第1章 第5节 第1课时 二次函数及其性质-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第五节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 二次函数与一元二次方程、不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数及其性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 7 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 二次函数的解析式 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 二次函数的图象及应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 二次函数的性质应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（五） 本部分内容讲解结束 1.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等)． 2．能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T4 全国Ⅱ卷 T11 重点提示：二次函数的图象、二次函数的性质 1．二次函数解析式的三种形式． 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质. 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 ______________ ______________ 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线________对称 x＝－ 【常用结论】 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)． (2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)． (3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)． (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝ax2＋bx＋c是一元二次函数．(　　) × 函数y＝ax2＋bx＋c，当a＝0时，不是一元二次函数，故错误． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　) √ × 二次函数y＝x2－x与y＝2x2－2x零点相同，但解析式不同，故错误． (4)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为.(　　) × 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，故不正确． 2．(人B必一P98T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　) A．[－6,2] B．[－6,1] C．[0,2] D．[0,1] 3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 由题意，知即解得a>. 4．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为_____________________． 依题意，知≥20或≤5，解得k≥160或k≤40. (－∞，40]∪[160，＋∞) 【例1】　根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则⇒所以该函数的解析式为f(x)＝－x2＋2x－3. (2)当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1,11)； 由题可知：设f(x)＝a(x－3)2＋5(a>0)，所以f(1)＝a(1－3)2＋5＝11，则a＝，所以该函数的解析式为f(x)＝(x－3)2＋5. (3)函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)． 由题可知：f(x)＝a(x－1＋)(x－1－)(a≠0)，所以f(0)＝a(－1＋)(－1－)＝－2，则a＝2，所以该函数的解析式为f(x)＝2(x－1＋)(x－1－)． [规律方法]　求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【训练1】　(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且过点，则函数解析式为_____________． y＝x2－x－4 设函数解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，则－＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝.故所求函数的解析式为y＝(x＋2)(x－4)，即y＝x2－x－4. (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数f(x)的解析式为_____________________. f(x)＝x2－4x＋3 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又因为f(x)的图象经过点(4,3)，所以3a＝3，a＝1.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 【例2】　(多选题)(2025·赣州模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c<0 C．a＋c<b D．abc<0 由题意得a<0，对称轴为直线x＝－＝1，则b＝－2a>0，故A正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，则a＋c<b，故C正确；当x＝0时，y＝c>0，则abc<0，故D正确． [规律方法]　分析二次函数图象问题的要点 一是看二次项系数的符号；二是看图象的对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息. 【训练2】　不等式cx2＋ax＋b>0的解集为 x，则函数y＝ax2－bx－c的图象大致为(　　) { 因为cx2＋ax＋b>0的解集为{x，所以方程cx2＋ax＋b＝0的两根分别为和－1，且c<0，则a＝c，b＝－c，故函数y＝ax2－bx－c＝x2＋x－c＝(x＋2)(x－1)的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为(1,0)和(－2,0)，故A选项的图象符合．故选A. 角度1　二次函数的单调性 【例3】　若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为________． [－3,0]　 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]． [规律方法]　二次函数单调性解题方法 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆ ，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧). 角度2　二次函数的最值 【例4】　已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2. (1)若a＝2，求函数f(x)在区间(－1,2)上的值域； 若a＝2，则f(x)＝4x2－8x＋2＝4(x－1)2－2，对称轴为直线x＝1，函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝－2，又f(x)<f(－1)＝14，所以f(x)的值域为[－2,14)． (2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3，求a的值． f(x)＝42－2a＋2，对称轴为直线x＝，①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2，由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.因为a≤0，所以a＝1－.②当0<<2，即0<a<4时，f(x)min＝f＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a＝－∉(0,4)，舍去．③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.因为a≥4，所以a＝5＋，综上所述，a＝1－或a＝5＋. [规律方法]　二次函数最值问题 抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解. 【对点练】 1．(角度1)“m<－17”是“函数f(x)＝－3x2＋2(1－m)x－5在区间(－∞，6]上单调递增”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 若函数f(x)＝－3x2＋2(1－m)x－5在区间(－∞，6]上单调递增，则≥6，解得m≤－17，因为{m|m<－17}{m|m≤－17}，因此，“m<－17”是“函数f(x)＝－3x2＋2(1－m)x－5在区间(－∞，6]上单调递增”的充分不必要条件，故选B. 2．(角度1)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________． [0,2] 依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. 3．(角度2)若函数y＝x2－2ax＋3在x∈[1,3]上的最大值为6，则实数a＝________. 1 因为y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，x∈[1,3]，所以当a≤2时x＝3，ymax＝9－6a＋3＝6，解得a＝1，当a>2时x＝1，ymax＝1－2a＋3＝6，解得a＝－1，又a>2，故不成立．综上， a＝1. $$