微练(13) 抽象函数-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

微练(十三) 抽象函数 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 证明 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 证明 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1,2]，则函数y＝的定义域为(　　) A．{x|－1<x≤2} B．{x|－1<x≤5} C．{x|－1<x≤} D．{x|－1≤x≤5} f(2x＋1)的定义域为[－1,2]，由x∈[－1,2]，得2x＋1∈[－1,5]，因此f(x)的定义域为[－1,5]，所以函数y＝的自变量x满足－1≤x≤5，x＋1≠0，得－1<x≤5，故选B. 2．若f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝f(2x＋2－x) B．y＝f(2x－x) C．y＝f(2x－2－x) D．y＝f(2x＋x) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)．对于A，函数y＝f(2x＋2－x)，f(2－x＋2x)＝f(2x＋2－x)，所以函数y＝f(2x＋2－x)不是奇函数；对于B，函数y＝f(2x－x)，f(2－x＋x)≠－f(2x－x)，所以函数y＝f(2x－x)不是奇函数；对于C，函数y＝f(2x－2－x)，f(2－x－2x)＝－f(2x－2－x)，所以函数y＝f(2x－2－x)是奇函数；对于D，函数y＝f(2x＋x)，f(2－x－x)≠－f(2x＋x)，所以函数y＝f(2x＋x)不是奇函数．故选C. 3．函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为R上的奇函数，若f(1)＝2，则f(2 025)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 因为y＝f(x－2)为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(－2,0)对称，即f(－x)＋f(x－4)＝0，又y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝f(x－4)，即f(x＋4)＝f(x)，所以y＝f(x)的周期为4，故f(2 025)＝f(1＋2 024)＝f(1)＝2.故选D. 4．(2025·常州质检)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是(　　) A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 解法一：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)的图象关于(1,0)中心对称；因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2)．又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数． 解法二：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝ －f(－x)．因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2)．因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)＝ f(－x)，f(x)是偶函数．故选A. 5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，＋∞) 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.故选C. 二、多项选择题 6．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则(　　) A．f(0)＝ B． f(x)为奇函数 C． f(x)为周期函数 D． f(2)＝－ 取x＝1，y＝0代入4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，解得f(0)＝，故A正确，B错误；令y＝1，则4f(x)f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，故f(x＋6)＝f(x＋5)－f(x＋4)＝－f(x＋3)＝f(x＋1)－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，故C正确；又f(0)＝，f(1)＝，所以f(2)＝－，故D正确．故选ACD. 三、填空题 7．写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝_________________. ①f(x)是定义域为R的奇函数； ②f(1＋x)＝f(1－x)； ③f(1)＝2. 由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sinx. 2sinx(答案不唯一) 8．已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝ f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 025)＝________. 因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即y＝f(x)是偶函数．对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，令x＝－1，可得f(1)f(－1)＝2f(1)，又f(x)>0，所以f(－1)＝2，则f(1)＝f(－1)＝2，所以函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)f(x)＝4，所以f(x＋4)f(x＋2)＝4，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2. 2　 四、解答题 9．已知f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝3f(x)f(y)，f(1)＝. (1)证明：f(x)是偶函数； f(x)的定义域为R，令x＝1，y＝0，得f(1＋0)＋f(1－0)＝3f(1)f(0)，所以f(0)＝，令x＝0，得f(0＋y)＋f(0－y)＝3f(0)f(y)，所以f(－y)＝f(y)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)求(k)． 令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝3f(x)f(1)＝f(x)　①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②，由①，②知，f(x＋2)＋f(x－1)＝0，所以f(x＋3)＋f(x)＝0，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期是6.由②得，f(2)＋f(0)＝f(1)，所以f(2)＝－，同理f(3)＋f(1)＝f(2)，所以f(3)＝－，又由f(x)是偶函数且周期为6可得，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－，f(5)＝ f(－1)＝f(1)＝，f(6)＝f(0)＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，所以(k)＝337(k)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－. 10．已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)． (1)求证：f(x)是奇函数； 令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－f(1)＝0，令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)设g(x)＝，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集． 因为f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，所以＝＋，所以g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)，设x1>x2>0，则>1，所以g<0.因为g(x1)＝g＝g(x2)＋g<g(x2)，所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数．因为g(－x)＝＝ ＝g(x)，所以g(x)是偶函数，所以g(|x－2|)>g(|x|)，所以解得x>1且x≠2，所以不等式g(x－2)>g(x)的解集为{x|1<x<2或x>2}． $$