)，因为y＝与y＝ 在[1，＋∞)上均单调递增，所以y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，所以当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)． (2)函数f(x)＝的值域为______________． (－∞，2] 解法一(图象法)：作出函数f(x)＝ 的图象(如图所示)，f(x)max＝f(0)＝2.由函数图象可知， f(x)的值域为(－∞，2]． 解法二(单调性法)：当x≥1 时，函数f(x)＝ 单调递减，所以f(x) 在x＝1 处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1 时，易知函数f(x)＝－x2＋2 在x＝0 处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上，函数f(x) 的最大值为2，所以函数f(x) 的值域为(－∞，2]． 【微练】　(1)设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝(　　) A．4　　　　　　　　　 B．6 C．10 D．24 因为f(x)＝ ＝2＋，所以f(x)在[3,4]上是减函数．所以m＝f(4)＝4，M＝f(3)＝6.所以M＋m＝6＋4＝10.故选C. (2)函数y＝的值域为________． 令sin θ＝t，则t∈[－1,1]，故y＝＝＝－1＋，由于t∈[－1,1]，所以2－t∈[1,3]，∈，所以y＝－1＋∈，即函数y＝的值域为. (3)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 1 解法一(图象法)：在同一直角坐标系中，作函数 f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的 实线部分．易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x) 的最大值为h(2)＝1. 解法二(最值比较法)：依题意，h(x)＝当0<x≤2时，h(x)＝log2x单调递增，当x>2时，h(x)＝3－x单调递减，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. $$