第1章 第5节 第2课时 一元二次不等式及其解法-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第五节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 二次函数与一元二次方程、不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及其解法 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 一元二次不等式的解法 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 三个“二次”的关系 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 一元二次不等式恒成立问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（六） 本部分内容讲解结束 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 2．会解一元二次不等式和分式不等式． 3．了解较简单的不等式恒成立问题的解法. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T1 全国Ⅱ卷 重点提示：解一元二次不等式、分式不等式、恒成立问题、参数的取值(范围)问题 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1， 或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ (－a，a) 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔__________________. (2)≥0(≤0)⇔_________________________________. 3．简单的绝对值不等式 (1)|x|>a(a>0)的解集为___________________________． (2)|x|<a(a>0)的解集为____________． f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 (－∞，－a)∪(a，＋∞) 【常用结论】 1．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R， 则 2．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅， 则 3．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R， 则 4．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为∅， 则 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) × 若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅. (2)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) × ≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x≠b.故不正确． (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) × ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件应是a<0且Δ≤0或a＝b＝0，c≤0. √ 2．(人A必一P55T1(3)改编)不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<5} B．{x|x<－2或x>5} C．{x|－5<x<2} D．{x|x<－5或x>2} 3．(人B必一P75T5改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 4．(人A必一P58T6改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 当k＝0时，满足题意；当k≠0时， 解得－3<k<0，综上，－3<k≤0. (－3,0] 角度1　不含参数的一元二次不等式 【例1】　(1)求下列不等式的解集： ①x2－4x－5≤0； 原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． ②－x2＋8x<3. 原不等式可化为x2－8x＋3>0，得解集为{x|x<4－或x>4＋}． (2)已知集合A＝{x|x2－8x＋7≥0}，集合B＝{y|y2－10y＋16<0}，则A∩B＝__________. [7,8) 集合A＝{x|x2－8x＋7≥0}＝{x|x≤1或x≥7}，集合B＝{y|y2－10y＋16<0}＝{y|2<y<8}，所以A∩B＝{x|7≤x<8}． [规律方法]　解不含参数的一元二次不等式的步骤 角度2　分式不等式的解法 【例2】　(1)已知x∈R，则“x2－x>0”是“>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 因为x2－x>0，解得x>1或x<0，>0即(x＋1)(x－2)>0，解得x>2或x<－1，所以“x2－x>0”是“>0”的必要不充分条件，故选B. (2)(2025·深圳模拟)不等式x＋1≥的解集为__________________． {x|－2≤x<0或x≥1}　 原不等式可化为x＋1－≥0⇔≥0⇔≥0⇔如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x<0或x≥1}． [规律方法]　解分式不等式的方法 (1)≥0⇔ (2)≤0⇔ 角度3　含参数的一元二次不等式 【例3】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.当a>1时，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. 【变式】　将例题“a>0”条件改为“a∈R”，求不等式的解集． 原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解得1＜x＜.②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或 x＜.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}，当a＜0时，不等式的解集为. [规律方法]　解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式． (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 【对点练】 1．(角度1)已知p：x2＋2x－3<0，q：x2＋x－2<0，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 由p：x2＋2x－3<0，得－3<x<1，由q：x2＋x－2<0，得－2<x<1，则p是q的必要不充分条件．故选B. 2．(角度2)关于x的不等式≥1的解集为(　　) A． B． C． D． 由≥1，得≥0，其解集等价于解得≤x<2.故选B. 3．(角度3)若2∈{x|ax2＋3x＋a2－3>0}，则a的取值范围为(　　) A．(－3，－1) 　　 　 B．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) C．[－3，－1] 　　 　 D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) 由2∈{x|ax2＋3x＋a2－3>0}，得a×22＋3×2＋a2－3>0，即a2＋4a＋3>0，解得a<－3或a>－1，所以实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(－1，＋∞)．故选D. 【例4】　(1)(多选题)(2025·苏州质检)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1<x2，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＋2＝0 B．－3<x1<x2<1 C．|x1－x2|>4 D．x1x2＋3<0 由题知a(x－1)(x＋3)＋2＝ax2＋2ax－3a＋2>0的解集为(x1，x2)，所以a<0，且所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，D正确； 原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)>－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3,1且f(x)的图象开口向下，又x1<x2，f(x)的大致图象如图所示，由图知，x1<－3<1<x2，|x1－x2|>4，故B错误，C正确． (2)若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________． (3,4]　 设方程x2－4x＋a＝0的两根为x1，x2，则x1>1，x2>1，所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x1＋x2>2，(x1－1)(x2－1)>0，由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4；由x1＋x2>2，得4>2显然成立；由(x1－1)(x2－1)>0，得x1x2－(x1＋x2)＋1>0，即a－4＋1>0，解得a>3，综上可得，3<a≤4，所以实数a的取值范围是(3,4]． [规律方法]　理解三个“二次”间的关系 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【训练1】　(多选题)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是{x|x≤－2或x≥6}，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－3} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集是{x D．a＋b＋c>0 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是{x|x≤－2或x≥6}，则a<0，A正确；由题意可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝6，由根与系数的关系可得6－2＝－，可得b＝－4a，－2×6＝，得c＝－12a，由bx＋c>0可得－4ax－12a>0，解得x>－3，B错误；由cx2－bx＋a<0可得－12ax2＋4ax＋a<0，即12x2－4x－1<0，解得－<x<，因此，不等式cx2－bx＋a<0的解集是{x，C正确；a＋b＋c＝－15a>0，D正确． 角度1　在实数集R上恒成立 【例5】　已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A．[0,1] 　　　 B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(0,1] 　　　 D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 当k＝0时，8>0恒成立，符合题意；当k≠0时，要使kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上，k的取值范围是[0,1]． [规律方法]　注意二次项系数为0的情况，分类讨论求参数的取值范围. 角度2　在给定区间上恒成立(有解) 【例6】　(1)已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________． [0，) 由题意得x2－4x－4<1，解得－1<x<5，即x∈(－1,5)．因为f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，所以(m－1，－2m)⊆(－1,5)．所以解得0≤m<，即m∈[0，)． (2)关于x的不等式ax2－2x＋1≤0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是___________． (－∞，1] 由不等式ax2－2x＋1≤0在x∈(0,2]上有解，可得a≤，依题意可知a≤max，令y＝，x∈(0,2]，又y＝＝－2＋1，由x∈(0,2]可得∈，利用二次函数性质可知ymax＝－(1－1)2＋1＝1，即可得a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1]． [规律方法]　有解问题与恒成立问题解题方法 (1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，其本质是将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题，即f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a，b])，f(x)≤0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a，b])． (2)能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似，一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值；二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论：①a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；②a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 【对点练】 1．(角度2)若命题“∃x∈[－1,2]，使x2＋1>m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2) C．(－∞，5) D．(5，＋∞) 由题意命题“∃x∈[－1,2]，使x2＋1>m”是真命题，所以m<(x2＋1)max，当且仅当x＝2，有(x2＋1)max＝22＋1＝5，所以实数m的取值范围是(－∞，5)．故选C. 2．(角度2)若关于x的不等式x2－2mx＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，则m的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，1) 当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－2mx＋1>0恒成立，得2m<min，因为x＋≥2，所以2m<2，解得m<1，即m的取值范围为(－∞，1)．故选D. 3．(角度1)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0对一切x∈R恒成立．当a≠2时，需满足即解得－2<a<2.综上可知，实数a的取值范围是(－2,2]．故选C. $$