专题6 百分数的应用(解决问题讲义)数学北师大版六年级上册

第六单元 百分数应用 1. 求一个数比另一个数多或少百分之几实际问题。 ----题型特点：求多（或少）百分之几； ----计算方法：多（少）的量÷单位“1”的量； ----关键点：找准单位“1”的量，“比”字后面的量是单位“1”的量。 2. 比一个数多或少百分之几是多少实际问题。 ----题型特点：已知单位“1”的量，求比较量； ----计算方法：比较量=单位“1”的量±单位“1”的量×百分率； 或比较量=单位“1”的量×（1±百分率）； ----关键点：找准单位“1”的量，“比”字后面的量是单位“1”的量。 3. 已知比一个数多或少百分之几，求这个数的实际问题。 ----特点：已知比较量，求单位“1”的量； ----计算方法：单位“1”的量=已知量÷（1-百分率） ；还可以列方程解决； ----关键点：找准单位“1”的量，“比”字后面的量是单位“1”的量。 4.已知一个数的百分之几比它的百分之几多（少）多少，求这个数的实际问题。 ----题型特点：差倍问题，求单位“1”的量（即总量）； 即已知两个部分量之间的差及两个部分量对应总量的百分率，求总量； ----计算方法：总量=相差的量÷相差的分率； ----关键点：判断好单位“1”的量，且单位“1的量相同” ----还可以列方程解决问题：设单位“1”的量为x。 方法一:A%x-B%x=两个部分量的差; 方法二:(A%x-B%)x=两个部分量的差。 (x代表总量，A%代表较大的部分量所占的百分率，B%代表较小的部分量所占的百分率) 5. “已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量”的应用题： ----题型特点：已知一部分的分率和另一部分的量，求单位“1”的量； ----计算方法：（1）把总量看作单位“1”，可以根据“总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量”列方程解答; （2）或也可以根据“总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量”列方程解答。（3）或算式方法解答（量率对应）：总量=另一部分量÷（1-几分之几）； ----关键点：找准单位“1”的量。 6.利息问题 ----题型特点：把钱存入银行就是储蓄，储蓄时，存入银行的钱就是本金，取款时银行多支付的钱就是利息,利息与本金的比值就是利率，利率有活期利率、月利率和年利率； ----计算方法：利息=本金x利率x时间 本息和=本金+利息； ----关键点：计算利息时，若是年利率，则时间单位是年:若是月利率，则时间单位是月数÷12。 类型1 ：求一个数比另一个数多或少百分之几实际问题。 典型例题1：一种电水壶原价200元，现价160元，电水壶降价了百分之几？ 思路分析： （1）单位“1”的量是电水壶的 价； （2）电水壶降价了百分之几？即表示电水壶的 价比 价少百分之几？ （3）解法一： 可以先求出电水壶的现价是原价的百分之几？再求出现价比原价少百分之几？列式为 ； （4）解法二： 也可以先求出电水壶降价了多少元？再求出降价了百分之几？ 列式为： 。 答题区： 变式训练： 1. 一项工程实际投资 390万元，比计划节省了10万元。实际投资比原计划节省百分之几? 2. “双减”政策实施后，张老师从作业设计上注重了学生作业效率的提高。同样的作业，亮亮做完用了 20 分，乐乐做完用了 25 分。亮亮的做题速度比乐乐快百分之几? 类型2： 比一个数多或少百分之几是多少实际问题。 典型例题2：实验田去年收花生2.5t，今年比去年增产二成五，今年收花生多少吨? 思路分析： （1）根据题干可知单位“1”的量是 年花生产量； （2）解法一： 今年比去年增产二成五，即表示今年花生产量比去年花生产量还多 年花生产量的25%； （3）今年花生产量=去年花生产量+ 年花生产量×25%，据此列式为2.5+ × = （吨） （4）解法二： 今年比去年增产二成五，也可以表示为今年花生产量是去年的（ + ）= %， 即今年花生产量=去年花生产量×（ + ），据此列式为2.5×（ + ）= （吨）。 答题区： 变式训练： 1.六年级有女生120人，男生人数比女生人数少10%,六年级共有学生多少人？ 2.一个羊圈依墙而建，呈半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏? (2)牧羊人将羊圈半径的长度增加了 20%，这时羊圈的面积是多少? 类型3 ： 已知比一个数多或少百分之几，求这个数的实际问题。 典型例题3：某电脑专卖店十月份的营业额是 480万元，比九月份增加了 20%，九月份的营业额是多少万元? 