第4章 第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数的周期性、奇偶性、对称性等核心考点，依据高考评价体系明确考查要求。通过梳理“化为标准式求周期”“定义+性质判奇偶”“整体换元解对称”等方法，结合近五年真题分析考点分布，归纳出求最小正周期、判断奇偶性、求对称轴/对称中心等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题重温+方法提炼+素养提升”，收录2021新高考I卷、2024新课标Ⅱ卷等典型真题，总结“公式法+图象法”求周期、“φ值确定”解奇偶性等突破方法，培养学生数学思维与运算能力。特设“易错陷阱警示”和“答题模板”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，实现高效冲刺。

第四章 三角函数与解三角形 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第四节 第四章 三角函数与解三角形 三角函数的图象与性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第四章 三角函数与解三角形 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 三角函数的周期性 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 三角函数的奇偶性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 三角函数的对称性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三十四） 本部分内容讲解结束 【例1】　求下列函数的最小正周期． (1)y＝2sin； (1)因为y＝2sin，所以T＝＝3π，即y＝2sin的最小正周期为3π. (2)y＝3； (2)y＝3的最小正周期是y＝3cos的最小正周期的一半，即T＝×＝. (3)y＝|tan x|； (3)画出y＝|tan x|的大致图象如图所示： 由图象易知T＝π. (4)y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1. (4)因为y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1＝－sin 2xcos－cos 2xsin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，所以最小正周期T＝＝π. 求三角函数最小正周期的基本方法 1．通常将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再用周期公式求出； 2．利用图象的根本特征，作出图象，观察得出． 【训练1】　(1)下列函数中，是周期函数的为(　　) A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0 因为cos|x|＝cos x，所以y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．故选B. (2)若f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是____________. 由f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象知，一个 周期内有一个最小值点，若在[0,1]上至少 存在50个最小值点，则1≥49T＋＝ ＝·，解得ω≥.所以ω的取值范围是. 【例2】　(1)函数f(x)＝2sin2－1是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 f(x)＝2sin2－1＝－＝－cos＝sin 2x，可得f(x)的最小正周期为＝π.因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选D. (2)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________． 因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝＋kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z.又θ∈，所以θ＝，经检验，符合题意． 三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质：y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)． 【训练2】　(1)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为________． 由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为φ∈，所以当k＝0时，φ＝符合题意． (2)(2024·湖北四调)设函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)对任意的x(x∈R)均满足f(－x)＝f(x)，则tan φ＝________. 1 f(x)＝sin，因为f(－x)＝f(x)，x∈R，所以f(x)是偶函数，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，故tan φ＝tan＝1. 【例3】　已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是(　　) A．图象关于点对称 B．图象关于点对称 C．图象关于直线x＝对称 D．图象关于直线x＝对称 由题可得，设2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．设2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)．通过对比选项可知C正确． 三角函数对称性应用技巧 1．求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式． 2．判断某一直线、某一点是否为函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断． 【训练3】　(1)函数y＝tan的图象的对称中心是 _________________． (k∈Z) 由＋＝(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即其对称中心为(k∈Z)． (2)(2025·合肥质量检测)已知函数f(x)＝2sin(3x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴为直线x＝，当x∈[0，t]时，f(x)的最小值为－，则t的最大值 为________． 因为函数f(x)＝2sin(3x＋φ)图象的对称轴为x＝，所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，因为－π<φ<0，所以k＝0，φ＝－，所以函数f(x)＝2sin，当x∈[0，t]时，3x－∈，因为函数f(x)的最小值为－，所以－<3t－≤，解得0<t≤，所以t的最大值为. 1．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　) A． B． C． D． 令2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，令k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，因为⊆，所以选A. 2．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 令f(x)＝0，得sin 2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)．令g(x)＝0，得sin＝0，所以2x－＝k1π(k1∈Z)，解得x＝＋(k1∈Z)．因此f(x)与g(x)没有相同的零点，选项A错误．f(x)与g(x)的最大值都是1，选项B正确．f(x)与g(x)的最小正周期都是T＝＝π，选项C正确．由2x＝k2π＋(k2∈Z)得x＝＋(k2∈Z)，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k2∈Z)．由2x－＝k3π＋(k3∈Z)得x＝＋(k3∈Z)，所以g(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k3∈Z)．因此，选项D错误，故选BC. 3．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，且直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，所以f(x)在x＝和x＝处分别取得最小值和最大值，所以＝－＝，T＝π，得|ω|＝2，不妨取ω＝2，由f＝sin＝1，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得φ＝－，从而f＝sin＝sin＝，故选D. 4．(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 因为f(x)的图象关于点对称，所以sin ＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，故φ＝kπ－，k∈Z.结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin.对于A，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递减区间为，k∈Z.显然，k∈Z，故A正确．对于B，f′(x)＝2cos，令f′(x)＝0，得2x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝－，k∈Z.又因为x∈， 所以x＝，故f(x)在区间只有一个极值点，故B错误．对于C，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，故C错误．对于D，结合B，令2cos＝－1，得2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，故其中一个切点为，则曲线y＝f(x)在该点处的切线方程为y－＝－x，即y＝－x，故D正确．故选AD. 5．(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 因为<T<π，ω>0，所以<<π，所以2<ω<3　①.又y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以从而ω＝k－(k∈Z)　②，由①②知ω＝(取k＝4)，所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sinπ＋2＝1.故选A. 6．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [2,3) 函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程cos ωx＝1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根，因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2πω，所以4π≤2πω<6π，即2≤ω<3，所以ω的取值范围为[2,3)． $$