第1章 第3节 等式性质与不等式性质-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第三节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 等式性质与不等式性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 比较数(式)的大小 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 不等式的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 利用不等式的性质求取值范围 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三） 本部分内容讲解结束 1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2．会比较两个数(式)的大小． 3．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 重点提示：比较大小、不等式的性质 1．等式的基本性质 (1)对称性：如果a＝b，那么________． (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么________． (3)可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc. (5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. b＝a a＝c > ＝ 　< 2．比较实数大小 (1)文字叙述：如果a－b是正数，那么a______b；如果a－b等于0，那么a______b；如果a－b是负数，那么a______b．反过来也成立． (2)符号表示：a－b>0⇔a______b；a－b＝0⇔a______b；a－b<0⇔a______b. > ＝ 　< >　 < >　 >　 >　 3．不等式的基本性质 性质1　a>b⇔b________a； 性质2　a>b，b>c⇒a________c； 性质3　如果a>b，那么a＋c________b＋c； 性质4　如果a>b，c>0，那么ac________bc；如果a>b，c<0，那么ac________bc； 性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c______b＋d； 性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac________bd； 性质7　如果a>b>0，那么an______bn(n∈N，n≥2)． < >　 >　 ①同向不等式的两边可以相加，不能相减．②一个不等式的两边同时乘同一正数，不等号方向不变；同时乘同一负数，不等号方向改变. 【常用结论】 1．倒数的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．若a>b>0，m>0⇒<. 若b>a>0，m>0⇒>. 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果c－a>c－b，那么a<b.(　　) (2)若ab>c，b>0，则a>.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) √ √ × a＝－3，b＝－1，则>1，但a<b，故错误． (4)a>b⇔ac3>bc3.(　　) × 由不等式的性质，ac3>bc3a>b；反之，c≤0时，a>bac3>bc3. 2．(人B必一P66“尝试与发现”改编)已知a＝＋，b＝2＋2，则a，b的大小关系是(　　) A．a>b B．a＝b C．a<b D．无法确定 因为(＋)2－(2＋2)2＝16＋2－(16＋2)＝2(－)>0，所以(＋)2>(2＋2)2，所以＋>2＋2，即a>b. 3．(苏教必一P76T8改编)已知a－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．－1<－a<a<1 B．－a<－1<1<a C．－a<－1<a<1 D．－1<－a<1<a 因为a－1>0，所以a>1，由不等式基本性质可得－a<－1，所以－a<－1<1<a，故B正确，A、C、D错误． 4．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是__________． 因为－<α<β<，则－<α<，－<－β<，且α－β<0，所以－π<α－β<0.所以－<(α－β)＋α<.故2α－β的取值范围是. 【例1】　(1)(2025·石家庄调研)已知a＝×e，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a 因为2c－2b＝e－2＋1＝(－1)2>0，所以2c>2b，即c>b；又因为(2b)4－(2a)4＝16e2－e3＝e2(16－e)>0，所以(2b)4>(2a)4，又a，b均为正数，所以2b>2a，即b>a，所以a<b<c. (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． M>N 解法一：令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，所以f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 解法二：因为M－N＝－＝ ＝ ＝>0，所以M>N. [规律方法]　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 【训练1】　(1)已知P＝a2＋b2＋＋c2，Q＝2a＋2b，则(　　) A．P≤Q B．P＝Q C．P≥Q D．P，Q的大小无法确定 P－Q＝－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2＋2≥0，所以P－Q≥0，即P≥Q. (2)已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 由题意，知x，y>0，又＝＝<1，所以x<y. 【例2】　(1)若a，b为实数，且0<ab<1，则以下结论正确的是(　　) A．a< B．a>0，b>0 C．0<a3b2<1 D．－<－1 根据题意，不妨令a＝－1，b＝－，则＝－2，此时a>，所以A错误；若0<ab<1，可知a，b同号，即a>0，b>0或a<0，b<0，所以B错误；不妨令a＝3，b＝，此时满足0<ab<1，但a3b2＝33×2＝>1，所以C错误；由0<ab<1可得>＝1，两边同时乘以－1可得－<－1，所以D正确． (2)(多选题)(2025·安徽模拟)若0<a<b<1，则(　　) A．a＋2>b＋2 B．cos a>sin b C．logab> D．ln a－ln b<a－b 对于选项A：因为(a＋2)－(b＋2)＝(＋－2)(－)，若0<a<b<1，则＋－2<0，－<0，可得(a＋2)－(b＋2)＝(＋－2)(－)>0，所以a＋2>b＋2，故A正确；对于选项B：例如<a<b<1，则cos a<cos＝，sin b>sin＝，即cos a<<sin b，不合题意，故B错误；对于选项C：因为0<a<b<1，则logab<logaa＝1，>1，即logab<1<，故C错误；对于选项D：设f(x)＝ln x－x，x∈(0,1)，则f′(x)＝－1＝>0，可知f(x)在(0,1)内单调递增，若0<a<b<1，则f(a)<f(b)，即ln a－a<ln b－b，所以ln a－ln b<a－b，故D正确．故选AD. [规律方法]　判断不等式是否成立的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性. 【训练2】　(1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立；当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立，所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件． (2)(2025·北京模拟)若a>0>b，则(　　) A．a3>b3 B．|a|>|b| C．< D．ln(a－b)>0 因为a>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，<不成立，故B，C错误；取a＝，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误． 【例3】　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 因为－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7. (2)(多选题)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　) A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<，A错误；因为a>b>c，a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以b＋c＝－a<0，a－b>0，所以a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确；因为a－b>0，a＋b＝－c>0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，C正确；ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误． 【变式】　若将(1)条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，则x－2y的取值范围是____________. [－4,2]　 设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，所以x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，所以解得所以x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)，因为－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，所以－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤，所以－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2，即－4≤x－2y≤2. [规律方法]　不等式性质求代数式取值范围注意点 (1)必须严格运用不等式的性质； (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系； (3)通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】　(1)(多选题)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4,7] B．b－a的取值范围为[2,3] C．ab的取值范围为[3,10] D．的取值范围为 因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，故A正确，B错误；因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤，所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D错误． (2)已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a＋2b的取值范围是________． [2,11]　 设3a＋2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，则解得所以3a＋2b＝(a＋b)＋(a－b)，因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，所以≤(a＋b)≤10，－≤(a－b)≤1，因此，2≤3a＋2b≤11. $$