思路分析： （1）本题单位“1”的量是 月份的营业额； （2）比九月份增加了 20%，表示 月份的营业额比 月份多20%； （3）方法一：方程法求解 设 月份的营业额为x万元。 根据数量关系：九月份的营业额+ 月份的营业额×20%=十月份的营业额； 列出方程式： ，解得x= ； 或根据数量关系式：月份的营业额×（1+20%）=月份的营业额； 列出方程式： ，解得x= ； （4）方法二：算式法求解。 十月份的营业额=九月份的营业额○（1+20%），列式计算为 （万元）。 答题区： 变式训练： 1.东方村今年桃子大丰收，产量达到3.6万吨，比去年增产了二成，东方村去年桃子的产量是多少万吨？ 2. 参加跳绳比赛的有54人,比参加排球比赛的少25%,参加排球比赛的有（ ）人。 A.216 B.43 C.72 D.18 类型4： 已知一个数的百分之几比它的百分之几多（或少）多少，求这个数的实际问题。 典型例题4：收集的名山图片占60%，河流图片占30%，名山图片比河流图片多30张，一共收集了多少张图片? 思路分析： （1）本题单位“1”的量是 ； （2）方法一：方程法 等量关系： 图片- 图片=30张；因为单位“1”的量未知，所以可以假设 为x张。列出方程式为 ，解得x= ； （3）方法二：量率对应 名山图片比河流图片多占 图片的百分之几？即30张； 列式为30○（ - ）= （张） 答题区： 变式训练： 下表是小明家五、六、七月份家庭消费情况。 月份 五月份 六月份 七月份 食品支出占家庭总支出的百分比 55% 52% 50% 其他支出占家庭总支出的百分比 45% 48% 50% （1）六月份其他支出比食品支出少240元，这个家庭的总支出是多少元？ （2）七月份，食品支出占家庭总支出的50%，旅游支出占10%，两项支出一共是1080元，这个家庭的总支出是多少元？ 类型5： 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量的实际问题。 典型例题5：笑笑参加学校的冬季运动长跑活动。已经跑了70%，还剩下300米，笑笑一共要跑多少米？ 思路分析： （1）本题单位“1”的量是 ； （2）方法一：方程法 数量关系式：冬季运动会全程-已经跑的路程=剩下路程。 解：设笑笑一共要跑x米，则已经跑了 米。 根据数量关系列式为 ，解得x= ； （3）方法二：（量率对应） 已经跑了全程70%，还剩下全程的1-70%=（ ）%，即300米。 列式计算为300○（1-70%）= （米） 答题区： 变式训练： 1.某鸡蛋孵化场，由有一批鸡蛋孵化率是95%，没有孵化的鸡蛋有120个，这批鸡蛋共有多少个？ 2.一段路，汽车已经行驶了这条路的80%，还剩下20千米没有行完。这条路长多少千米？ 类型6：利息问题。 典型例题6：小红今年10月1日在银行存入活期储蓄6000元，月利率0.325%，存满半年时可以得到利息多少元？ 思路分析： （1）本题单位“1”的量是 ； （2）数量关系式：利息=本金×月利率×6，根据数量关系列式计算为 （元）。 答题区： 变式训练： 1.爸爸将50000元存入银行，定期三年，年利率是2.75%，到期后，爸爸将利息的68%捐给希望工程。到期后，爸爸可以捐给希望工程多少元？ 2.淘气把自己的压岁钱存入银行，定期两年，年利率是2.10%。到期后淘气得到利息33.6元，那么淘气存入银行的本金是多少元？ A夯实基础 一、填空题 1.一根钢材长12米,截去25%,还剩下（ ）米。 2.某厂四月份实际生产了4800台，比原计划超产20%，则原计划生产（ ）台。 3.赵老师把20000元钱存入银行，整存整取两年，年利率是3.26%。到期后，他可以获得（ ）元的利息。 4.一件女式上衣原来的成本价是80元，由于改进技术，产品成本降低了二成，原来生产1000 件的成本，现在可以生产（ ）件。 二、选择题 1. 今年小麦产量比去年减产了5%,这里是把（ ）看作单位“1”。 A.今年产量 B.今年比去年减少的产量 C.去年产量 D.去年比今年减少的产量 2.科技书有 60 本，儿童文学有 40本，“（60-40）÷40=50%”表示（ ）。 A.科技书是儿童文学的 50% B.科技书比儿童文学多 50% C.儿童文学是科技书的 50% D.儿童文学比科技书少 50% 3. 小文今年将 1000 元压岁钱存入银行，定期一年，年利率是2.85%，到期后，他一共可取 出（ ）元钱。 A.28.5 B.28 C.1028.5 D.1285 4. 工厂建厂房用了20万元，比计划节约了10%，原计划用（ ）万元。 A.20×(1-10%) B.20×(1+10%) C.20÷(1+10%) D.20÷(1-10%) B培优拔高 三、解答题 1.