第2章 第1节 函数的概念及其表示-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第二章 函数与基本初等函数 第一节 第二章　函数与基本初等函数 函数的概念及其表示 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 函数的概念 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 函数的定义域 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 函数的解析式 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点四 分段函数 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八） 本部分内容讲解结束 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域． 2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 重点提示：函数的表示、定义域、值域、分段函数 x 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的_________，如果对于集合A中的________________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 ____的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 实数集　 任意一个数x　 唯一 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域________；②对应关系________． (2)结论：这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有________、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 相同 相同 解析法 关于分段函数的3个注意点 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数； (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； (3)各段函数的定义域不可以相交. 【常用结论】 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 2．几种常见函数的定义域： (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数f(x)＝x－1，g(x)＝－1表示的是同一函数．(　　) (2)函数f(x)＝的定义域为R.(　　) (3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) × √ × × 2．(人A必一P64T3改编)已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{x|0≤x≤2}，下列对应关系能够构成从M到N的函数的是(　　) A．f：x→ B．f：x→x2 C．f：x→|x| D．f：x→x－1 对于f：x→，当0≤x≤4时，0≤≤2，对于任意x∈M＝{x|0≤x≤4}，在N＝{x|0≤x≤2}中都存在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确；对于f：x→x2，当0≤x≤4时，0≤x2≤16，当<x≤4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误；对于f：x→|x|，当0≤x≤4时，0≤|x|≤4，当2<x≤4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误；对于f：x→x－1，当0≤x≤4时，－1≤x－1≤3，当0≤x<1或3<x≤4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误．故选A. 3．(人A必一P73T5改编)已知函数f(x)＝，当f(x)＝4时，x的值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．24 因为f(x)＝4，所以＝4，即x＝4x－24，x＝8，故选A. 4．(人A必一P65例2改编)函数f(x)＝＋的定义域为______________________． 由得－3≤x<－2或－2<x≤1. [－3，－2)∪(－2,1]　 【例1】　(1)已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系(x∈M，y∈N)，则能构成从M到N的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x＋1 C．y＝x－1 D．y＝|x| 当x＝4时，y＝42＝16∉N.当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N.当x＝－1时，y＝－1－1＝－2∉N.当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故选D. (2)(多选题)下列各图象中，是函数图象的是(　　) 对于A，由图可知，有一部分的x有两个y的值与其对应，所以不是函数图象，所以A错误；对于B，由图可知，定义域内的每一个x都只有一个y和它对应，所以是函数图象，所以B正确；对于C，由图可知，有一部分的x有两个y的值与其对应，所以不是函数图象，所以C错误；对于D，由图可知，定义域内的每一个x都只有一个y和它对应，所以是函数图象，所以D正确．故选BD. (3)(多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 B．f(x)＝x0与g(x)＝1 C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝·与g(x)＝ 对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；对B：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)的定义域为R，所以f(x)与g(x)不是同一个函数，故B错误；对C：函数f(x)与g(x)的定义域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；对D：函数f(x)＝·的定义域是[1，＋∞)，函数g(x)的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误．故选AC. [规律方法]　函数概念的理解 (1)函数的概念：①A，B是非空的实数集．②函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素则无要求． (2)判断两个函数是否相同的方法：①构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相同函数． 【训练1】　(多选题)下列说法中正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数f(x)＝－的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C．y＝与y＝是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝－中，解得x≥ －1且x≠0，故B正确；因为y＝的定义域为[－3,3)，并且＝，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数．