第1章 第1节 集合-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习（名师划重点）

赢在微点 高考复习顶层设计 数学 名师划重点 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第一节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 集合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 标 要 求 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 三 年 考 情 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础/梳理自测 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 回|归|教|材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基|础|自|测 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点/精研突破 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点一 集合的概念 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点二 集合的基本关系 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 集合的基本运算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考点三 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 真题/重温高考 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（一） 本部分内容讲解结束 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；了解全集与空集的含义． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．理解并会求并集、交集、补集；能用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T1 T1 T1 全国Ⅱ卷 T1 T2 重点提示：集合的关系、集合的运算 属于　 不属于 ∈　 ∉ 列举法　 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特性：________、________、________. (2)元素与集合的关系是_______或_______关系，用符号________或________表示． (3)集合的表示法：________、________、________. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 描述法 图示法 确定性 互异性　 无序性 N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*(N＋)表示正整数集，不包含0. 　B⊇A 2．集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中________元素都是集合B中的元素 ________(或_________) 或 任意一个 A⊆B BA 真子集 集合A⊆B，但存在元素_____________ ________(或_______) 集合 相等 集合A，B中元素相同 A＝B x∈B，且x∉A AB　 ①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；②任何集合都是自身的子集，即A⊆A；③∅是指不含任何元素的集合，{∅}是指以∅为元素的集合. {x|x∈U， 且x∉A} 3．集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝________________________ A∩B＝________________________ ∁UA＝ ________________________ {x|x∈A， 或x∈B}　 {x|x∈A， 且x∈B} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B． (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【常用结论】 1．若有限集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集． 2．集合中元素的个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0,1}．(　　) × 错误．－1∉N. (2)任何一个集合都至少有两个子集．(　　) × 错误．空集只有一个子集． (3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆M∩N.(　　) × 错误．{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集． √ 2．若M＝{－1,0,1,2,3,4,5，6,7}，N＝{x|x2－2x－3＝0，x∈R}，则∁MN＝(　　) A．{－1,3} B．{－1,0,1,2,3,4,5,6,7} C．{0,1,2,4,5,6,7} D．{1,2,3,4,5,6,7} 3．(人A必一P9T5(1)改编)设x，y∈R，P＝{x＋y，3}，Q＝{x－y，－1}，若P＝Q，则x2＋y2＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 因为P＝{x＋y,3}，Q＝{x－y，－1}，且P＝Q，所以解得所以x2＋y2＝12＋(－2)2＝5.故选D. 4．(人A必一P9T5(2)改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|1<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是_____________． 由图可知a≥2. [2，＋∞) 【例1】　(1)(多选题)下列结论中，正确的有(　　) A．{x|x＋y＝1}＝{y|x＋y＝1} B．{(x，y)|x＋y＝2}＝{x|x＋y＝2} C．{x|x>2}＝{y|y>2} D．{1,2}＝{2,1} x＋y＝1中，x的取值范围为R，所以{x|x＋y＝1}＝R，同理{y|x＋y＝1}＝R，所以A正确；{(x，y)|x＋y＝2}表示直线x＋y＝2上点的集合，而{x|x＋y＝2}＝R，所以B错误；集合{x|x>2}，{y|y>2}都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；由于集合中的元素具有无序性，所以{1,2}＝{2,1}，所以D正确．故选ACD. (2)集合A＝{(x，y，z)|x∈{0,1}，y，z∈{2,3,4}}中元素的个数为(　　) A．18 B．12 C．8 D．5 集合A＝{(x，y，z)|x∈{0,1}，y，z∈{2,3,4}}中元素的个数为2×3×3＝18.故选A. (3)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 025＋b2 025的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．±1 由集合相等可知0∈，且a≠0，则＝0，所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，所以a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1. [规律方法]　解决集合含义问题的要点 一是确定构成集合的元素是什么；二是看这些元素的限制条件是什么；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． [提醒]　含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性. 【训练1】　(1)(多选题)已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋2}，下列关系正确的是(　　) A．(1,3)∈B B．(0,0)∉B C．0∈A D．A＝B 因为集合A＝{y|y≥2}＝[2，＋∞)，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋2}是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，所以AB正确，CD错误．故选AB. (2)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}只有一个元素，则实数a的值为(　　) A．　　　B．0　　 　C．或0　　　D．1 当a＝0时，A＝{x|－3x＋2＝0}＝，满足题意；当a≠0时，Δ＝9－8a＝0，a＝，此时A＝{x＝，满足题意．所以a＝0或a＝. 【例2】　(1)(2025·重庆模拟)已知集合A＝{1,3}，B＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≤0，a∈R}，若A∪B＝B，则(　　) A．a＝1 B．a＝3 C．1<a<3 D．1≤a≤3 B＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≤0，a∈R}＝{x|a－2≤x≤a，a∈R}，若A∪B＝B，则A⊆B，又A＝{1,3}，所以解得a＝3.故选B. (2)(2024·九省适应性考试)已知集合A＝{－2，0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 5 若A∩B＝A，则A⊆B，因为B＝{x|3－m≤x≤3＋m}， 所以所以m≥5，所以mmin＝5. [规律方法]　集合间基本关系解题策略 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观的解决这类问题. 