第1章 第4节 基本不等式-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”核心考点，依据课标要求掌握不等式应用及最值求解，通过三年考情分析明确2022年全国卷等真题考查权重，系统梳理定义、重要不等式及配凑法等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧指导，如2022新课标Ⅱ卷多选题解析培养数学思维，通过配凑法、常值代换法等突破考点，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第四节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 基本不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 直接运用基本不等式 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 利用基本不等式求最值················教考衔接② 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 基本不等式的实际应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（四） 本部分内容讲解结束 掌握基本不等式≤(a，b>0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T18 全国Ⅱ卷 T12 重点提示：基本不等式、重要不等式、最值 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立． (3)其中________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数． a>0，b>0 a＝b　 2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 　S2 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值________． (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy有最大值________． x＝y　 2 x＝y 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，那么一定要保证它们等号成立的条件一致. 【常用结论】 1.＋≥2，ab>0. 2．ab≤2，a，b∈R. 3.≥2，a，b∈R. 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)当x≥2时，x＋的最小值为2.(　　) × 设f(x)＝x＋，x≥2，由函数f(x)＝x＋在[2，＋∞)为单调递增函数，所以当x＝2时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(2)＝2＋＝，故错误． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) √ × × 2．(苏教必一P61练习T1)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 3．(人A必一P48复习巩固T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ 　C．3 　　D．4 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 4．一批物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达目的地，已知两地距离400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计)，那么这批物资全部到目的地最少需要________h. 10 当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车最少行驶了＝(h)，最后一辆车驶完全程共需要 h，所以这批物资全部到达灾区最少需要 h，由基本不等式，得＋≥2＝10，当且仅当＝，即v＝80时，等号成立，故最少需要10 h. 【例1】　(1)(2025·沧州七校联考)设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　) A．40 B．10 C．4 D．2 因为x＋4y＝40，且x>0，y>0，所以x＋4y≥2＝4(当且仅当x＝20，y＝5时取“＝”)，所以4≤40，所以xy≤100，所以lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2. (2)若x>1，则函数y＝的最小值为________． 3 y＝＝＝＝x－1＋＋1，因为x>1，所以y＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立．所以函数y＝的最小值为3. [规律方法]　利用基本不等式求最值的注意点 (1)一正：各项必须为正． (2)二定：各项之和或各项之积为定值． (3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 【训练1】　(1)已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4　　　　B．2　　　　C．2－4　　　　D．4 函数y＝＝－3x－＋2＝－＋2，因为x>0，所以3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，故y＝－＋2≤－4＋2，则y的最大值为2－4. (2)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________. 2 因为a>0，b>0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，所以＋＋b的最小值为2. 教材题 [题源]　(人A必一P58T5)若a，b>0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围． 由已知得a＋b＝ab－3，又a，b>0，则a＋b≥2，所以ab－3≥2，所以()2－2－3≥0，则(－3)(＋1)≥0，所以≥3或≤－1(舍去)，所以≥3，则ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围为[9，＋∞)． 高考题 (多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1　　　　 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 对于A，B：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，则(x＋y)2－1＝3xy≤32，则(x＋y)2－1≤(x＋y)2，所以(x＋y)2≤1，则|x＋y|≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正确．对于C，D：由x2＋y2－xy＝1，及基本不等式得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，故C正确． 角度1　配凑法 【例2】　(1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2　　　　B．2＋2　　　　C．2　　　　D．＋2 由题意可知，x－2>0，所以y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，所以函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2. (2)(2025·烟台质检)当x>0时，的最大值为________． 当x>0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，即的最大值为. [规律方法]　配凑法的基本步骤 (1)将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式． (2)利用基本不等式求解最值. 角度2　常值代换法 【例3】　(1)(2025·邯郸模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．4 C． D．9 依题意，因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·＝≥×(2×4＋10)＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立． (2)已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72，当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． [规律方法]　常数代换法的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式． (4)利用基本不等式求解最值. 角度3　消元法 【例4】　(1)(2025·湖南段考)已知a>0，b>0,2a＋b＝ab，则＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．4 D．3＋2 由题意得a＝，b＝.因为b>0，所以a>1，所以＋＝＋a＝3＋＋a－1≥3＋2＝3＋2，当且仅当a＝＋1时等号成立，此时b＝2＋，所以＋的最小值为3＋2.故选D. (2)(2025·郑州模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 6 解法一(换元消元法)：由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 解法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6. [规律方法]　当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【对点练】 1．(角度1)(多选题)下列函数中最小值为2的是(　　) A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋21－x D．y＝ln x＋ 由题意，A项，y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，故A正确；B项，在y＝|sin x|＋中，|sin x|>0，所以y＝|sin x|＋≥2＝2，当且仅当|sin x|2＝1时，等号成立，故B正确；C项，2x>0,21－x>0，故y＝2x＋21－x＝2x＋≥2＝2，当且仅当(2x)2＝2即x＝时等号成立，C错误；D项，x>0，ln x∈R，只有当ln x>0时才有y＝ln x＋≥2＝2，当且仅当(ln x)2＝1即x＝e时等号成立，故D错误．故选AB. 2．(角度2)若x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y的最小值为(　　) A．2 B．2 C．1＋ D．2＋2 2x＋y＝[(2x＋1)＋2(x＋y)]－＝[(2x＋1)＋2(x＋y)]－＝×－≥×－＝×(3＋2)－＝1＋，当且仅当＝时，取等号，所以2x＋y的最小值为1＋.故选C. 3．(角度3)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值为________. 3 因为x2＋2xy－3＝0，所以y＝，所以2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号．故最小值为3. 【例5】　(2025·广东珠海一模)由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价：＝≥，当且仅当m＝n时取等号；第二种方案的均价：＝，因m＋n≥2>0，则≤，故≤，当且仅当m＝n时取等号．所以无论油价如何变化，第二种都更划算．故选B. [规律方法]　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 【训练2】　在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品．实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品(　　) A．大于20克 B．小于20克 C．大于等于20克 D．小于等于20克 设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，y＝，故x＋y＝＋≥2＝20，当且仅当a＝2b时取等号． 微点拓展 基本不等式链 (1)若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立．以上不等式中，，，，分别称为正实数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. (2)此不等式链含6个不等式： ①≤；②≤；③≤；④≤；⑤≤；⑥≤. 【典例】　(多选题)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．有最大值 B．＋有最小值3 C．a2＋b2有最小值 D．＋有最大值 对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”，A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确．故选ACD. 【微练】　(1)当<x<时，函数y＝＋的最大值为________． 2 由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以y的最大值是2. (2)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为________. 20 ＝－2≥－2＝－2＝10，当且仅当x＝y＝10时取等号，所以x＋y的最小值为20. $$