一本数学书5.6元，一本语文书7.2元，数学书比语文书便宜百分之几?(百分号前保留一位小数) 2.B车要达到A车速度的120%才能够超车。B车原本计划每秒提速4千米/时,在5秒内即可提速至超车速度,实际上用时比原本计划少用了20%,实际每秒提速多少? 3.甜甜组织同学们一起吹布置教室需要的气球,计划吹100个气球。 (1) 实际比计划少吹了10%，实际吹了多少个气球?(画线段图,算一算) (2)若计划比实际多吹了25%，实际吹了多少个气球? C思维拓展 四、拓展题 1. 一所学校,48%的学生是女生。有25%的女生和50%的男生坐公交车上学。这所学校坐公交车上学的学生占全校学生的百分之几? 2.亮亮把20g糖放入180g水里制成糖水,喝了20g后觉得不够甜，又加入10g糖，现在糖水中的糖比原来增加了百分之几? 3.售票处售出足球比赛门票情况如下表。 门票种类 售出张数 占售出总数的百分之几 甲级 25% 乙级 40% 丙级 其中，乙级门票比丙级门票多售出60张。计算售票处一共售出多少张足球比赛门票，并填写上表。 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：（1）原 ；（2）现，原；（3）1-160÷200×100%=20%；（4） （200-160）÷200×100%=20%。 答题区： 解法一： 1-160÷200×100%=20%； 解法二： （200-160）÷200×100%=20%。 答：电水壶降价了20%。 变式训练答案： 1.解析： 节省了百分之几，其计算方法：节省资金÷计划资金×100%=节省百分之几 列式：10÷（390+10）×100%=2.5% 答：实际投资比原计划节省2.5%。 2.解析： 亮亮的做题速度比乐乐快百分之几，其计算方法：（亮亮做题速度-乐乐做题速度）÷乐乐做题速度×100%。 列式：（-）÷×100%=25% 答：亮亮的做题速度比乐乐快25%。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析：（1）去；（2）去；（3）去，2.5,25%，3.125；（4）1,25%，125%，1,25%，1，25%，3.125. 答题区： 解法一： 2.5+2.5×25%=3.125（吨） 解法二： 2.5×（1+25%）=3.125（吨） 答：今年收花生3.125吨。 变式训练答案： 1.解析： 解法一： 120+120×10%=132（人） 解法二： 120×（1+10%）=132（人） 答：六年级共有的132人。 2.解析： （1）半圆周长=（π+2）r 列式：（3.14+2）×5=25.7（米） 答：修这个羊圈需要25.7米的栅栏。 （2）现在半径=原来半径×（1+20%）=5×1.2=6（米） 羊圈现在面积：3.14×62÷2=56.52（平方米） 答：这时羊圈面积是56.52平方米。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析：（1）九；（2）十，九；（3）九，九，x+20%x=480，400；（1+20%）x=480,400；（4）480÷（1+20%）=400 答题区： 解法一：方程法 解：设九月份的营业额是x万元。 x+20%x=480 1.2x=480 x=400 解法二：算式法 480÷（1+20%）=400（万元） 答：九月份的营业额是400万元。 变式训练答案： 1.解析： 解法一： 解：设东方村去年桃子的产量是x万吨. x+20%x=3.6 1.2x=3.6 X=3 解法二： 3.6÷（1+20%）=3（万吨） 答：东方村去年桃子的产量是3万吨。 2.解析： 54÷（1-25%）=72（人） 所以答案为C 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：（1）图片总张数；（2）名山，河流，图片总张数，60%x-30%x=30,100；（3）河流，÷，60%，30%，100 答题区： 解法一： 解：设一共有x张图片。 （60%-30%）x=30 0.3x=30 x=100 解法二： 30÷（60%-30%）=100（张） 答：一共有100张图片。 变式训练答案： （1）解：设六月份这个家庭的总支出为x元。 52%x-48%x=240 0.04x=240 x=6000 答：这个家庭的总支出是6000元。 （2）解：设七月份这个家庭的总支出为y元。 50%y+10%y=1080 0.6y=1080 y=1800 答：这个家庭的总开支为1800元。 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析：（1）长跑全程；（2）70%x，x-70%x=300,1000；（3）30%，÷，1000 答题区： 解法一： 解：设笑笑一共要跑x米。 