微练(11) 函数的对称性-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

微练(十一) 函数的对称性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 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因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．故选B. 2．若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0,1)上，有 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称 C．在区间(2,3)上，f(x)单调递减 D．f>f f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称；因为f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，故A，B错误；根据题意可得，f(x)在(0,1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，关于点(2,0)中心对称，则f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确；又因为f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，则f＝f<f，故D错误． 3．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则令g(x)＝f(x＋1)＝－(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝－x2＋(b－2)x＋c＋b－1是偶函数，g(－x)＝g(x)，所以b＝2，所以f(x)＝－x2＋2x＋c，其对称轴为x＝1，函数图象为抛物线开口朝下，函数f(x)＝－x2＋2x＋c，在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是：f(－1)<f(2)<f(1)，故选D. 4．已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象的一个对称中心是(　　) A．(1,0) B．(－1,0) C． D． f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位长度得到的，故其图象关于点成中心对称．故选C. 5．定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(x＋10)为偶函数，且f(5－x)＝f(5＋x)，则f(x)一定(　　) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 易知直线x＝5和x＝10是f(x)的图象的两条对称轴，所以10是f(x)的一个周期，则直线x＝0也是f(x)的图象的对称轴，所以f(x)是偶函数．故选A. 6．已知f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝－3x2＋2，则f＝(　　) A．－ B． C．－ D． 因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(2－x)＝－f(x)．因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4(2－1)＝4为周期的周期函数．又当x∈[1,2]时，f(x)＝－3x2＋2，所以f＝f＝f＝－f＝－f＝.故选B. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解法一：因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，f(x)＋f(2－x)＝0，即x3＋ax2＋x＋b＋(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以解得故选C. 解法二：由题意可得，所以故选C. 8．已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与 y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A. 二、多项选择题 9．设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1,0)对称 因为f(x)＝2x－1＋21－x，所以f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C 正确，A、D错误；因为f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，故B错误．故选ABD. 10．(2025·长沙四校联考)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(－x)＝－f(x＋4) D．f(x＋2)＝f(x－2) 因为f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，则f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＋2替换x，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选ABC. 11．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是(　　) A．f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 因为f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A错误，B正确．因为f＝cos x＋，f＝cos x＋，所以f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确．又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋＝sin x＋，f(－x)＝－sin x－，所以f(x＋2π)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确．故选BCD. 三、填空题 12．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________. 因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 2 13．(2025·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为 ________________． {x 因为y＝f(x＋3)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称．因为当x≥3时，f(x)＝log2x，所以f(x)在[3，＋∞)上单调递增，所以|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，所以(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，解得x<－3或x>. 14．写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非 常数函数，f(x)＝__________________________________________________. cos πx(形如acos πx＋b或a＋b或a＋b等) 因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1，故可取函数f(x)＝cos πx. 15．已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有6个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则(xi＋yi)＝________. 6 因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．又y＝1＋的图象关于点(0,1)对称，所以x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋…＋y6)＝6. 16．已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； f(x)的图象关于直线x＝2对称． 证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)求f(x)的单调区间． 设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增．又f(x)的图象关于直线x＝2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． $$