【训练2】　(1)已知集合A，B，若A＝{－1,1}，A∪B＝{－1,0,1}，则一定有(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．0∈B 因为A＝{－1,1}，A∪B＝{－1，0,1}，所以B＝{0}或B＝{－1,0}或B＝{0,1}或B＝{－1,0,1}，所以A，C不一定成立，B一定不成立，D一定成立．故选D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意；综上所述：a＝1.故选B. (3)设集合M＝{x|－3<x<7}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}．若M∪N＝M，则实数t的取值范围为___________. (－∞，3] 由M∪N＝M，得N⊆M.因为集合M＝{x|－3<x<7}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，当N＝∅时，有2－t≥2t＋1，解得t≤；当N≠∅时，有解得<t≤3.综上，实数t的取值范围为(－∞，3]． 角度1　集合的运算……………………教考衔接① 教材题 [题源1]　(人A必一P14T1)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B． [题源2]　(人A必一P14T4)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB)． [题源1]　(人A必一P14T1)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B． 由集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∪B＝{x|2≤x<4}∪{x|x≥3}＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|2≤x<4}∩{x|x≥3}＝{x|3≤x<4}． [题源2]　(人A必一P14T4)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB)． 因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}，A∩B＝{x|3≤x<7}，∁RA＝{x|x<3或x≥7}，∁RB＝{x|x≤2或x≥10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}；∁R(A∩B)＝{x|x<3或x≥7}；(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}；A∪(∁RB)＝{x|x≤2或3≤x<7或x≥10}． 高考题 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0}　　 B．{2,3} C．{－3，－1,0} D.{－1,0,2} (2)(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} (3)(2023·全国乙卷)设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM) C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN) (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0}　　 　 　 B．{2,3} C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2} 因为A＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1,0,2,3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1,0}．故选A. (2)(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} 由题意得M∪N＝{x|－3<x<4}．故选C. (3)(2023·全国乙卷)设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM) C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN) 由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A项正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x>－1}，B项错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C项错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x<1或x≥2}，D项错误．故选A. [规律方法]　集合运算的常用方法 (1)根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解． (2)可结合数轴以及Venn图求解. 角度2　利用集合的运算求参数 【例3】　(1)(2025·沧衡模拟)已知集合A＝{x|－2<x<5}，B＝{x|2a－1<x<2a＋6}，若A∩B＝{x|3<x<5}，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 由题意可得解得a＝2. (2)已知集合M＝{x|3x－x2≥0}，N＝{x|(x－a)2≤4}，若(∁RM)∪N＝R，则实数a的取值范围为________． [1,2] 集合M＝{x|3x－x2≥0}＝{x|0≤x≤3}，N＝{x|(x－a)2≤4}＝{x|a－2≤x≤a＋2}，∁RM＝{x|x<0或x>3}，因为(∁RM)∪N＝R，所以解得1≤a≤2.故实数a的取值范围为[1,2]． [规律方法]　利用集合的运算求参数的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍． (2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解. 角度3　Venn图的应用 【例4】　(2025·海南模拟)如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|(2x－3)(x＋1)≤0}，B＝{x|x>0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|x≤－1} B． C．{x|x<－1} D． 依题意，集合A＝{x|－1≤x≤}，而B＝{x|x>0}，则A∪B＝{x|x≥ －1}，由Venn图知，图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)＝{x|x<－1}．故选C. [规律方法]　在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍．用Card表示有限集合中元素的个数，即Card(A)表示有限集合A中元素的个数. 【对点练】 1．(角度1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{－1,0,1,4} A∩B＝{0,1}，故选C. 2．(角度1)已知全集U＝R，集合A＝{x|2x<1}，B＝{x|x－2<0}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{x|0≤x<2} B．R C．{x|0<x<2} D．{x|x<2} 由集合A＝{x|2x<1}＝{x|x<0}，B＝{x|x－2<0}＝{x|x<2}，则(∁UA)∪B＝{x|x≥0}∪{x|x<2}＝R. 3．(角度2)设集合A＝{0，a}，B＝{1，a－2,3a－4}，若A∩B＝A，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－2 由A∩B＝A，得A⊆B.若a＝1，则A＝{0,1}，B＝{1，－1，－1}，不符合题意；又a≠a－2，所以解得a＝2.故选A. 4．(角度3)某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学的人数为________． 106 设集合A，B，C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出Venn图，如图所示．由图可知，高一年级参加比赛的同学的人数为46＋37＋1＋12＋2＋6＋2＝106. 1．(2022·新课标Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4} 解法一：因为B＝{x||x－1|≤1}，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B. 解法二：因为4∉B，所以4∉A∩B，排除C，D；又－1∉B，所以－1∉A∩B，排除A.故选B. 2．(2022·新课标Ⅰ卷)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A．{x|0≤x<2} B． {x|≤x<2} C．{x|3≤x<16} D．{x|≤x<16} 因为M＝{x|<4}，所以M＝{x|0≤x<16}．因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝{x.所以M∩N＝{x. 3．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} 由题意可知A∩B＝{1,4,9}，故∁A(A∩B)＝{2,3,5}．故选D. 4．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以，∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 5．(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占 该中学学生总数的比例为x，则(60%－x) ＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C. $$