x-70%x=300 0.3x=300 x=1000 解法二： 300÷（1-70%）=1000（米） 答：笑笑一共要跑1000米。 变式训练答案： 1.解析：120÷（1-95%）=2400（个） 答：这批鸡蛋共有2400个。 2.解析：20÷（1-80%）=100（千米） 答：这条路长100千米。 类型6答案解析 典型例题6： 思路分析：（1）6000元本金；（2）本金，年利率，存期； 答题区： 6000×0.325%×6=117（元） 答：存满半年时可以得到利息117元。 变式训练答案： 1.解析： 50000×2.75%×3×68%=935（元） 答：到期后，爸爸可以捐给希望工程935元. 2.解析： 解法一： 解：设淘气存入银行的本金是x元 X×2.10%×2=33.6 解得x=800 解法二： 33.6÷2.10%÷2=800（元） 答：淘气存入银行的本金是800元。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：9 解析： 12×（1-25%）=9（米） 2.答案：4000 解析： 4800÷（1+20%）=4800÷1.2=4000（台） 3.答案：1304 解析:  20000×3.26%×2=1304（元） 4.答案：1250 解析:1250 现在成本=80×（1-20%）=64（元） 现在数量=1000×80÷64=1250（件） ‌二、选择题 1.答案：C 解析： 本题单位“1”的量是去年产量 2.答案：B 解析： （60-40）÷40=50%，比较量是科技书比儿童文学多的本数，单位“1”的量是儿童文学本数，所以此式表示科技书比儿童文学多50%。 3.答案：C 解析： 一共可以取出多少钱，表示所求的是连本带息。数量关系：连本带息=本金+本金×利率×存期 1000+1000×2.85%×1=1028.5（元） 4.答案：D 解析：原计划费用为单位“1”，求单位“1”的量=比较量÷（1-10%）==20÷（1-10%），答案为D B培优拔高 三、解答题 1.答案：22.2% 解析： 数学书比语文书便宜百分之几?计算方法是（7.2-5.6）÷7.2×100%≈22.2%。 答：数学书比语文书便宜22.2%。 2.答案： 5 解析： 由题意知，B车原本计划每秒提速4千米/时，在5秒内即可提速至超车速度，B车实际用时比原本计划少用了20%，即实际用时为5秒的1-20%=80% 计算实际用时：5×(1-20%)=5×80%=4（秒） 因为B车在4秒内提至超车速度，可得4×5÷4=5（千米/时） 答：实际每秒提速为5千米/时。 3.答案：（1）90；（2）80 解析： （1）实际：100×（1-10%）=90（个） 答：实际吹了90个气球。 （2）实际：100÷（1+25%）=80（个） 答：实际吹了80个。 C思维拓展 四、拓展题 1.答案：38% 解析： ‌ 把全校学生的人数看作单位“1”，女生占全校学生人数的48%，男生占全校学生人数的1-48%=52%，有25%的女生坐公共汽车，占的全校学生人数25%×48%，有50%的男生坐公共汽车，占的全校学生人数50%×52%，再加起来即可。 解：25%×48%+50%×（1-48%） =12%+26% =38% 答：这所学校坐公共汽车上学的学生占全校学生人数的百分数是38%。 2.答案：40% 解析： 根据糖水的含糖率=糖的质量÷糖水的质量，可以求出原来糖水的含糖率，“喝了20g后觉得不够甜”,可以求出喝掉的糖水中糖的质量,用原来糖的质量减去喝掉的糖水中糖的质量求出还剩下多少克糖,再加上10g糖求出现在糖水中糖的质量,再用现在糖水中比原来糖水中多的糖的质量除以原来糖水中糖的质量就是现在糖水中糖比原来增加了百分之几。 原来糖水的含糖率:20÷(20+180)=10% 喝掉的糖水中糖的质量:20×10%=2(g) 现在糖水中糖的质量:20-2+10=28(g) (28-20)÷20=40% 答:现在糖水中的糖比原来增加了40%。 3.答案：见解析。 解析： （1）甲级占25%，乙级占40%，所以丙级占1-25%-40%=35%； （2）因为“乙级门票比丙级门票多售出60张”，多占总数的（40%-35%）； （3）总数：60÷（40%-35%）=1200（张）； （4）甲级售出张数：1200×25%=300（张） 乙级售出张数：1200×40%=480（张） 丙级售出张数：1200×35%=420（张），表格答案如下： 门票种类 售出张数 占售出总数的百分之几 甲级 300 25% 乙级 480 40% 丙级 420 35% 学科网（北京）股份有限公司 $$