对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f ＝0，所以f ＝f(0)＝1，故D错误． 【例2】　(1)(2022·北京高考)函数f(x)＝＋的定义域是_________________． (－∞，0)∪(0,1] 要使函数f(x)＝＋有意义，则解得x≤1且x≠0，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． (2)f(x)＝的定义域为∪(1,2]，则实数a的值是________． 2 由题意，要使函数f(x)＝有意义，则即所以a＝2，此时由可得x∈∪(1,2]，符合题意． [规律方法]　求给定函数定义域的方法 (1)将给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式(组)求解； (2)当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. 【训练2】　函数f(x)＝的定义域是________. 要使函数f(x)＝有意义，当且仅当解得－<x<1，所以函数f(x)＝的定义域是. 【微点拓展】 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 【典例】　(1)(2025·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(2x－1)的定义域为________． 由－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，所以函数f(2x－1)的定义域为. (2)已知函数f(2x－1)的定义域为[－2,3]，则函数f(x－1)的定义域为_______． [－4,6] 由－2≤x≤3，得－5≤2x－1≤5 ，则－5≤x－1≤5，解得－4≤x≤6，所以函数f(x－1)的定义域为[－4,6]． 【微练】　若函数f(x－1)的定义域为[0,2 025]，则函数g(x)＝的定义域为______________________. [－2,1)∪(1,2 023] 由函数f(x－1)的定义域为[0,2 025]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 024]，则－2≤x≤2 023且x≠1.所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 023]． 【例3】　已知函数f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式． (1)(换元法)已知函数f ＝x. 令t＝＝－1＋(t≠－1)，得x＝，据此可得函数f(x)的表达式是f(x)＝(x≠－1)． (2)(待定系数法)已知二次函数f(x)的最大值是f ＝，且它的图象过点(2,4)． 根据题意设f(x)＝a2＋，又图象过点(2,4)，则a2＋＝4，解得a＝－1，故f(x)＝－2＋. (3)(配凑法)已知f ＝x2＋. 因为f ＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (4)(构造法)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1. 将等式f(x)＋3f(－x)＝2x＋1中的x换为－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，故有解得f(x)＝－x＋. [规律方法]　求函数解析式的方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【训练3】　(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝3x＋2，则f(x)的解析式为______________________________________________． f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝3x＋2，于是有解得或所以f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1. (2)f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为__________________. f(x)＝x2＋x＋1 令x＝0，代入f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)，又f(0)＝1，则f(－y)＝1－y(－y＋1)＝y2－y＋1＝(－y)2＋(－y)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1. 角度1　分段函数求值 【例4】　(2025·四川达州模拟)已知f(x)＝ 则f(f(3))＝________. 1 f(f(3))＝f(－|3－2|＋1)＝f(0)＝－02＋1＝1. [规律方法]　求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在区间及其对应关系，对于复合函数的求值问题，应由里到外依次求值. 角度2　分段函数与方程 【例5】　(1)(多选题)已知f(x)＝若f(m)＝29，则m的值为(　　) A．3 B．－ C．－3 D． 当m≥0时，m3＋2＝29，解得m＝3；当m<0时，－3m＝29，解得m＝－.故选AB. (2)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________. 2 因为f()＝6－4＝2，所以f(f())＝f(2)＝3，即|2－3|＋a＝3，解得a＝2. [规律方法]　解决含参数分段函数问题的方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值. 角度3　分段函数与不等式 【例6】　(2025·吉林九师联盟联考)设函数f(x)＝若f(t)>2，则t的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪ B．(－∞，－1)∪ C． D． 当t≤0时，f(t)＝2－t>2，解得t<－1；当t>0时，f(t)＝logt>2＝log，解得0<t<.综上，t的取值范围是(－∞，－1)∪.故选A. [规律方法]　解决分段函数与不等式问题的策略 (1)分类讨论：解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图象直观地分析判断，可以快速准确地解决问题. 【对点练】 1．(角度2)已知f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2 当a<1时，f(a)＝2a－1＝1，则a－1＝0，解得a＝1(舍去)；当a≥1时，f(a)＝＝1，则＝2，解得a＝4.故选B. 2．(角度1)已知f(x)＝则f ＝(　　) A．1 B．2 C． D． f ＝f ＋1＝f ＋2＝f ＋3＝log2＋3＝－1＋3＝2.故选B. 3．(角度3)已知函数f(x)＝若∃x0∈R，使得f(x0)≤10m＋4m2成立，则实数m的取值范围为________________________________． ∪ 因为函数y＝x2－3x在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当x＝时，函数y＝x2－3x，x≤3取得最小值－.又因为函数y＝log3x在区间(3，＋∞)上单调递增，所以当x>3时，log3x>1.综上可得函数f(x)＝的最小值为－.因为∃x0∈R，使得f(x0)≤10m＋4m2成立，所以－≤10m＋4m2，解得m≤－或m≥－. $$